VD
31. Le problème qui va nous occuper est donc la réduction continuelle de la forme
Remarquons avant tout qu'il y a des valeurs de $2, y).^ aussi grandes qu'on veut qui satisfont aux conditions
ft, =2' /^î^'a' fZ3"2
pour la première et la dernière inégalité ; le fait est évident. Pour la seconde, il suffît de choisir une valeur de î^^ = ( — ) qui satisfasse à l'inégalité
C*-+-(2-8D)rH-i<o;
il faut donc que ^l et yj^ croissent sans limite de façon que leur rapport J^^ soit compris entre les racines de l'équation
racines qui sont toujours réelles et égales à
41)— iih2v/2D(2D — j).
Remarquons également que de pareilles valeurs infiniment grandes de Ç^ et yja sont compatibles avec la condition
ou
2 '^i-T-Sï
ou bien
car cette dernière exige que l'on ait
or CCS deux limites de ^^ sont comprises dans l'intervalle des racines de l'équation ci-dessus en X.
Donc notre assertion est confirmée; il y a des valeurs infiniment grandes de ^a et y]2 satisfaisant aux inégalités de la réduction en ce qui concerne les nombres [jl/ et | £4 |<[ ^.
Ceci nous montre que le domaine D de réduction a un point commun avec la limite du domaine S à Tinfini qui est entièrement analogue au point à rinfini du domaine fondamental du groupe modulaire. Il résulte de cette analyse qu'il ne peut avoir que ce point commun.
Enfin, remarquons encore que, sauf les conditions
toutes les autres conditions de la réduction ne dépendent que des variables
car on a
Il ^^
11 résulte de là la conséquence importante que, si nous réduisons la forme en supposant les conditions
Fl
toujours satisfaites pour le point variable ($<, yj,, Çj, rjo), nous n'avons en définitive que trois paramètres ^i, yj!, 2^^; fait analytique qui nous dispense d'employer l'espace à quatre dimensions comme espace représentatif de la réduction continuelle et nous permet de rester dans un espace à trois dimensions.
C'est un fait analogue au fait qui se passe dans le groupe modulaire. Si l'on est en dehors du cercle x*-h y^ ^ i = o suffisamment loin de l'origine, le domaine fondamental est une bande parallèle à Oy et, par suite, les limitations de ce domaine ne dépendent pas de la variable y.
32, Toutes ces remarques étant faites, voici comment nous allons faire la réduction continuelle.
Nous allons supposer que ^^ et yja sont infiniment grands et de telle sorte
que leur rapport ~ = J^ et elles-mêmes satisfassent toujours aux conditions
fxi ^ ^' fx, ^ •" f.; ^ *'
et nous allons faire varier ^i, y],, î^ de toutes les manières possibles. En d'autres termes, nous ne réduisons la forme que pour les valeurs de $|, y],, $2, ^12 avoisinant le point à l'infini du domaine S, et nous allons chercher toutes les réduites dont les domaines de réduction admettent ce point. Nous donnerons une valeur fixe à T et nous réduirons la forme pour B. 7
5o H, BOURGET.
toutes les valeurs de $| et yji . Nous obtiendrons ainsi une division régulière du plan des Ç< et y)| . Nous ferons ensuite varier ^ dans les limites où il peut varier et nous verrons comment se déforme cette division régulière dans l'espace à trois dimensions ($|, rji, ÎJ).
33. Commençons par le cas très simple où J^^ = i ; on a alors comme conditions de réduction de la forme
-i< v/ï>(ï,-n,)<i, -i< lit), <i,
qui nous montrent que la forme est réduite dans le rectangle dont les côtés ont pour équations
5i-hYîi = ±:i, ^i-Y), = ±:
domaine que nous désignerons par cIq.
Sortons de d^ par le côté
on a
La substitution
\Xif ^i, J?3, Û.\l ^1 + J?j, a?2, ^^3, vT^),
qui remplace e, par e, -H i , réduit la forme et donne avec les conditions de réduction
— -î<-($i+TOi)-M<î,
* ^ /Il ^ *'
SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE GROUPES BYPERABÉLIENS. 5l
qui nous montrent que la forme est réduite dans le rectangle formé par les droites
2 yD
domaine d^ .
Sortons de rf, par le côté Ç^ 4- y], = i; nous avons, dans le voisinage de
côté
e5<o, |e5|>ï, la substitution
remplace £5 par £5-1-1, mais aussi £, par £3 -h e,.
Si cette quantité est, en valeur absolue, inférieure à ^, la substitution considérée réduit la forme.
Or on a
£3 + £i == ?iY}i — (^1 + *0i ) -h i;
il n'est pas difficile de voir qu'au voisinage du côté traversé elle est positive et inférieure à ^.
Donc, on obtient la forme
Arrêtons-nous et revenons au domaine primitif d^. Sortons de d^ par le côté
on a
la substitution
(a7|, X^^ X%y X}^\ Xx — ^*j, .3?2, ^s, ^4)»
qui remplace £< par t^ — r, réduit la forme qui devient
qui est réduite dans le rectangle rf,-,
Or, cette forme /,' coïncide avec/,»; donc, il est inutile de pousser plus avant la réduction dans la bande du plan, limitée par les droites
Si nous partons de d^ dans le sens des Ç, positifs, nous rencontrons successivement les formes /©, /ij /«•? /05 /n /«'? • • •? ^^ dans le sens des E,
négatifs /,,, /i', /, , /o, /,', /,, ...; de sorte que, si nous considérons le domaine formé par la réunion des domaines rf^', d^^ d^^ nous voyons que ce domaine se reproduit à Tinfîni et nous donne une division régulière de la bande du plan considérée.
Revenons maintenant au domaine d^ et réduisons la forme initiale en faisant varier le point (Ç^ , y], ) dans la bande du plan limitée par les droites
Nous donnons la Table du calcul ; ce que nous venons de dire nous permet d'abréger les explications
Coté de sortie Çj — y)i= — —y £j>o, |Êîi>ï«
Substitution (a:,, jtj, jr,, x,,; x^ — x^^ x^y x^, x^),
/i=x\ — D^-J — (xi — Xj) Xfc.
€,= V^ï)(çi — Y},) — I,
Domaine d^ ÇjH- /î, = ± |, v^I) (£, — yj,) r=i, |.
Si l'on sort de d^ symétriquement par rapport à l'origine, on trouve
((S) Côté de sortie de fl^, ^j — ?],= — -=> £t>o» |£ï|>a«
Substitution {x^, x^, x^ J74; Xi — x^, jjj, jtj, .r;),
£,= ^(^j Yj,)— 2, £5- ^>
Domaine ^1» çi -+■ y3i=:± J, V^D (^,— y}i) = J, f.
Si Ton sort de rfj, symétriquement, on trouve
(y) Côté de sortie de <a?j« ^^ — nl= — t]^, £î>o, |e|>-J.
Côté de sortie de df
Substitution
(J?f, J7t, J/j, JCi
Domaine ûf,i ^^~\-ni^=z± {^ V^D (?i— ^1) =
et, comme quatrième côté, la droite
OU rhyperbole équilatère
suivant la valeur de D. Si c'est la droite
on continuera à réduire de la même manière jusqu'à ce qu'on rencontre cette hyperbole équilatère, ce qui arrivera d'autant plus tard que D sera plus grand. Si nous supposons D = 5, cette circonstance se présente maintenant. Plaçons-nous dans ce cas pour fixer les idées; le domaine rf^» est donc limité par
(o) Côté de sortie de e/,1. ^j — Yî,-h J =0, £3<o, |£3|>î. Substitution (:C|, ^j, x,, a-^; j:, h- j:*;, arj, .r^, ^-4).
Domaine û^a Çi + rîi = ±i, ?iT0i+}=o> V^(?i — Tni)=t
On aurait de même, symétriquement,
(s) Côté de sortie de <a?,4. ^, — y3i=— 2, £2>o, |eî|>î«
Substitution (a?!, ^Tj, a?,, j:*; ^, — x,, x^, œ^, x,,).
f^iz=x\ —hx\ — (:ri-r-4«2^s+ ^4) -2*4.
DomaineûT,» ^i + tOi=:±:Î, v^(?i — Tni) = 1» |.
On aurait, symétriquement,
(Ç) Côté de sortie de cf,s — ^j— 10,= — ^> £2>o> |eî|>i>
Substitution (^1, a?i, a?3, x^; x^ — x^^ ar^, j7s, j?;),
/,6=a;J — D:rJ — (a?, — Sa:,-*- ^4)^;,
£1 = — (?i + TOi),
e,= v/S(Çi-Y,|)-5,
Domaine d^ ^, + y}, = ± J^ y/D (?i — tqi ) = |,
et la droite OU la droite
si Ton se place toujours dans le cas de D = 5, cette circonstance se présente ici, car 2D = 10.
(tq) Côté de sortie de dt*. (^j — ?],)=: -^-— ( -^—=\
2yD \2vD/
La substitution (^3 ] x^-h x^) remplace e^ par £c -i- ï» ce qui réduit £«, mais aussi £3 par s, -f- Ej.
Or, au voisinage du côté de sortie, £3 -h £3 est > o et de valeur plus grande que ^. Il faut donc, en outre, poser (x^ \ x^ — x^) pour achever de réduire la forme. La substitution réductrice est donc en définitive
(^j, Xff x^j x^^ Xi — x^^ Xf, a^j-H^r^, x^)j /jTzz: xl — D(a:8-h x^y — {Xi — 5xi — 6x\ — x^-{- a:,,)ûr^=Lxl — Bxl — ^7,0:4=1/^,.
Il sera donc inutile d'aller plus loin et l'on voit que dans la bande limitée
par les droites
si l'on s'avance dans le sens des Ç^ positifs, on rencontre successivement les formes
/oi fu ft*f /l*> /jS /î*> /iS yi» /l» /i'y • • • »
et, dans le sens des Ç, négatifs,
•••> fof fr'i /ï*» fv*9 /«'» /î»> f%9 /©•
Ce qui se passe pour D = 5 est général et l'on a un nombre de formes distinctes d'autant plus grand que D est lui-même plus grand. Si donc on réunit ensemble les domaines
df*, e/j», ûfj«, cfj'i, di», d^y d^y d^y d^»^ d^^y dx*y t/js, ^2*,
on obtient un domaine qui se reproduit à l'infini et donne une division régulière de la portion de plan limitée par les droites
56 H. BOUBGET.
En lenant compte de ce que nous avons déjà trouvé, nous en concluons l'existence, dans le plan des Ç,, ï],, d'un domaine fondamental qui est le rectangle ayant pour côtés
La fig. I , qui correspond au cas de D = 5, montre clairement tout ce que nous venons de dire.
Nous obtiendrons des substitutions semblables de la forme /o, en prenant
les substitutions qui nous permettent de passer du domaine d^ à tout domaine correspondant à la nième réduite /,.
On retrouve ainsi les substitutions qui correspondent aux substitutions hyperabéliennes
elles laissent d'ailleurs invariable le point à l'infini des domaines D, situé sur la limite du domaine S.
34. Revenons maintenant aux conditions de réduction et considérons-les dans toute leur généralité sans supposer Ç^ = i. Les quantités s» et s^ ont seules changé dans ce nouveau cas ; on a
et
Si Ton écrit les conditions
les droites limites obtenues en prenant le signe d'égalité ne sont plus parallèles à Ç, -h Y), = o, comme dans le cas précédent, mais ont un coefficient angulaire égal à — ^''.
Nous allons construire ces droites limites pour les valeurs limites de J^^, c'est-à-dire pour les quatre valeurs
Les droites
v/ïï-
2v/ï) -Hl 2v/ï>-r
Oi =— I
passent respectivement par les points (^, ;j), (— ^, — t)» et par les points d'intersection des droites
£l — TO 1 = — V^ÏÏ, ^, — Y3, zr: H- v/D ;
de même, les droites
Ol
v/ïï
yU + i \
av/ÎJav/ÏÏ
lOi =— I 1^
passent par les points (i, ^), (- i, - t), et par les points d'intersection des B. «
droites
Les quatre autres droites limites correspondant aux raéines de l'équation en X du n** 31, passent également par les points (^, ^), (— ^, — ^), et comprennent dans leur angle les droites que nous venons de construire; par
2Vl)-1
suite, deux d'entre elles, parallèles, coupent le domaine fondamental, les deux autres ne le traversent pas.
Nous voyons donc que, si t^ est compris entre les nombres
^iy/D-i-i 2V/1)
£4 est positif ou négatif, suivant que X,^ est plus petit ou plus grand que 1 , et il n'y a de changé que la forme du domaine fondamental qui est un parallélogramme A^ A', B, B', ayant pour côtés
SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE GROUPES HYPERABÉLIENS. bg
Nous pouvons résumer les résultats obtenus jusqu'ici et leur donner une forme géométrique en considérant Z,^ comme une troisième coordonnée dans un système de coordonnées rectangulaires ($|, yIi , <^^).
LT variant de — ^4= a -^, » nous avons une division régulière de
2v/ï>-i-I 2vi) — l ^
la portion d'espace limitée par les deux plans
qui résulte de la répétition d'un même domaine fondamental formé par la portion d'espace comprise entre les deux plans Ç^ — y], dz y/D et les deux hélicoides gauches $,-h^*y], = =ii(i-f-Ç^).
35. Si ^^ est en dehors de l'intervalle -^ ? —^7^= — ^, une étude com-
plémentaire s'impose.
Dans ce cas, en effet, on a
et la forme /o ne peut être réduite pour aucune valeur de (^<, yj,). C'est dire que le domaine d^ de réduction de f^ ne s'étend ni au-dessus, ni audessous des deux plans précédents.
Considérons les plans
p éteint un nombre entier positif impair. Les premiers coupent l'axe des ^* entre l'origine et le point-— ^ 1 si /?5 2 y/D, les seconds entre le point
-^— P et l'oo. Ne considérons de ces plans que ceux compris entre les
racines de l'équation en X, de manière à avoir toujours pour les valeurs correspondantes de Ç^
Cela étant, si 1^^ est compris entre
ay/D — (/>-f-2) ^^ a y/ÏÏ— />
2V/|) 4- (/?4-2) ay/O + yo
Go H. BOURGET.
la substitution
( JTj, Xj, ^3, X^'y Xiy X^ — P^Zy -^3» '^4)
réduira la forme, à condition qu'il y ait des valeurs de (^,, y], ) satisfaisant aux conditions
I £2 - ;?£, I = I V/D (J, - tîi) -H/^CHi + TOi ) ! < i» et, si X^' est compris entre
L — £: et —27= — ^^- ^, ,
ayj)— /? 2 v^D — (/?-{- 2)
il faudra prendre, pour réduire la forme, la substitution
(J7l, iZ'î, J^s, X)^\ X^y ^t"^ P^Zy «^3» '^*)>
pourvu qu'il existe des valeurs de ($^, ?],) satisfaisant aux inégalités
|£,4-/>£, |:=|v/D(^i-Tr3i)-/?(Ç,-+-yî,)|<i,
car, par exemple, la première substitution remplace
£4 par £4 — p et £2 par f^ — /?£,.
Or, £jj = sjY) ■— 7î est plus petit que et plus grand que/?. Pour s'assurer si la condition auxiliaire peut être satisfaite, construisons dans le premier cas les droites
V^ (?i - TO,) +/?(?! -h TOi) 4- i = o;
ces droites sont parallèles et passent respectivement par les points
et les points de la portion de plan comprise entre ces droites satisfont à la condition exigée pour la réduction.
Il en est de même dans le second cas.
SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE GROUPES HYPER ABÉLIENS. Cl
