w)(3 — «//,—• a'— */}) — ^-(^-f- mJ

X z=8m(u -r- Wi)*-H 3«(m 4- M|)*,

Y = 8 im ( «, — m ) ( u 1 4- £/ J 4- 4 ««i )

4-6m(i/* — £/*) — 3/i^iit — «)*-+" îp( u t — u )y Z = i2t?i[2 u* u* — (u -i- f/i) 5 ] 4- n [3m 1 w, -h 3 u\ m — m 3 — wj — 6(a-h u t )]

. — 3/2(m 4- aj) 1 — 6m 1 (aJ— «*) — p("4- a,),

Y, = 8 im ( w, — ** ) 3 -t- 3 /i, ( /i t — */ )*, Z,= — i2m[2u*u\-h(u l — ti)*] — n(u -+- Ui)*

4- m [3 «*«*, — 3«aJ 4- m 3 — - « 3 4- 6(«i— «)] 4- 4- [2 — («••+■ W|)*]; R = i2w[(« -f- Mi)*4- 2« î wJ] 4- n(u 4- «j) (6 4- 4"«t— "* — «?)

IV = i2m[(« 1 — u) 1 — 2 u*u]*\ — /i(« + m,) 3

Le Tableau (À) nous donne, entre autres formules,

X = 8mp 3 4- 3/ip*, Y,=— (8mpi4-3/i lP î).

Ces deux relations nous permettent de constater l'exactitude de la proposition d'O. Bonnet d'après laquelle à chaque famille de lignes de courbure correspond,

sur chaque nappe de la surface des centres, une famille de courbes planes. Nous voyons qu'ici les plans de ces courbes sont parallèles. Pour toute surface vérifiant l'équation

du*~du\ y

l'élément linéaire prend une forme remarquable. On a, d'une façon générale,

Tenant compte de la relation précédente, on trouve

rf5t= W[d(u+ u x )]*+Yï'*[di(u x - uj\*

Posant

il vient

util — i

— = cosy,

ds*=: sin* f- (R* dp* -h R'* dp*).

Cette formule résulte encore des expressions suivantes des différentielles des coordonnées de la surface

dx = 4 /,'~ P J~^, Kfo-h %—J£±——Wdp u

(p i H-PÎ + 4)" r (p 4 H-pî+4) 1 r

(p'4-pï +4) 1 ^ (p î H-p*H-4) 1 r

Ces formules mettent en relief le caractère des lignes singulières

Nous allons maintenant parcourir quelques cas particuliers que nous obtiendrons en faisant diverses hypothèses sur la valeur des constantes qui figurent dans l'expression de Ç définie par la relation (i).

64 M. DE MONTCHEUIL.

Premier cas : m = o.

Du système (2) on déduit les équations

(s + p) 1 — [finx =0, (z— p) % -h 48/1,7 = 0.

On voit par là que les deux familles de plans des lignes de courbure enveloppent deux cylindres à sections paraboliques.

Si Ton tient compte des valeurs des fonctions arbitraires définies par le système (3), on trouve que les quatre courbes des plans isotropes sont aussi des paraboles. L'une d'elles est définie par le système

z* = R(n -+- in x ) (x -4- iy), X — IV = o.

Deuxième cas : n = n s =. o.

Les trois premières formules du Tableau (A) nous montrent que les courbes décrites par les extrémités du segment mobile sont données par les formules

X = 16 mu* — pu,

16 mu\ — pu l9

Y = — 16 im « 3 — ipuy

i6imu\-t- ipu t ,

Z = — 24 mu 1 — — w*,

24 mu\ — — «?.

On en déduit les deux systèmes de la forme

X'-t-Y'-hXZ^o, X f +Y»-f-XZ* = o,