IX. — Surfaces Ç=(a — cLuu { )log(u m u
Nous avons vu que toute surface H peut être définie par l'équation
l = uc t -+- Ul c - i±iîfL' (C-+- c; 4- D -h D, ),
les fonctions C, C, caractérisant les courbes minima, arêtes de rebroussement des développables isotropes relatives à la surface; D, D< caractérisant des courbes tracées sur le cône isotrope.
Cherchons à déterminer ces quatre fonctions de telle sorte que les quatre courbes correspondantes soient des hélices ou des cercles.
Les coordonnées de la développée moyenne sont données par les formules
/ l -~ u% nmj I - « ! 1W C l — w î nm j * — "? iv 7 — C"du+ 7— D'-+- / y—î-G^Wi-h — 7~^l>
y = i I — - — C du -+- * — t- — D — i ! — -. — - Cj du x — i — j — - D ! ,
Zq = C i' vdu+ ~ d'-h Ç ç c^rf^H- Çd;.
On trouve
G = X u (i — loge/), D = — plogu -h £,
C, = A, */, (î — loge/, ), D, == — fxj loge/, 4- k u
\, X,, u., u,, , A*, Ar, sont ici des constantes quelconques.
Aux fonctions C, Ci correspondent deux courbes minima qui sont des hélices, et aux fonctions D, D, deux cercles tracés sur un cône isotrope et situés dans des plans parallèles au plan des xy.
JO M. DE M0NTCHEU1L.
Posons
X-h i*. = iam y X,-+- fji|=: 2a ï m u X — [L=Liam y \ v — ix 1 z=2a l m l .
Ç prend alors la forme
l=:(a — otuu { )]o^u m -h(a t — (x i iiU t )\ogu^
-+- m(a + a) -f- m^aj-f- «,) \uiix
Gela posé, nous allons déterminer les constantes de telle sorte que le rapport des distances d'un point quelconque de la développée moyenne à la surface S et au plan des xy soit constant.
Le calcul conduit à la valeur de \ donnée par la formule
(i) S = (a — aMW 1 )log(M m H?«) -hywi/,-h y u
y et y t ayant les valeurs
Les coordonnées de la développée moyenne sont ici données par les formules
2 \U / 2 \lt l )
imf a\ im*fa \
y = — [au h ( oui ),
/ 2 \ uj * \u l )
z = \og(u m u™*) — (m -H m,)a,
Cette dernière formule définit la demi-somme des rayons de courbure. Des deux dernières formules on tire
Cette relation montre que le rapport — a bien une valeur constante.
Po
Si maintenant nous cherchons la nature des deux courbes lieux des extrémités du segment mobile, nous trouvons que ces courbes sont des hélices. La première
SUR UNE CLASSE DE SURFACES. Jl
a pour équations
z-¥\ma
x -h ty a
-zz — e m < rt-Ha > x — ly a
On obtiendra la seconde en changeant m en m K dans les formules précédentes et i en — i.
Nous avons ici le mode de construction suivant :
Par le milieu d'an segment reliant les points de contact de deux plans respectivement tangents à deux hélices de même a-xe et au cercle de l s infini menons une droite parallèle à V intersection de ces plans. Cette droite donnera la congruence des normales aux surfaces définies par V équation (i).
Pour ces surfaces le rapport des distances d'un point quelconque de la développée moyenne à la surface et à un plan fixe est de valeur constante. Les lignes de courbure sont définies par les relations
/— / — ivf™
La formule
montre que pour 0L = a l'on a des surfaces minima. A première vue, on croirait pouvoir conclure de même que pour a = — a l'on a des surfaces. à développée moyenne plane. Mais il faut remarquer qu'alors la valeur de p donnée par le système (2) devient infinie, en sorle que les coordonnées de la surface prennent elles-mêmes une valeur infinie. On peut, si l'on veut, substituer à la surface E considérée une surface parallèle à celle-ci. Alors z , p sont liées par une relation linéaire de la forme
et, selon qu'on fera a — a = o ou a -f- a == o, on aura des surfaces parallèles à des surfaces minima ou des surfaces à développée moyenne plane.
Nous allons faire diverses hypothèses sur les valeurs des constantes m, m K , a, a.
Pour /n = /W| = i, on trouve une surface dont la développée moyenne est donnée par l'équation
àzs/xî-hy* = ae a + a +-<xe " + * .
72 M. DE MONTCHEUIL.
La développée est donc une surface de révolution qui, pour a = a, devient une alysséide.
On vérifie que la surface S correspondante est, elle aussi, une surface de révolulion.
Si l'on fait a = a, on a p = o.
t Les surfaces H sont donc ici des surfaces minima engendrées au moyen de deux courbes, dont la première est définie par les équations
= — amacosf )> I
\2n1aJ
asinf )
\2ma/
On obtiendra la seconde en changeant m en m 4 , i en — i. Pour
fl + «=o, y = y { =zo f
il vient
On a donc des surfaces à développée moyenne plane. Pour
a =r a, m = m t =: 1, il vient
? = a(i — «/«!) logww, -+- 4au"i-
Nous avons ici une surface minima de révolution; par conséquent l'alysséide. Cherchons quelle est la transformée de l'alysséide que l'on obtient, quand on effectue le changement défini par les formules
r * l Ç= y v=zu, v t =L
On trouve
Ç = fl(tt+ "i)10g h a[(l7T — 4)" -H *7Ttf|].
Conformément à ce que nous avons démontré ailleurs, on trouve
La surface est donc à développée moyenne plane.
Si Ton cherche l'équation de la surface S elle-même, on trouve
D'où l'on tire cette conclusion :
La transformation
établit une correspondance entre les points d'une alysséide et d'un plan.
Ici l'équation de la développée moyenne devient évidemment illusoire. Supposons
Nous avons
Ç=a(i4-«H,)logii.
Cette surface est-elle aussi à développée moyenne plane, elle donne lieu à la
relation
D'où l'on conclut que les projections du rayon vecteur et de la demi-somme des rayons de courbure de la surface S sur l'axe des z sont des quantités égales et de sens contraire.
