X-iY

du.

Un. calcul analogue donnera w M A f , B|, et l'on obtiendra ainsi l'expression de Ç en fonction des éléments des deux courbes. Les fonctions arbitraires étant ainsi déterminées en fonction de 8 et 8,, il sera aisé de les exprimer inversement en fouction de u et m,.

Comme application de la méthode de construction que nous venons d'exposer, donnons-nous deux courbes, intersections d'un même cylindre de révolution et de deux paraboloïdes de même axe.

La première courbe sera définie par le système

z^ax*-^ by*-\- cxy.

Si nous exprimons que le plan isotrope est tangent à la courbe, nous aurons la relation

( i — u 1 ) dx -\- i(i -\- u*) dy -+- 1 u dz — o,

x dx -h y dy =i o y

( 2 ax -+- cy) dx -+- ( 2 by -+- ex) dy — dz — o.

Eliminant les différentielles, nous obtenons l'équation

iax-\-cy iby-\-cx — i

Le système formé de cette équation et des deux équations de la courbe donnera X) y, z en fonction de u par de purs calculs algébriques.

Sans nous attarder à résoudre ce système dans le cas général, considérons le

ï4 M. DE MONTCHEUIL.

cas parlîculier où Ton a un paraboloïde hyperbolique équilatère. Nous pouvons mettre l'équation de ce paraboloïde sous la forme

<x ( x — iy ) s -+- (3 ( x -+- iy )* -+- 1 6 a£ z =z o.

Considérons alors la courbe intersection de celte surface et du cylindre de révolution déterminé par l'équation

x* -+- y* -h i6aj3 = o.

On constate qu'alors les équations précédentes sont vérifiées par le système

d'où Ton tire

• rr= - a '(« +;3 ")'

A fx-hivj a A = f/ / i— «// = >

B=- C ; LzJ2Ldu = $u*.

Si Ton associe à celle courbe celle que Ton obtient en changeant i en — i dans les équations de celles-là, un calcul analogue donne

La surface £ correspondant aux deux courbes données a donc pour équation

Si Ton fait [3 = o ou bien a = o, on trouve la cyclide de Dupin. Les points correspondants des deux surfaces sont ceux où les normales sont de directions contraires.

La surface précédente est le lieu du point partageant dans un rapport constant un segment mobile dont les extrémités relient les points à normales opposées d'une cyclide de Dupin.

Pour p = a les deux courbes se confondent. Alors les extrémités du segment

décrivant la même courbe, on a une surface double. L'équation de la développée moyenne peut s'écrire