FONCTIONS DU GROUPE

Fonctions & et modules.

38. Nous allons nous occuper, dans ce Chapitre, des fonctions que laissent invariables les substitutions du groupe que nous considérons ou d'un de ses sous-groupes.

Avant d'aborder cette question, nous allons considérer un cas particulier important.

On sait quel grand intérêt offre, dans le cas du groupe modulaire, l'étude des fonctions &, dans lesquelles on suppose l'argument nul et où l'on consi-

dère comme variable le rapport — =t des périodes. M. Hermite a rencontré ainsi le premier exemple de fonctions modulaires.

Nous allons considérer de même ici les fonctions 2r à deux arguments, et nous donnerons à ces arguments les valeurs o.

39. On sait qu'il y a seize fonctions & à deux arguments ; six d'entre elles sont des fonctions impaires; les dix autres sont des fonctions paires. Si donc on y suppose les arguments nuls, les six fonctions impaires seront identiquement nulles et nous aurons seulement à considérer dix fonctions &.

En prenant comme notations celles de MM. Weierstrass et Weber, nos fonctions auront la forme

— ao — «0

'^iM '^«a? '^22 désignent les modules de périodicité.

\y / I se nomme la caractéristique; les nombres g et h sont égaux à

SUIl UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE GROUPES HYPERABÉLIENS.

o OU 1 ; de plus, la fonction étant paire, on a

tr

i^,H-^iAï=o (mo(l2).

De plus, nous conviendrons de représenter les dix fonctions & paires par Tune ou Tautre des notations

'Oly

Nous rappellerons que les éléments du Tableau suivant

sont les coefficients d'une substitution orthogonale.