X. — Surface minima hélicoïdale

Parmi les surfaces que nous venons de considérer il faut ranger la surface minima hélicoïdale qu'on obtient en faisant dans (i)

C'eût été ici le lieu d'exposer les principales propriétés de cette remarquable surface S. Toutefois, pour ne pas prolonger indéfiniment ce travail, nous allons nous borner à énoncer quelques résultats.

La surface minima hélicoïdale est une surface double S. Elle est décrite par le milieu d'un segment dont les extrémités relient deux points à normales opposées de la surface S définie par l'équation

Yî = 2alog — •

D'autre part, si l'on cherche la développée moyenne de cette dernière surface, de M. 10

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nous retrouvons la même surface hélicoïdale, lieu du milieu du segment considéré tout à l'heure. La surface r\ a donc cela d'intéressant qu'elle nous donne une solution du problème qui a pour objet de déterminer les surfaces admettant la surface minima hélicoïdale pour développée moyenne.

A un point donné de la surface i\ correspondent deux points distincts sur la surface minima : le point lieu du milieu du segment mobile et le point de la développée moyenne correspondant au point donné de tj. Quand ce dernier point décrit la surface t\ } les deux points de la génératrice rectiligne décrivent la surface hélicoïdale.

Les coordonnées de v\ sont définies par les formules

p? — i p(pî-Hi) x ~ a — — — z,

PPi *Pi >>

. PÎ4-I , . p(pj — i) y = — la — h i ^- 1L1 z t

PPi 2 Pi