II. — CoNGRUENCE DES NORMALES

Nous venons de voir comment, parlant de l'équation d'une surface E, on en déduit, au moyen de deux courbes, la construction de sa développée moyenne. Nous allons maintenant partir de deux courbes données arbitrairement, et en déduire la congrucnce des normales à une famille de surfaces.

Dans le cas des surfaces minima, c'est-à-dire dans le cas où la surface S s'identifie avec sa développée moyenne, Ribaucour a indiqué un mode de construction de la normale. Par le milieu du segment reliant deux points des courbes minima, il mène une parallèle à l'intersection des plans osculateurs de ces courbes, et cette parallèle n'est autre que la normale.

Nous allons procéder d'une manière analogue, les courbes données étant quelconques. Seulement, comme nous l'avons dit dans l'Introduction, au lieu des plans osculateurs à ces courbes, nous considérerons les plans isotropes qui les enveloppent.

Soient donc X, Y, Z; X|, Y|, Z| les coordonnées respectives de deux courbes données. Quelles que soient les courbes, on peut toujours, nous l'avons vu, déterminer deux fonctions A, B d'une variable u et deux fonctions A,> B< d'une variable //, , de telle sorte que les coordonnées des deux courbes soient définies par les formules du système (3). Les quantités «, u { figureront les variables d'O. Bonnet relatives à une famille de surfaces S qui admettra pour développée moyenne la surface de translation, lieu du milieu du segment dont les extrémités décrivent les deux courbes.

Cela posé, considérons en particulier la première courbe et cherchons les équations des deux plans isotropes qui l'enveloppent.

L'équation générale d'un plan isotrope peut s'écrire :

Cl) (i — v*)jc 4- ï(i •+- v*)y ■+• a «'5 ■+- 2 V — o,

où V figure une fonction arbitraire de paramètre quelconque v. Écrivons que ce plan est tangent à la courbe. On a les deux relations

(î — i'*)X -+-1(1-+- r 2 ) Y -4- 2 t>Z -h a V = o, (i — e s ) dX -+- i(i h- v 1 ) cl\ r -t-2vdZ = o.

Si, dans ces formules, on porte les valeurs X, Y, Z; rfX, rfY, dL déduites du

système (3), on trouve les relations

(// — r)(A f — rir) = o,

qui définissent r, V en fonction de //.

On obtient ainsi les deux systèmes

( i» = </, ( A"— vB"=o,

I V = A - i/B. / V m A — rB ■+- (r - «)(A' — rB').

Le premier de ces systèmes a l'avantage, sur le second, de donner une valeur de v indépendante de la nature des fonctions arbitraires et, par suite, de la nature des courbes correspondantes. C'est celui que nous considérerons désormais. Nous remarquerons incidemment que, pour les courbes minima, les deux plans isotropes qui les enveloppent s'identifiant avec leur plan oscillateur, les deux systèmes précédents doivent se confondre. Par suite, on doit avoir simultanément

r = // f A f — rB f = o.

Ou voit par là que l'équation des surfaces minima peut s'écrire

4 = A h, 4- A, u 4- B 4- B lf

les fonctions À, A, étant définies par les relations

11 est aisé de vérifier qu'il en est ainsi.

On a, en effet,

U -4- IV *=—ï—

i[\ x ^ <r - àl ./l

a L </w àu t au du v ^J

Pour

(') Ces deux relations entraînent seulement R -+- R' = const. et non nécessairement H -+- IV =■ o. Quoi qu'il en soit, les surfaces tracées serout toutes parallèles à une surface minima.

•„■ , ',% y*t*e \*:\ >* "*: .t * ^ ; et \ i\e s.---.* lei^c* c> î-£^"r dis? !"éq«a- ■■'/,*. î et '{•# vft 'M*'."** *n <Ul>,--" *&*'>£%£ r^-i^f « -* se-i-sie co«rbc r oa

',;,' ertt fe *>%4e**e

— ét* * -/ f — «* r — 'tmz — î A — * B = o.

* - // ? * - /;-*-«* r — îtf * — v A — *- B- = o.

f>rt b\t&U<9M dïituu*+nt aîntï dtux pian* isotropes- en îelcjpes respectives des de'ji #y>«*b"»,

f^> Vtn*idtr*Uon de ce* plan* oou^ permet de déterminer itnmê JiaLearcnt b '.o/i^merice de* normale* a la hmYûe de surface» 2. dont 1* déteîi-ppée movenne m; eonttruit au moyen de Courbet données. Xoas «avons déjà que la normale à ces **$tfote* patte par le milieu du segment qui relie ces deux courbes. Or. si nous t,Ut',u)iOus let cotinut directeur % de la droite, intersection des deux plans isotropes précédemment détint*, nous trou tons les relations

i -* ////, i — ai/, i — ai/j

qui définitterit I':* coti nu s directeurs de la normale. L'intersection des deux plans

dorme donc la direction de celle normale, qui est ainsi complètement déterminée.

\out pou vont résumer les résultats précédents dans la proposition suivante :

ThIs;**,**,, — Soient données deux courbes quelconques; si, par le milieu du segment qui relie les points de contact de ces courbes avec deux des plans isotropes qui les enveloppent, on mène une parallèle à ces deux plans, cette droite représentera la normale à une famille de surfaces £ et le point milieu du se g nient décrira sa développée moyenne. Réciproquement, une surface S étant donnée, on pourra déterminer deux courbes qui permettront de la construire de la manière indiquée.

Il non* renia â indiquer comment on pourra calculer effectivement les fonction* A, H, A,, H, et les paramètres u 1 w, qui entrent dans l'expression de Ç, au moyeu de* éléments dc?s deux courbes données.

Soient X, Y, Z les coordonnées de la première courbe, données en fonction d'un paramètre quelconque H. La courbe étant tangente au plan isotrope, on a

(lelle relation nous donnera donc // en fonction de Ô et réciproquement.

De celle relation on déduira la valeur de du.

du

~dï

dty

iu-

do ' lu de

cTL\

de)

où Ton suppose u remplacé par une expression en fonction de 9. Enfin des relations du système (3) on tire

/•X + iY , ~ u I — du,