A LIGNES DE COURBURE PLANE

Ces surfaces, qui (nous venons de le voir) satisfont à l'équation

du 1 du\

60 M. DE MONTCHEUIL.

doivent encore vérifier l'équation

du 2 du\

Elles sont donc définies par la solution commune à ces deux équations, solution qu'on peut exprimer par la relation déjà trouvée

On trouve pour équations des lignes de courbure

d*l dur

Par suite, en désignant par c, c', <? les cosinus directeurs de la normale, par p, p< les paramètres des lignes de courbure, on obtient les relations

p = i*-h «,, p l = i(u l —u) 9 d'où

2C'H- p,^ — Pi==0.

Ces équations définissent deux familles de cercles tracés sur la sphère de rayon 1 et passant par une même droite. Les plans de ces cercles sont parallèles à ceux des lignes de courbure.

Si Ton exprime a, u h en fonction de p, pi, \ prend la forme

5 = m (p* — p\ ) -+- nf— n x pj 4- | (p*— pj ). L T équation du plan tangent peut alors s'écrire

4p^4-4p 1 y-i(p»- hp * — 4)^ -h 4^*(p* — p!)-*-4*p 3 -- 4«iPÎ + /?(p , ~ pï) = o.

Si Ton cherche l'enveloppe de ce plan qui n'est autre que la surface étudiée, on est amené à écrire les deux équations

iix-\-p (z -+- p)-\-6n p* + 8mp , = o, 2 y -+- pi (s — p) — 6/ijpî — 8wpJ = o.

Ces deux équations définissent les deux familles de plans des lignes de courbure, plans qui, comme l'on sait, enveloppent des cylindres.

Les surfaces que nous étudions possèdent une ligne ombilicale donnée par

SUR UNE CLASSE DE SURFACES. 6t

l'équation

du* ~~ du* ~~ °*

Déterminons maintenant la nature des quatre courbes des plans isotropes. Les fonctions arbitraires ont ici la forme

i A = 8mM 8 -t- 3 (ai -4- in l )u* f &i = 8ntu\-\- 3(/i — in t )u* f

j B = (n— m 1 )« 3 + — u* 9 Bi = (/t -Kt/i,)aJ-+- — wj.

Introduisant ces valeurs des quatre fonctions et les valeurs de leurs dérivées dans les formules de la page 9, on trouve que la courbe dépendant de A est donnée par un système de la forme

[<x(x -+- iy) -+- $z]* + [y(x ■+■ iy) 4- z*] (Xs -+- jx 2 ) = o,

& — iy = o,

a, ^ y? )t, |jl désignant des constantes.

La courbe dépendant de B sera représentée par un système analogue oùx -f- iy sera remplacé par z et z par # — t'y .dans la première équation.

La seconde sera

x -\- iy=. o.

Les deux autres courbes se déduiront des premières par le changement de / en — i.

On voit donc que Ton a quatre cubiques.

Étudions la surface des centres.

Puisqu'on a

du 1 du\ l'expression

V du* du*

est rationnelle. Il s'ensuit que les expressions des coordonnées des deux nappe9 de la surface des centres sont rationnelles.

De là découle la propriété suivante de cette surface :

Les deux nappes de la surface des centres, relatives à une surface S algébrique, à lignes de courbure planes, constituent deux surfaces distinctes,

Soient x ^y ^ s l es coor données de la développée moyenne ;X, Y, Z, X„ Y<, Z t

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celles des deux nappes de la surface des centres; R, R' les rayons de courbure. En vue des applications nous allons écrire le Tableau des expressions de ces quantités en fonction de m, u { . On a donc

#0= 8m(tt 3 + u\) 4- $in x (u} — u\) — — (u 4- «,), y = 8 im{ u\ — a 1 ) 4- 3 m ( u\ — «*) 4- 1 — ( w, — a),