rD

si D est pair, x, X, (x se reproduisent; donc, les conditions (I) caractérisent

entièrement, dans ce cas, le sous-groupe qui laisse les modules de Richelot

invariables.

Si D est impair, pour que x, X, a soient invariables, il faut que Ton ait

en plus

rtjj^o, ^j=o (mod4).

De plus, ces deux classes de substitutions forment des groupes.

17. On peut également voir ce que deviennent, par les substitutions du groupe, les invariants de la forme binaire du sixième ordre qui intervient en dénominateur dans les intégrales de notre système de fonctions hyperelliptiques. On déduit de cette étude trois nouvelles fonctions particulières du groupe, qui s'expriment ainsi au moyen de ces invariants.

Fonctions du groupe en général,

48. Mais arrivons aux fonctions du groupe, considérées en général, et en suivant la méthode de formation indiquée par M. Picard dans son Mémoire Sur la théorie des fonctions hyperabé Hennés.

Il sera commode, dans ce qui va suivre, d'avoir à la place des deux demiplans positifs pour i et Y] deux cercles c et c' décrits de l'origine comme centre avec des rayons égaux à l'unité, c dans le plan des $, c' dans le plan des Y]. A cet effet, effectuons sur toutes nos substitutions la substitution

i Hi H- i

2 Tî, — f

Comme son déterminant est égal à i , les déterminants

ad — bCy Iq — mp

SUR UNK CLASSE PAHTICULIÈKK DE GROUPES HYPERABÉLIENS.

resteront égaux à i et les conditions $">o, y]"> o seront remplacées par les suivantes

Yi j'' 4- Y] ,' — I < o,

c'est-à-dire que les points ^ et y] devront être à l'intérieur des cercles dési gnés par c et c'.

Les cinq substitutions fondamentales deviennent

T-»aïz= -

Ï-»VÏ=:

r-»oT=: -

i çi-+- i i Yî,-h /

2 ;i i 2 Tî, l

2 4i— i' 2 YÎ!—/

2 Ji—i* 2 Yîi— /

2 ;, « 2 Yîi /

2 Cl— «" 2 Ylj— i

^ SI

^ Yîi -f- /

2 Yi,— i

2 Cl— «

2 Yi,

2 C — £ 2 YJi— l)

où Ton a posé

/iQ=a — c\/Dy /i m a -H cy/ï).

4y. Cela étant, considérons, avec M. Picard, une fonction de deux variables

rationnelle et holoniorphe, tant que $ et y] sont à l'intérieur ou sur la circonférence des cercles c et c\

Formons, pour toutes les substitutions de noire groupe qui sont du type (A), l'expression

qui peut s'écrire

Formons de même, pour les substitutions du type (B), l'expression

8o H. BOURGET.

qui peut s'écrire

'"crire

Dans ces expressions, m désigne un nombre entier supérieur à l'unité. Faisons la somme de toutes ces expressions pour les substitutions du groupe. Nous obtenons une série

Nous allons montrer qu'elle est absolument convergente pour les valeurs de S, et Y], situées à Tintérieur des cercles c et c'.

Commençons par remarquer qu'on peut trouver, en vertu des hypothèses faites sur R($,,yj,), un nombre positif M, tel que l'on ait, quelle que soit la substitution (^,, vj, ; /, F),

et aussi

Il en résulte que les modules des termes de la série considérée sont respectivement inférieurs à

et que, pour établir la convergence de la série considérée, il suffit de montrer que la suivante

est convergente.

A cet effet, considérons un système de valeurs (?, vj), ^ étant à l'intérieur de c, v) à l'intérieur de c'.

Puisque le groupe est discontinu, on peut considérer, autour de (i, r^), un domaine S assez petit pour que tous les domaines transformés de S par les substitutions du groupe n'aient aucun point commun entre eux et avec S.

Posons alors

SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE GROUPES HYPERABÊLIENS. 8l

et envisageons l'intégrale quadruple

^li ^4i ^^1 ^^'î

étendue à chacun de ces domaines transformés de 8.

La somme de ces intégrales est finie, car ces intégrales sont toutes positives comme exprimant des produits d'aires et, en outre, leur somme est moindre que le produit des aires des deux cercles c et c'.

Or, comme chacun des domaines correspond au domaine S par une des substitutions du groupe, on peut n'avoir, comme somme de toutes ces intégrales, qu'une intégrale étendue au seul domaine S. On trouve ainsi

//// I ^[^^'^(cl^ci)(c''n,-^d')]-

^[r^iyr,^ + 0) (y'?. + à')]-'- j dl\ dl\ cin\ d^\ ;

comme cette intégrale est comprise entre des limites finies, on en conclut que la série considérée est convergente pour m ^2 et que la convergence est absolue.

50. La fonction ©^ , dont nous venons de démontrer l'existence, est holomorphe pour toutes les valeurs des variables ^, et r], comprises à l'intérieur des cercles c et d. De plus, si l'on effectue sur les variables ^|, r], une substitution quelconque du groupe, chaque terme de la série se change en un autre terme de la même série, multiplié par

{cl,~^dy-"^{c'n,-^df"' ou

suivant que la substitution opérée est du type (A) ou du type (B). On a donc, suivant les cas :

51. On pourrait craindre que les fonctions 0, fussent identiquement nulles. C'est un point que M. Picard a examiné en détail dans le cas ana-