X-+-iY-+-a(X-*Y)Z = o, X-«ï + «(X + /Y)Z = o
Ces courbes sont donc les intersections respectives de deux surfaces du second degré par une même surface de révolution également du second degré.
Les courbes des plans isotropes se composent de deux cubiques et de deux paraboles.
Troisième cas : m = p = o.
Nous obtenons ici des surfaces à développée moyenne plane.
Pour le constater, il suffit de considérer les deux premières formules du
Tableau (A). On déduit en effet de ces formules
Nous avons remarqué (p. 54) que toute surface à développée moyenne plane
pouvait être considérée comme dérivant d'une surface qui admet, à titre de cas
particulier, les surfaces miniraa et les surfaces S f . Cherchons quelle est ici cette
surface.
L'équation
nx +- n t y =o peut s'écrire
Nous avons pris
ôuôu x ou oit\
n — f/i t :=a, n 4- in x = a x .
La transformée de cette surface sera
Oo a ici
(av-+- a x v x )
dvd\>x
dZ
dÇ
Revenons aux coordonnées Ç, u } u K . L'équation précédente devient
L / âuâu l au ôu x ^J x âuâUi
On trouve pour intégrale de cette équation
ç = -[2M.C + Qi/d-cr -h «M,) (c 4- c;)] +
i±fl(C' + C',).
Pour a + a, = 2/i = o, on a la surface minima. Pour a = n — i /i, , on a la surface H, .
La surface cherchée est donc le lieu du milieu d'un segment dont les extrémités relient les points à normales parallèles d'une surface minima et d'une surface H.
Quatrième cas : m = n* = o.
Nous allons considérer ici toute la famille des surfaces parallèles. Si Ton désigne par k une constante, cette famille est définie par la formule
(=ji(if-t-i<t)'-+- £-(u*-+-u\) + k(i-*-uu l ).
de M.
H. DE MONTCHEUIL.
On a ici
dur au\ r
= 6np -+-/?.
On voit clone que la ligne ombilicale
du 1
est ici une ligne de courbure.
Les coordonnées de la famille de surfaces sont déterminées par le système
4p.r -H 4pi7 -H (p f H- pî — 4)(*
k) ■+- 4 « p* 4- /? (p* — pj ) -f- 8 A: rz o, Qa;-f-p(2-h Ar-f-/>) 4-6np , = o,
D'où Ton tire
__ /?(p;4-2)-4-4A:-4-np(3p* — p*-hi2)
Pi
p*4-pÎ4-4 = />(pî — p «) -f- (4 — p»— p» )Ar — 8/tp»
p l -h pj -+- 4
Pour /i = A* = o, on trouve la cyclide de Dupin.
Étudions les lignes définies par la relation p = const. On les obtient en éliminant p f entre les trois équations (i) et Ton trouve
(z -h k ~p)[4p^4-(p«— 4)(s-h k) r+-bnp* + pp*-t-$k] — 4/ , = Q,
2#-4-p(£-hAr-H/?)-h6/ip*=o.
La seconde équation définit le plan d'une ligne de courbure. La première équation est celle d'un cône, sur lequel est tracée cette ligne. Le sommet du cône est défini par le système
(2 — p«)/> — a/ip» — 4*
z =p — Ar.
On a pour équatioDS des génératrices
4p ap
Le cône trouvé est un cône de révolution. Pour nous en rendre compte effectuons le changement de coordonnées déGni par les formules
jj zz^ z==z y
vV-M
Si Ton fait £ = o, l'équation du cône devient 4 (5 ,f -+-/») — p^-M — ^^ j=^=> ^- J - +pp*(p + {inp) = o.
VP h-4
Sous cette forme, on reconnaît un cône de révolution dont les sections droites sont définies par la relation
, 2x-t-p(z -+- k) x' = r ' = const.
vV-t-4
On trouve pour équation de l'axe
x = *- p — np*-\ ^ £ -y
On vérifie que cet axe est perpendiculaire au plan de la ligne de courbure de paramètre p défini par l'équation
Nous avons donc trouvé un cône de révolution dont l'axe est perpendiculaire au plan de la ligne de courbure, intersection du cône et du plan. Les lignes de courbure de paramètre p = const. sont donc formées de cercles.
D'où cette conséquence :
Les lignes de courbure de paramètre p= const. 7 tracées sur une surface
68 M. DE MONTCHEUIL.
définie par V équation
£ = n{u -h "i) 3 -+- -(u*-\-u\) 4- Ar(i 4- uu t ) 9
Je
forment un système cyclique.
Pour n = o les deux familles de lignes de courbure forment des systèmes cycliques; ce sont ceux de la cyclide de Dupin.
En terminant l'élude de ce dernier cas nous devons dire un mot de la cyclide de Dupin, qu'on obtient, nous l'avons dit, en faisant n = o dans l'expression de ç.
Nous pouvons écrire
On trouve, pour équation de la surface en coordonnées cartésiennes,
La développée moyenne est ici un paraboloïde hyperbolique défini par l'équation
ip
La surface en question appartient à la classe des surfaces H,. Nous pouvons en déduire la définition suivante :
La cyclide de Dupin est V enveloppe d'une sphère variable tangente au plan des xy, dont le centre décrit le paraboloïde hyperbolique équilatère ayant pour axe celui des z et admettant le plan des xy pour plan de section principale.
Les courbes minima arêtes derebroussement des développables isotropes sont celles qui servent à engendrer la surface minima d'Enneper.
Nous avons vu que de toute équation S, on pouvait déduire un système cyclique. Appliquant les formules précédemment données, on constate que ce
système peut élre ici défini par les équations
y (x — x ) -h x (y —y )-o, ( a *2 + JÎ )[(* — *o) 2 -h (y —/o)* -+- * f ] -h (xl — y\ )[(x — x ) x -+- (y — y 9 )y%] = o.
On peut appliquer ici le théorème de M. Cosserat précédemment cité et chercher la surface correspondant à la développée moyenne avec orthogonalilé des éléments, et ayant même représentation sphérique de ses lignes asymptotiques
SUR UNE CLA$SE DE SURFACES. 6g
que les lignes de courbure de la cyclide. Le calcul conduit à la surface minima d'Ennepcr. Nous sommes ainsi arrivé à grouper ensemble la cyclide de Dupin, la surface minima d'Enneper et le paraboloïde hyperbolique équilalère.
Le paraboloïde sera la développée moyenne de la cyclide, et correspondra avec orthogonalité des éléments à la surface minima d'Enneper. Les lignes de courbure de cette dernière sur/ace correspondent aux lignes asymptotiques du paraboloïde et ses lignes asymptotiques aux lignes de courbure de la cyclide.
