CT

Tjs<

Cela étant il faut appliquer, à chacune des dix fonctions Sr, ces cinq transformations linéaires sur les t.

Rappelons, à cet effet, la formule de la transformation linéaire des fonctions S à arguments nuls

Ce*

f / (Tii, Tu, Tjj),

dans laquelle on a posé

2^i^î(Co^i-h^o«i) -^2e^jAj(Co^,-Hû?oûrî) ■+-2^,^i(Co^3-t-^o«3) 2^î/ij(C, ^î-H û^i^j) -f. 2^,/i, (C|Z»3 4- ûfi«3) -h 2/21 As(C,63-h (^,«3)

a = aoaj-t-aia„ 6=: 60 63 H- 6, ^,,

,+ ajaj-t-a,ai,

^j giào-hgibi-hhjb^-i-

/i,6jH- 6o^j-t- ^i^î»

h\ = giCo -H ^jC, -H /i,c, +

/t,c, -HCoCa 4- CiC„

/ij ûfj -^ dod^-i- dy û?j,

n étant

ezo ^1 ^2

6*0 C| Cj

do di df

rf,

t'^p t^2, t!^^ étant des fonctions de t,,, t,2, TaaCt enfin c désignant une constante qui ne dépend que des coefficients de la transformation et qui est la même pour les dix fonctions &.

Remarquons aussi, avant d'appliquer cette formule, que deux transformations dont les éléments sont égaux et de signes contraires donnent le même résultat dans la formule de transformation.

41. Appliquons maintenant ces résultats généraux à nos cinq transformations.

Transformation cl.

L'une des deux transformations linéaires à quatre variables correspondant à a est

d'où

; rr

rr O 2

Ûf :=0,

Cl) = o,

^i K ■+■ 01 K = 01 /'i -^ oi^hf

(*) Voir le Linfc de M. Krause Sur (a transformation des fonctions hyperclliptiques du premier ordre.

la formule de transformation devient

appliquée aux dix fonctions â, elle donne, en désignant par S'^ la fonclion ^a relative aux modules transformés t',

En outre, si Ton développe l'identité

on voit que la transformation sur les t équivaut à la substitution suivante sur les indices de la série

donc, elle ne fait que changer Tordre des termes de la série, ce qui n'a aucun effet sur sa valeur,, la série étant absolument convergente. On a donc

=n-hi

et l'on peut écrire le Tableau ci-dessus sous la forme

2r' zn

— ^ot?

Sr'

Or'

Transformation [î.

I^'une des transformations linéaires correspondantes est

SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE GROUPES IlYPERABÉLIENS.

d'où

(.)n n'obtient pas les mêmes résultats en appliquant la formule de transformation^ suivant que D est impair ou pair. On doit donc distinguer deux cas. On a, dans le cas où D est impair,

/ jT

•^0 — ^ ^S-^lî)

-'14— ^ ^i-'in

lit

et, dans le cas où D est pair,

C»' '-^ Or

t w2.Jj4,

ITÎ

Nous réservons, pour le moment, la détermination de la constante

Transformation y.

L'une des transformations linéaires est

d'où

-gi>

-Tt.