I. — Développée moyenne des surfaces H

Soient x, y, z les coordonnées cartésiennes d'un point d'une surface quel conque S; R, R' les rayons de courbure relatifs à ce point; x , y 0) z les coor-

8 M. DE MONTOHEUIL.

données du point correspondant de sa développée moyenne. Si l'on cherche l'expression en coordonnées £, u, u x relatives à S des coordonnées x , y , z de la développée moyenne, ainsi que du segment qui relie les points correspondants des deux surfaces, on trouve les relations

« + m, B + R' i f, x d*P dP dP

i 4- util

2 [ du du x du du x J

J i-hw«i 2 2 L dudu x du du x j

H-i/iii 2 2 L dudu x du du x J

De ce svslème on tire

(}« ^ll! 2

du* du\ '

(Jll dll t 2

dit 1 àu\ '

d*£ UU t — I

dudu x 2

du* du\ '

<?*po IIM, H-I

\ du du x 2 du 1 du\

De la dernière formule du système (2) nous déduisons immédiatement la proposition suivante :

Pour toute surface £ la somme des rayons de courbure est égale à la somme de deux fonctions, l'une de u, Vautre de u t ; *z, u h étant les paramètres des génératrices rectilignes de la sphère de rayon 1 . Réciproquement, toute surface dont la somme des rayons de courbure a la forme indiquée est une surface S.

Les trois premières formules du système (2) montrent que toute surface H admet une surface de translation pour développée moyenne. On n'en saurait conclure que toute surface de translation est la développée moyenne des seules surfaces S, car les paramètres 1/, u { des deux courbes qui caractérisent la surface de translation n'ont pas nécessairement la signification précédente. Nous pouvons seulement établir que toute surface de translation est la développée moyenne d'une famille de surfaces S. C'est ce qu'on démontre aisément comme il suit.

Soient A, B deux fonctions arbitraires de m; À,, B, deux fonctions arbitraires

de i/|. L'intégrale générale de l'équation S peut s'écrire

Le système (i) donne alors

X, Y, Z ; X| , Y, , Z f ayant pour expressions

ix = «a'- a -B', x t - Wi a; - A f — b;,

f Zt= b — «b'-à 1 , z t = b, — i^b; — a;.

Ces dernières formules définissent les courbes décrites par les extrémités du segment mobile dont le point milieu décrit la développée moyenne.

Toute la question revient à examiner si, par une détermination convenable des fonctions arbitraires A, A n B, B f , les formules précédentes peuvent être amenées à représenter deux courbes quelconques. C'est ce dont on s'assure aisément.

Soient, en effet,

ff(x 9 y 9 z) = o, ty{x f y 9 s)=o

les équations d'une courbe donnée. Si, dans ces relations, on porte les valeurs des quantités # , y 0j z précédemment définies, on obtient un système de la forme

système qui permettra de déterminer A, B.

Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Toute sur/ace E admet pour développée moyenne une sur/ace de translation. Toute sur/ace de translation est la développée moyenne d'une famille de sur/aces S.

Nous disons : une famille de surfaces S. Il est en effet évident que, si une surface S jouit de la propriété indiquée, toute la famille des surfaces parallèles qu'on obtient en ajoutant à l'expression de £ le terme k(\ -\- uUi) (k désignant une constante) jouira de la même propriété.