II

On obtient le Tableau suivant, après avoir déterminé la constante 85 = -h I , comme dans le premier cas,

S^JÎ ^Î3>

Transformation 8.

L'une des deux transformations linéaires est

avec

aj~l)«î=z,, j

(mod 2),

d'où

a=zo, 6 = 0, 0)'= 2Daoaj-H aa^aj-i- /JDaJ = o (mod 8).

On obtient le Tableau suivant :

•^03 . "^i-^OS»

Si Dei^o (mod 2), il s'introduit en outre, dans le second membre, un

facteur e *

qui est égal à -f- i si ol^e^o, — i si a^^o (mod 4)- ^>ous

réservons également la détermination de la constante c».

Transformation e.

L'une des deux transformations est

d'où

St>

Si Ton détermine la constante s 5 comme plus haut, on trouve 85 et l'on trouve le Tableau

Or' ^

STj, — jjj,

42. Il resterait maintenant, pour compléter ce que nous venons de dire, à déterminer les constantes Sa et a». Remarquons toutefois que, les fonctions £r n'intervenant que par leurs rapports dans ce qui va suivre, les valeurs de ces constantes ne nous sont d'aucune utilité.

Pourtant, nous avons appliqué à cette détermination une méthode bien connue, donnée jadis par M. Hermite dans le Journal de Liouvillr (année i858), pour les fonctions Sr à un seul argument et étendue aux fonctions 3 à /? arguments par M. Weber (*).

Nous n'avons rien trouvé de particulièrement remarquable. On peut vérifier les résultats en cherchant, par une méthode donnée par M. Krauso dans son Livre Sur la transformation des fonctions hyperelliptiques du

(*) Weber, Journal de Crelle, t. 74.

premier ordre, le carré de ces constantes. On trouve

Nous avons résumé dans deux Tableaux à double entrée Teflet produit sur les dix fonctions £r paires à arguments par les substitutions fondamentales du groupe. Le premier Tableau est relatif à D^i (moda), le second à Dz^o (mod2). Dans ces Tableaux, l'entrée verticale est relative aux substitutions, l'entrée horizontale aux fonctions S; nous n'y avons désigné les fonctions & que par leurs indices.

43. Ces Tableaux nous montrent immédiatement que les fonctions S se séparent en deux groupes, les fonctions de chaque groupe ne faisant que se permuter, à des constantes près, par les substitutions a, p, y, o.

Quand Di~ i (mod2), ces groupements sont

(^5> ^î> •^03» ^u) 6t (Sr^, 3qj, STjj, ^,j, ^3j, ^^),

Quand Df=:o (moda), ce sont

{^5» -^01» ^4» -^Ss) ^t (^0» "^l*» •^U> '^03> «-^Si» ^ï)'

Les groupements

sont des groupements connus dans la théorie des fonctions ^.

Il n'y a pas de relation linéaire entre les quatre fonctions ^ d'un même groupe et le carré de toute fonction & peut s'exprimer linéairement en fonction des carrés des quatre fonctions de chacun de ces groupements.

Les groupements de cette nature, qui sont au nombre de soixante dans la ihéorie générale, portent le nom de quadruplets pairs. Ce sont aussi les fonctions S contenues dans de tels groupements qui donnent lieu à la célèbre relation biquadra tique de Gopel.

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