II. BOCRGET
en général, et il faudra, pour la réduire, lui appliquer une substitution T; nous dirons que /T est réduite.
ç, étant réduite pour un système de valeurs de $ et r;, ne le sera que pour les valeurs voisines satisfaisant à certaines conditions; en d'autres ternies, tant que le point ($', Ç"; r;', r') de Fespacc à quatre dimensions sera à rintérieur d'un certain domaine D et si nous imaginons que ce point varie de toutes les manières possibles, il faudra, suivant les régions où il sera, employer telle ou telle substitution pour réduire o et, par conséquent, la forme indéfinie correspondante /.
L'ensemble de ces opérations de réduction sur la forme / constitue ce que Ton appelle la réduction continuelle de la forme f.
Parmi les applications de cette méthode, nous citerons, comme montrant très clairement la marche de cet algorithme, le développement des irrationnelles du troisième degré, fait par M. Gharve dans sa Thèse.
Dans ce qui suit, nous ne développerons pas la théorie générale de la réduction continuelle des formes quadratiques quaternaires, qui parait présenter encore bien des points non éclaircis, mais nous appliquerons à la forme qui nous occupe
l'algorithme de la réduction continuelle.
13. Nous allons seulement démontrer, relativement à la théorie de la réduction continuelle, quelques propositions qui nous seront utiles dans l'exemple que nous voulons traiter. Rappelons d'abord qu'il résulte d'un théorème général énoncé par M. Hermite que le nombre des formes réduites arithmétiquement équii^alentes à une forme indéfinie donnée est fini.
14. Nous allons démontrer que le domaine D, dans lequel une forme est réduite, ne peut avoir qu'un point commun avec la limite du domaine S, considérée plus haut.
En vertu des illégalités auxquelles sont assujettis les [X/, on a
Or, le discriminant de la forme © est, après quelques calculs faciles,
SLR UNE CLASSE PAUTtCULlÈRE DE GROUPES HYPERABÉLIENS* ID
8 désignant le discriminant de la forme /. Gomme de plus, dans (p, le coefficient de 07^ est [x<, l'inégalité ci-dessus devient
(^-■^o)(|o— D«i-H2X[(ri-^)a-(n-^'Y3)a'-i-(yî^H)a*^<i«-jYî)a"l S2'.d*(t)^rîo)(Ho-0-
Si donc le domaine D a un point commun ^', y]' avec la limite du domaine S, on aura
D'autre part, si un point variable ($, yj) se rapproche suivani un chemin quelconque du point (^', y)'), on voit que l'on a
Iim|x,=:o, lim Us= Aj, limfX3=:Aj .??;
quant à la limite de [x^, elle ne nous servira pas.
Ces limites sont évidentes si l'on remarque que l'on a
lim Ai = o, limBi,= o, limBf, As=:o,
qui se tirent immédiatement des inégalités
Mais, pour ^ = Ç', yj = yj', la forme ç se réduit à
^ [(V- ny - (' -^ rV)/ -^ ( V-h ?')y'' ^ (I - ^'r/)y']x,
dont le discriminant est nul. On a donc ce qui donne
car les hypothèses jx, = o et [f,^ donnent aussi
l(i H. BOCRGET.
par suite des inégalités
Or a, = A2 dans ce cas: donc A^ est nul et la forme devient
dont le discriminant est encore nul ; on a donc
d'où Or
On a donc, en définitive, les deux conditions ix, = o, a, = o qui entraînent (X, = o. Elles s'écrivent
(V) (t)'-r)y-('^-rv)/4-(rî'-^r)7'-t-(i-;'V)7'^o.
Le point ($', Tj') devra de plus satisfaire à
On peut donner une autre forme à ces conditions. Écrivons les trois premières sous la forme
p 'i!'^i'-^q l' ^r Yî'-H 5=0, p"l!r: -^ q"l' + r'n' -\^ s'-^o,
les valeurs des p^ q^r^ s, ... se trouvant aisément. On tire des deux premières, par exemple,
(pq' — p' q)cj^ -h(ps—p's-^rq'— r'q)>' -h rs' — r's=:o, (p r' — p' r)r/* -h { ps' ^ p' s -\- q r' — q' r)'f\' -\- qs' — q' s =:o.
Comme les quantités /?, q^ r,s^ ... sont réelles, la première équation a pour racines $' et ^'^^ la seconde yj' et y]J,, donc la condition
équivaut à dire que Tune de ces deux équations a une racine double ; la première, par exemple, ce qui donne
qui, calculée, est égale à
Si nous écrivons que Téquation en r{ a une racine double, nous trouvons la même condition.
Si nous combinons ensemble la première équation (a) avec la troisième (y), comme nous avons fait pour la première et la seconde, nous ne trouvons
D'un autre côté, M. Picard (^) a démontré que, si Ton avait a< :^o, on pouvait avoir
Nous concluons donc de là, que les seules réduites, dont le domaine D peut avoir des points communs avec la limite du domaine S, sont celles dans lesquelles
et le domaine D n^a qu^un point commun, salades points communs avec la limite du domaine S.
Les coordonnées de ce point dépendent des a, p, y, . . . , c'est-à-dire du mode de réduction de / à la forme canonique.
15. Remarquons aussi que l'existence des réduites dans lesquelles a, = o est entièrement subordonnée au fait qu'il y a un système de nombres entiers qui annulent la forme.
Faisons, en effet, dans / une substitution de déterminant i et à coefficients entiers; le coefficient de x\ dans la transformée de / est
A, A', A", A*' désignant les coefficients de x^ dans la substitution. Cette quantité ne peut être nulle que s'il y a un système A, A', A", A'" de nombres entiers annulant la forme.
(*) Journal de Liouville, i885.
l8 H. m)URGET.
Pour s'assurer de rexistence d'un tel système de nombres entiers, il suffit de se reporter à la solution générale de cette question donnée par M. Jordan dans son Mémoire sur les formes quadratiques inséré dans le Journal de V Ecole Polytechnique (^ ).
Il nous suffit de savoir que de telles réduites sont possibles, ce que nous avons montré en faisant voir, par un exemple, qu'il peut y avoir un système de nombres entiers rendant la forme égale à zéro.
(*) Journal de V Ecole Polytechnique, t. XXXI.
