Des formules données au n° 16, nous tirons

SI — 17 ' ^l — -f

Dans ces formules, remplaçons t',,, t'^^ par leurs valeurs en fonction de '^in'^125 ^^22) puis T4,,T,2,T22 par leurs expressions en Ç et y); nous trouvons ainsi

dans lesquelles, pour abréger l'écriture, on a posé

ap =\/D[{ab-)oi'\-J){ab),,-h{ad)o,-{ad),,]-[{ad)o,-hJ){ad),,]-D[^^^^ 2y ==\/ï)[(a6)o,4-D(a6)„-(flû?)o,4-(ac?),,]--[(a^)oiH-D(aé/),,]4-D[(a^^^^ 3 =D(a6)i,-v/D(«é/)i3,

a' rzi D («6)o2 -h v/5 («^)oi»

2/ = v/^[(a6)oi4-D(a6),, + (aûf)o,-(fl^),,]4-[(^)oi4-D(ac/)„] + D[(a^^^^

Si les expressions de Ç^, y), sont linéaires en Ç et rj, comme M. Picard Ta démontré, elles contiennent nécessairement au numérateur et au dénominateur un facteur commun. Si donc on multiplie le dénominateur par a", il s'écrit

et l'on doit avoir

moyennant quoi on peut l'écrire

(a'ri4-P'')(a'ri + y'). B. A

Si donc on vérifie que Ton a a"S"= P^y", on aura trouvé par là même les facteurs. Des procédés analogues donneront les facteurs des deux numérateurs. On vérifie, en effet, sans peine que l'on a bien

ad = Py, a'à'= (S'y', a'à'=^"y\

et l'on trouve que les numérateurs et le dénominateur peuvent s'écrire

i («1 -h y) (a ru- (3),

^(«'^ + y')(a'Yî4-|3^).

Si nous portons maintenant dans les a, p, y, S, . . . les valeurs a/, 6,-, C/, rf/, tirées des systèmes (I) ou (II), nous trouvons respectivement les formules suivantes, conclusion de tout ce calcul,

(A) l = (^0— ^2V /i^ )? — (^i-^-^»V^) ^ ^ (^0-^ gtV/5) Y} -h («1 — aW^) ^ -(bo- b,\/D)l-h(b,-\- b,s/Dy ' (b,~^b,s/D)n-h{b^-b,\/Dy

fa -H g^P) TQ 4- (ai— «sV/ï)) ^ __ (gp— gîV/^)g — (gj + ^sV/^)

On voit, de plus, sans peine, que les deux relations qui existent dans chaque cas, entre les a et 6, peuvent s'écrire

(R) iab)^i — D{ab)jz= i, (a^)ii-l- («ô)o3=o,

car ces relations ne sont autres, d'après leur origine, que les relations (i) et (3'), dans lesquelles on a porté les valeurs des coefficients, tirées des systèmes (I) ou (II). Remarquons qu'en formant les déterminants des substitutions que nous venons de trouver, on obtient pour (A),

et si l'on suppose maintenant que les coefficients de la transformation du premier ordre soient entiers et réels et queD soit un entier, réel, positif

et non carré, les conditions (R) expriment simplement que Ton a

On verrait de même que, pour la substitution (B), les conditions (S) expriment également que les deux déterminants sont égaux à h- i.

Cette remarque nous dispense d'exprimer a^ et «a en fonction des autres coefficients. Il suffit d'ajouter, comme on le fait d'habitude, que les substitutions que nous considérons, ont leurs déterminants égaux à l'unité

. positive

Discontinuité du groupe.

20. Nous pouvons maintenant établir directement les propriétés de ces substitutions.

Pour les écrire sous une forme plus commode, convenons de désigner le

nombre complexe x-hy\/D par une seule lettre et le nombre conjugué

X — y y/D par la même lettre affectée de l'indice o. Moyennant cela, nos substitutions s'écrivent

(A) Çl y j> tî| -J- ^

Considérons les substitutions (A); elles forment un groupe. En effet, l'inverse d'une pareille substitution est

d^i-hb d^-n^ — bo

c'est-à-dire une substitution de la même forme.

De plus, formons le produit de deux substitutions de cette dernière forme; nous trouvons

d{d[^2-hb')-hb(c',^,^a',) ^ d,{ci,nj-^b',)^b,{-c'ri,-^a'

OU bien

^ Dy)s-hB DoTQî— Bo

ç=7s nr^ "^ — — 7^

avec les valeurs

A =: cb'^ 4- aa'y B=db' -\-ba^, C = ccI'q 4- ac\ ï) = dd' -hbc'^.

Donc, les substitutions (A) forment bien un groupe.

Les substitutions (B) ne forment pas de groupe, car le produit de deux telles substitutions est manifestement une substitution (A). Il faut, toutefois, mettre de côté le cas où le groupe ne contiendrait qu'une seule substitution (B). L'ensemble des substitutions (A) et (B) forme un groupe. Dans ce groupe total les substitutions (A) constituent un sous-groupe.

Considérons en particulier, dans le groupe total, la substitution unité et la substitution (Ç, yj ; yj, ^), T. Toute substitution du groupe total S pourra s'écrire d'une seule manière, sous la forme

A.i ou A.T,

A étant une substitution (A) selon qu'elle appartiendra au type (A) ou (B) de substitutions. De plus, A et A' étant deux substitutions de la forme A, A'. AA'"* est encore une substitution de cette forme. Donc le sous-groupe constitué par les substitutions (A) est un sous-groupe invariant d'indice 2.

21. Nous allons faire voir de plus, que le groupe formé par ces substitutions est un groupe discontinu.

Remarquons d'abord qu'il suffit de démontrer la discontinuité du groupe formé par les substitutions (A).

Considérons la substitution relative à ç. Ecrivons-la sous la forme homogène :

pa\+ il\ ) = («0- a.v/B)(r + 'f ) - («i + «,v/i>)("'+ '■«-'). p(u; -h tu;) = - (6,- 6,v^i))($'+ if ) -h (6,+ 6,v/D)(û>'4- tu'),

la variable Ç ayant été prise égale à -- — ^ et supposons que cette valeur soit telle que le déterminant

soit différent de zéro.

Dans le plan de la variable complexe Ç, décrivons autour de la valeur

précédente de Ç un cercle ne coupant pas Taxe des Ç réels. On peut toujours le faire.

Supposons, en outre, que le transformé Ç, = -^7 r% tombe à l'intérieur

de ce cercle.

Cela étant, effectuons le produit

comme le second déterminant est égal à i, le produit est encore égal à A et, d'autre part, il est égal à

Po étant ici l'imaginaire conjuguée de p et A, le déterminant

on peut donc écrire

A/t'î-i-rM —

et aussi

(^;« 4- TiM = [(«0- a«V^)r - («1 + «3\/D)a)']«

|;(co?-Ha)?)

[-(^0- ^Vî))r + (^i+ ^V/B)a)i*.

Comme le point -^7 ^ est supposé à l'intérieur du cercle construit plus

haut, t^r~S^ ' ,^"^ ^^ ne peuvent dépasser certaines limites. Les pre-

miers membres de ces relations étant limités, les seconds le sont et, par suite, chacune des parties élevées au carré est également limitée et, de

plus, comme ^ ne diffère de A que par un facteur, on en conclut

que les quantités

I ao-a^\/D I, I a,+ a,v/n |, | ^o- 6,v/D |, | b,-^ b^\/D

sont limitées.

Des considérations analogues appliquées à la substitution sur rj montrent que les quantités

a, 4- a,s/D I, |ai~ a,s/D |, | ^0- ^i/D |, | b,-- b,s/D

sont limitées.

3o H. BOURGET.

Comme, maintenant, parmi les huit quantités (i) et (2), il y a certainement quatre sommes véritables, quels que soient les signes des a et des t, on en conclut que les modules des coefficients :

kol, |«i|, Ifljl, [«al, l^ol, l^il, l^ïl, l^sl

sont limités.

Donc, en résumé, si Ton applique à ^ et à y], simultanément les substitutions du groupe A, il n'y a qu'un nombre limité de points transformés d'un point donné à l'intérieur d'un domaine composé de deux cercles de rayon fini tracés autour de ^ et de y] et ne coupant pas l'axe des quantités réelles. Donc, le groupe formé par les substitutions (A) est discontinu, résultat trouvé autrement par M. Picard.

Remarquons que, si l'on applique séparément et indépendamment l'une de l'autre, les deux substitutions sur Ç et sur y), on n'est plus conduit à la môme conclusion. Les substitutions sur Ç, d'une part, sur y), d'autre part, engendrent des groupes continus.

Cette remarque est en défaut si D est un carré parfait; dans ce cas, les deux substitutions deviennent à coefficients entiers et le groupe résulte de la substitution de deux groupes modulaires.

Substitutions fondamentales du groupe.

22. Nous nous proposons maintenant de réduire les substitutions (A), de manière à obtenir un système de substitutions fondamentales du groupe.

On est naturellement conduit à essayer une méthode analogue à celle employée pour réduire le groupe modulaire; mais nous avons ici à calculer sur des nombres complexes de la forme

et l'on sait que l'algorithme d'Euclide ne s'applique plus sans précautions et d'une manière générale. Il vaut donc mieux opérer autrement et faire la réduction sur le groupe de la transformation du premier ordre qui nous a servi de point de départ.

Nous avons vu qu'à toute transformation de la forme

Qq flr, «2 «3

correspondait une substitution, soit de la forme (A), soil de la forme (B), et il est clair qu'inversement à toute substitution (A) ou (B) correspondent deux substitutions linéaires à quatre variables, Tune se déduisant de l'autre en changant les signes des éléments.

En d'autres termes, les deux groupes sont isomorphes mériédriquement.

C'est le groupe des substitutions linéaires à quatre variables que nous allons réduire en appliquant une méthode de réduction déjà bien des fois employée.

Partons de la substitution suivante

-br

Dô,

Da,

Dfe,

— Da,

qui est l'inverse de celle que nous venons d'écrire. Considérons les substitutions :

On a

On voit tout d'abord que les substitutions U, V, U^, V^ font partie du groupe.

Cela étant, supposons qu'on ait | a^, | > | 6o !• Appliquons à S la substitution U^; nous obtenons

— {a, — qbt)

— (Ot—qbt)

su»— S'-

«0 — ^bt D(a,— qbi)

— {Ot — qbt)

«1 — qbi

-Ob',

-D(a,-qb,)

Ot—qb^

Da'^

rt.

et déterminons q de manière à avoir

|ao-^MS-il*o| ou \a',\i{\b,\,

ce qui est toujours possible. Nous aurons de la sorte une substitution S' où l'on aura

Appliquons à S' la substitution V^, en déterminant gr'de manière à avoir

\^'.-q'<\Vi\a,\ ou |6;i<i|a;|.

On sera ainsi conduit à une substitution S'' telle que Ton ait

On appliquera de nouveau à S" une puissance convenable de U et ainsi de suite; en alternant l'emploi des substitutions U et V, on sera sûrement conduit, après un nombre fini d'opérations, à une substitution du groupe dans laquelle ao ou 60 sera nul. On traitera de la même manière les termes a,, 6,, puis «2, 62 et enfin «3, b^\ de sorte qu'après un nombre fini d'opérations, on sera conduit à un des seize types suivants possibles a priori, (Nous n'écrivons, pour abréger, que les deux dernières colonnes de ces substitutions.)

p, Pi

P« Pi

p, Pi

OCj

(Xi