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44. Ces Tableaux nous permettent également de former autant de fonctions invariables par les substitutions du groupe que nous le désirons.

Remarquons d'abord que les exponentielles qui interviennent comme facteurs dans les fonctions S sont toutes des racines huitièmes de l'unité.

11 en résulte que toute fonction symétrique des puissances huitièmes des fonctions £r contenues soit dans le premier groupement, soit dans le second, soit dans les deux groupements, se reproduit à une constante près, qui est le produit G*'' 8*^ élevé à la puissance marquée par le degré de la fonction symétrique.

Kn conséquence :

Si l'on prend deux pareilles fonctions symétriques, si on les élève à des puissances convenables et si Von en prend le rapport, les constantes disparaîtront et Von obtiendra une fonction qui sera invariable par toutes les substitutions du groupe.

Telles sont, par exemple, les fonctions

^8 Cr8 Cy8 Cr8 CjS Cy8 > 1^ — » \\nK3iX Z ) ,

Voici un cas où ce procédé se simplifie et l'on obtient une fonction remarquable du groupe.

Posons

^ -^4 ^Qi ->2j .Jjt «^34 ^Q.

La substitution a les reproduit

M |3 les multiplie respectivement par diC*, ihCJ

» y les reproduit

» les multiplie respectivement par CJ, C*

» £ les reproduit.

Donc, une substitution quelconque du groupe les multiplie respectivement par

SUR l'NE CLASSE PARTICULIÈRE DE GROUPES HYPERABÊLiENS. ^3

Donc, la fonction est une fonction du groupe.

45. Comme autres fonctions particulières, considérons les modules; d'abord un système de modules de Borchardt ('). Posons

et supposons par exemple De^i (mod2).

On voit, sans qu'il soit utile d'insister, en se reportant aux Tableaux donnés plus haut, que les cinq substitutions

ne font que permuter ou changer le signe de ces trois modules. Donc, le sous-groupe ayant pour substitutions fondamentales

laisse invariable le système considéré des modules de Borchardt.

46. Si nous recherchons quelles sont les substitutions de notre groupe qui laissent invariables les modules de Richelot, il suffit de considérer un seul système de tels modules, tous les autres modules s'exprimant rationnellement à l'aide des premiers. Prenons, par exemple, les modules x, X, [x définis par les formules

Jjj Jf3 -jTj ^01

les fonctions â qui y entrent étant supposées à arguments nuls.

En désignant par 6 les fonctions transformées par une quelconque des substitutions cherchées, on a nécessairement

(*) Borchardt, Sur le choix des modules dans les intégrales hyperelliptiques {Comptes rendus, t. LXXXVIII; 1879).

d'où l'on déduit sans peine

?[i^ ^-^ ^-îi

srj-0î' ^l~oi' ^u-eu'

ce qui montre que toute substitution cherchée doit, avant tout, reproduire les caractéristiques

[o oj' [ô ôj' [o ÔJ- U oj' Lô ?J' [o Îj

correspondant aux fonctions S,

Développons ces conditions.

On sait que les éléments de la caractéristique transformée ^J ^?

fonction des éléments de l'ancienne caractéristique \^^ ^* sont donnés par les formules

Aj =^ic/o-H^j<5^i"»-^î^î-t- h^d^-^d d=d^d^-¥-d^d^\

en exprimant les conditions trouvées plus haut, on a

a = o, «0-1- ^i-t- ^ = i> ai4-a = o, «o-Ha^i, aî-ha = o,

C ^ o, Cq -f- c, -h c ^ o, Cl H- c ^ o, Cq -h c = o, 6', 4- c ^l 1 ,

^=Eo, ^o-i-^i + rf^o, di-h d ^ o, d^-\- d ^ Oy dx-\- d -^ o,

toutes ces congrucnces étant prises selon le moda. On en tire immédiatement

«(,== I, ezi^o, a^^o, a3==o, ^0=0, ^1=1, ^2=0, ^,= 0,1,

Co=o, C, = 0, Cj=I, Cj=0, I,

De plus, comme les substitutions doivent appartenir à la classe de celles que nous étudions, nous avons

Cq— Da„

do-Dbu

Ct — Daa,

d,-Db,,

Cs=:ûro»

dt— à^,

dz— ^1,

et, par suite, nous avons, soit

soit