VIL — SURFACES S A LIGNES DE COURBURE PLANES
Nous n'avons pas à exposer ici la théorie générale des surfaces à lignes de courbure planes. Ces surfaces ont été considérées par de nombreux auteurs. Nous signalerons enlre autres M. Rouquet (*), qui en a donné un exposé intéressant, et M. Darboux ( 2 ), qui traite la même question dans son Ouvrage sur la théorie des surfaces. Nous nous inspirerons des considérations de l'illustre géomètre.
Soient données deux familles de sphères définies par les équations
a?* -h y* H- s*4- Ai x 4- A t y 4- A,s 4- A 4 — o, x* 4- y* 4- s 1 — B j x — B,/ — B j z — B 4 = o,
A,, A 2 , . .. désignant des fonctions quelconques d'un paramètre variable a; B,, B 2 des fonctions également quelconques d'un second paramètre (3. Le plan radical de ces sphères est donné par l'équation
(At 4- Bj)# 4- (A, -h B,)y 4- (À, 4- B,)s 4- A 4 4- B 4 = o.
L'enveloppe de ce plan donnera les surfaces dont un des systèmes conjugués est composé de surfaces planes ( 8 ). Pour avoir les surfaces à lignes de courbure planes, il suffit d'écrire que la condition d'orthogonalité est remplie.
On doit avoir identiquement
équation dont J.-A. Serret a donné la solution complète ( 4 ).
L'auteur obtient trois systèmes de solutions, d'où l'on déduit les trois équations
olx — (3y + (ty 1 — «*— s/K—is/i-hfi*)* =/(«) 4- cp((3), " a?cos(3 -+-y sin(3 — olz 4- /(a) 4- <p((3) = o,
2a^4-aP7 4-(i — a* — (3 s )«=/(a) 4-<p((3).
Ces équations définissent des plans dont les enveloppes donneront les surfaces cherchées. Les deux dernières classes de surfaces sont des cas limites de la première.
(*) Rouquet, Mémoires de V Académie des Sciences de Toulouse, 8 e série, t. IX, 1886.
(*) Darboux, Théorie des surf aces, t. I, p. 127.
( 8 ) Voir Darboux, Théorie des surfaces, t. T, p. 127.
(*) Journal de Liouville y i re série, t. 48, p. 116.
SUR UNE CLASSE DE SURFACES. 5j
Nous devons maintenant identifier chacune des trois équations avec celle des plans tangents aux surfaces S
(u -h u x )x -+- i(u t — u)y-\- (uu x — \)z •+■ w,A 4- «Ai -+- B -4- B t = o.
Prenons d'abord la première équalion.
Si Ton pose X = costo, l'identification des équations des deux plans conduit aux relations
y/( i + e* itû u 1 ) ( i + e iitû u\ ) e itù i{u x — u)
tf(i + e Ut »u*)(i-t-e ii1ù u\ ) et l'on trouve
l = - e'V(«-*-« 1 '"« , )( | H-« lll *«ï) [/(«) + ?(P)1»
formule où l'on suppose a, (3 exprimées en fonction de tt, u 4 au moyen des relations précédentes.
Posons maintenant
a — cosp, j3 = <cosp|.
Il vient alors
Ç= - t 1 — = A t a + Aii| + B-4-B l9
sinp — sinp t
R, R 4 désignant deux fonctions respectives de p et de p<. On vérifie que l'équation S
du* du\
est ici équivalente à la suivante
Riv^. aR # + R = riv + an; + R | = o.
On a donc
R 1V + 2 R' -h R = const. = k, R\ v -+- 2 R", -+- R, = const. = — A .
Finalement on trouve
Ç= (a« -h bUi + me-t* 1 »— n e iCLtù uu t ) arc tern g (e itù u) • 4-(ôw -i-ai/t-t- /i c-'P 40 — /ne l P to ww,)arctang(e /w a 1 ) a -t- (3 = a. de M. 8
58 H. DE MONTCHEUIL.
On trouve pour équations des lignes de courbure
c -+- c"sina> tangp -4- i sinw tangp = o, c l -h c* sinu tangpt — i sinw tangp, — o.
Considérons maintenant la seconde équation.
On trouve ici
D'où l'on tire
Ç = Aw,4- A, «4- B + B,= <p(«ii,) -+-^( — ] v/""ï
Posant
ri =
il vient
a<P uy ~~ du x '
Eliminant (p, ^ et leurs dérivées, il vient
dw* dfi t l cwjJ ou
Remplaçant t; par sa valeur, on trouve
Ur — - =1/7 — — •
Nous retrouvons ainsi l'équation donnée par M. Goursat ( 4 ). Si nous portons dans cette équation les valeurs des dérivées secondes de £ déduites de la relation
£ = A «, -+- Aj a -h B -t- B,,
nous obtenons l'équation fonctionnelle
(*) Goursat, Équation aux dérivées partielles du deuxième ordre, t. I, p. 137.
SUR UNE CLASSE DE SURFACES. 5g
et Ton trouve
£ = (a«a,-h bu — cc/ t -f- */) logi* -h (auu^ — bu -+- cu t -h rf) logw,,
# , 6, c désignant des constantes arbitraires.
Les lignes de courbure sont définies par les équations
. (i-f-p )c"-h î — p =o, (i — p t )c -+- i(i -+-pi)c f =o.
Ces lignes se composent donc de méridiens et de parallèles et les surfaces correspondantes sont des surfaces moulures.
Prenons enfin la troisième équation.
On trouve ici
D'où
£ = F(«* -+-«,)-+- Fi(i« — tt t ) = Aw,-H-À 1 // +B + B,.
Éliminant F et F,, il vient
D'où, avec un choix d'axes convenable,
£ = 8/wmWi(m*+ mJ) -+• /i(ii-H il,) 3 -+-!«,(«, — */)*-+- — (//*-4-mJ).
Nous avons ici des surfaces algébriques dont les lignes de courbure sont définies
par le système
c'-f-ptO — c') = o.
Nous allons faire une étude spéciale de cette dernière catégorie de surfaces.
