CÛ?)i,
le déterminant de la transformation
Gq ai «2 a»
^0 ^1 ^î ^3 Cq C| C) ^3
cIq di d^ d,
étant d^ailleurs égal à l'unité positive.
Comme nous l'avons remarqué, les substitutions ci-dessus ne sont pas linéaires. M. Picard (*) a fait voir qu'en fixant la valeur du déterminant
égale à un nRmbre entier positif non carré D, on isolait du groupe précédent, un sous-groupe de nature très remarquable. Posons donc
et résolvons cette relation comme il suit :
Tii = —
„.=^fe
? -H rj
V^D désignant la valeur arithmétique du radical, ^, r\ étant deux paramètres complexes en général.
Les substitutions sur les T,y sont devenues linéaires; de plus, par l'introduction des paramètres i, rj, nous faisons correspondre à ces substitutions des substitutions sur ^, y]. Ce sont ces dernières que nous allons spécialement étudier dans ce Travail.
Nous isolons donc, en définitive, une classe particulière de fonctions abé-
(*) Comptes rendus, i*' semestre i884 et Journal de Liouville, i885.
liennes du second genre et il y a lieu d'étudier, pour cette classe, la transformation des fonctions G, les fonctions G à arguments nuls, etc. C'est un point de vue sur lequel M. Hermite a attiré depuis longtemps l'attention et auquel M. Picard (*) s'est placé dans un travail sur les fonctions 6 à trois arguments pour obtenir un exemple effectif des plus intéressants de fonctions hyperfuchsiennes.
Tout d'abord les paramètres complexes ont une limitation qui est importante pour la suite.
Posons
on sait qu'on doit avoir
posant, en outre, on trouve sans peine
^""" ^UH-t))
De là on tire
^Dl'-n"
lî MtMl — / t^ . ^/\J i /C«r. ^«'XS*
(l'-hn'y-ha''\'-n''y
ce qui montre que Ç" et rj" doivent être de même signe et, comme t^, et t^^ sont positifs, on en conclut
qui est la limitation annoncée.
17. Cela posé, commençons par chercher l'expression analytique des substitutions du sous-groupe en fonction des coefficients de la transformation a,-, 6/, C/, rf,-.
(*) Sur une classe de fonctions de deux variables indépendantes (Comptes rendus, i*' semestre; i883).
M. Picard a fait voir qu'en supposant
on était conduit à adjoindre aux relations (i), (2), (3), (4), (5), (6) les quatre suivantes :
(7) {cd),, = D{ab),,,
(8) {cd)o,= D{abU.
(9) {cd)ot=l>{ab)ot,
(10) (a^)„D«-i- [{ab)o, - (c^)„]D - (cd),, = 0.
Nous avons donc seize paramètres a^^ 6^, Co, rfo? •••? ^s^ ^s? ^s? ^3 liés par les dix relations (i), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10).
Nous allons transformer ce système de dix équations en une succession de systèmes équivalents et exprimer finalement les c et les d en fonctions des a et des b qui seront liés par deux relations que nous conserverons.
18. Supposons rfo ^t rf, différents de zéro et (bd)^^ aussi. Des équations (')j (7)» (^)j (9)» ^^ P^^^ tirer Co, c,, Cj, Cj et les porter dans les équations
Le système (i), . . ., (10) est remplacé par le système équivalent
12) Ci(M)o3=^t-^,(a€/)o3+^'D(a6)o,+ ^^'D(a6),„
i3) c,(M)„=rf,-rf,(arf)„-<- M*D(a6)„- iÈ^j){ab)„,
i4) c,(6rf)„=rf, — rf,(arf)o,-h6,D(a6)o„
2) (arf)„-<-(6c)„=i,
i5) /rf,D^V a,(6rf)„-a,(6rf)„-+-a,(M)„] + (W)., = o,
16) U-O^) [ a,(6rf)„-a,(6rf),3+o,(M)„] + (6rf)„=o,
17) (dt-D^) [-ao(W),.-Hat(6rf)oi-a,(W)„] + (6rf)„=o,
18) (rf,- D ^) [-a,(6rf)„-+-a,(6rf)„- a,(6ûf)„] + (M)„=o, 10) (a6)«D»+ [(a6)o,- (crf)„]D - (crf)„ = o.
Supposons rf^, — D -—-' 7^ o ; en vertu d'hypothèses déjà faites, on en
conclut que les facteurs
do-D^ et d,--D^
sont différents de zéro et on tire des équations (i5), (16), (17), (18) (19) rf.D^'=o,
D'autre part, nous tirons de (i5) et (16) pour a, et a^ les expressions
(21) ai(M)os = — ^-+-6,(ac?)o3 ^'(«^)ot»
(22) a,(6û?)os=:— 6,4-^,(aûf)o, j-^{ab\^.
Tirons maintenant de (19), (20), (21) et (22) les valeurs de rf,,^^, a, et a^ et portons- les dans (12), (i3)et(2). Nous obtenons
de sorte que le système primitif des dix équations est équivalent au système suivant :
(10) («6)„D«+[(a6)o,-(cé/)„]D-(crf)oi=:o,
(11) Co(6ûf)o3==:^o— ^o(«ûf)o3+ 6oD(ûr6)os,
(22) û,(6û?)os — - 6i-h6,(aûf)o3 ^'(«^)oi.
ciobi d.
ded»
(24) CtZ= —
Tirons D de réquation (25), portons sa valeur dans toutes les autres et portons dans l'équation (10) les valeurs de c<,, c, , c^, c,, rf<, rfj? ^n ^2* Nous trouvons, par un calcul qui n'a d'autre difficulté que sa longueur,
en supposant 6, et b^ différents de zéro, on en tire (26) b\ = dl
et notre système d'équations, suivant que l'on prend
bi=:d3 ou bi = — d^,
est équivalent à l'un ou à l'autre des deux systèmes suivants :
(I) i Ci = — I>«s, «^1= I>*3, aî(*<i)os = — *i4-6,(a^)os-h6o(a6)o3,
Ci = —a^, ^3= *i.
6jû?o
Co = — Da„ e/o= D*j, a,(6û?)o3— ^3 — ^j(û^)o3+ -i— («*)o3>
(II) l Cl— D«s, ^1=: — D63, a,(W)o3 = — *î-f-*î(ûrû?)o8— *o(«*)o8»
\ Ci= aj, ^8 = — *i.
Nous voyons donc, comme conclusion de ce calcul un peu long, il est vrai, mais très simple, qu'on exprime symétriquement les c et les d au moyen des a et des b liés encore par deux relations. Il est inutile d'aller plus loin et d'essayer d'utiliser ces deux relations pour faire disparaître deux coefficients ; nous verrons plus loin une interprétation simple des deux relations restantes.
