Appliquons ces substitutions à la forme/o; nous trouvons
(j^i — pjr^y — Bxl — x^jr^, si S4>o, {jc^-^ px^y—Da^l — x^x^y si e4<o.
Si, en outre, nous supposons fixe la valeur de ^^, nous voyons que ces formes seront réduites dans les parallélogrammies limites par les droites
V^D($,--nt)-H/?(|i + in,)±{ = o
et
$,4-Yîi = ±i.
La réduction continuelle de chacune des deux formes dans les plans correspondant aux valeurs de ^^ se fera sans plus de peine que dans l'exemple traité plus haut, et Ton rencontrera encore ici les deux mêmes substitutions semblables.
La /Ig. 3 ci-dessous montre le parallélogramme dans lequel esfe réduite
,*-ni-+J
Çi^.-- J-
la forme de départ et correspond au cas où î^^ est compris entre
ay/D — 3 a y/P — i
et
Dans ce qui précède, nous avons retrouvé deux de nos substitutions fondamentales; ce sont celles qui correspondent aux substitutions semblables,
Elles laissent d'ailleurs invariable le point de la limite du domaine S commun à tous les domaines de réduction.
Abandonnons maintenant l'hypothèse faite jusqu'à présent
et faisons varier le plan ^^ = const. en dehors des limites qui lui étaient imposées par les racines de l'équation en X. Il est clair que pour réduire de nouveau la forme, on pourra employer une substitution de la formo
(.1*1, ûTfy ûT^j ûT^', .Tj, oc*rj-Hpj73, y^î-+-0J?3, jr^)
avec
à condition de supposer ($^ , ?],) choisis de manière à satisfaire aux inégalités
ce qui est toujours possible, car il suffit de supposer (^,, yj,) à l'intérieur du parallélogramme ayant pour côtés
«fil 4- y£j = =ti |, (3£i H- dzt = ± i- Il suffira même que la substitution choisie réduise la forme binaire
les conditions relatives à (Ç,, y], ) étant conservées.
Or, le calcul de la réduction de cette forme binaire définie est forcément
limité, comme on sait. On finira par retomber sur des réduites obtenues et
l'on déduira par conséquent, de ce calcul, des substitutions semblables pour
la forme donnée. Elles ne contiendront que x^ et a;,; donc elles seront
aussi des substitutions semblables de xl — Dxl, c'est-à-dire seront telles
que l'on ait
«2— Dy*=:i.
Ce seront donc les substitutions qui correspondent aux puissances de la substitution
[;, -n; (a — cs/Dyî^, (a -^ c\/î))n],
