III. — Interprétation géométrique des fonctions arbitraires
Comme nous l'avons fait remarquer dans l'Introduction, chacune des courbes lieux des extrémités du segment dépendant de deux fonctions arbitraires, celles-ci ne sont pas suffisamment caractérisées au point de vue géométrique par la nature de ces courbes. Nous allons donc chercher un nouveau mode de génération des surfaces qui assigne à chacune des quatre fonctions arbitraires un rôle géométrique dans la construction de la développée moyenne des surfaces H et, par suite, de ces surfaces elles-mêmes.
Dans ce but, considérons le système des quatre courbes définies par les équations suivantes :
X'= a(i«A'— A), X" = -aB', \\ = 2 («.A', — A,), X;=— a B' lf
Y' = a*(A — kA'), Y f =— ai'B', Y l = 2t(u l A\ — A l ) 9 \\= a«B' |f
Z' = -aA\ V= a(B-iiB'), Z'^-aAp 11\ = a(B, — «,»;).
Les coordonnées de la développée moyenne pourront alors être définies par un système de trois relations dont nous nous contenterons d'écrire la première
On vérifie d'ailleurs que les coordonnées des quatre courbes satisfont aux relations
dX! dX» -h dZ' dl' = o, d\\ dX\ + dZ\ dl\ = o, d\' d\ n ^dJldL 1 — o, d\\ d\\ ■+■ dl\ dZ[ = o.
La simple inspection de ces formules nous permet de définir le mode de construction annoncé au moyen delà proposition suivante :
Soient données deux courbes quelconques dans chacun des plans isotropes passant par l'axe des z. Associons les points de chaque courbe de l'un des plans aux points d'une courbe du second pour lesquels les projections des
l6 M. DE MONTCHEUÏL.
tangentes sur les plans des xz et des yz se correspondent orthogonalement ; le centre des moyennes distances à ces quatre points décrira une surface de translation, développée moyenne d'une famille de surfaces S. Chacune des quatre courbes dépend d'une des quatre fonctions.
De la formule
x'+r+xi + x;
Xq — —
et des deux formules analogues donnant^, ^o? on peut déduire divers modes de construction de la développée moyenne.
Posons d'abord
/-X!±i x " , __ x; 4- xî .
il vient
x'-hx'.
Cette forme permet de vérifier que la développée moyenne est le lieu du milieu d'un segment dont les extrémités décrivent deux courbes quelconques. C'est la construction que nous avons indiquée tout d'abord.
Posons maintenant
Les surfaces de coordonnées x\ y' , z' ; x 11 ^y 11 , z" représentent les unes et les autres l'ensemble des surfaces définies par l'équation
d*z d % z ___ dz* dy s
La développée moyenne nous apparaît ici comme le lieu du milieu d'un segment dont les extrémités relient deux points de ces surfaces, où les normales ont mêmes longitudes et des latitudes complémentaires. Dans le cas des surfaces minima, ce segment est horizontal.
On peut enfin poser
X'-hX" X'-+-X"
La développée moyenne est ici le lieu du milieu d'un segment dont les extrémités décrivent deux plans isotropes. La correspondance des points a été définie précédemment.
Comme on peut le remarquer, aucun de ces modes de construction ne donne directement le point de la surface S elle-même, mais seulement le point de la surface de translation qui constitue sa développée moyenne. Nous indiquerons plus loin un mode de construction qui donne la surface H. -.Reprenons la surface
On a ici
Z' = - ^|, 7/=- 2 Su»,
Éliminant u, on trouve les deux courbes
On obtiendra les deux autres courbes en changeant i en — 1 dans les formules précédentes.
Pour {3 = a, les quatre courbes se réduisent à deux paraboles égales tracées dans les deux plans isotropes, ayant pour axe celui des z, et pour sommet l'origine. On associera deux points indépendants d'une des paraboles à deux points de la seconde qui leur correspondront selon la loi indiquée plus haut, et le centre des moyennes distances de ces quatre points décrira la développée moyenne de la surface H.
