ÉTUDE DU GROUPE

Recherche des substitutions du groupe, considéré comme sous-groupe du groupe de la transformation des fonctions abé Hennés.

16. Arrivons, après ces préliminaires, au groupe particulier dont l'étude est l'objet de ce travail.

Il a son origine dans la théorie de la transformation du premier ordre des fonctions abéliennes de second genre.

M. Hermite (*) a démontré que les transformations du premier ordre effectuées sur les périodes conduisent à un groupe important de substitutions non linéaires sur les périodes des intégrales normales.

Désignant par

'» O, Tu, Tjj,

le tableau des périodes des intégrales normales et posant

(ab)tj=atbj^ajbiy

ces substitutions sont

(db)oi -^ (^^)3lTi,H- 2(ûf^;)o8Ti,-h (û?^)oï7„-H (rf6)î8(TÎ, — T,iT„)

(a^)o, 4- («^)3i'Cii-+- a(a^)osT„-4- (a^)oîTj,-4- (^6)23(7?, — ThTjî)

'*' («^)oi-f- (a^)3iTi,-+- 2(a6)o«Tij4- (a6)oîT,î-h («^>)j3(t;, — TuT,,)

^' __ (gc)oi •+• (ac)iiTu -h2{ac)o^rii + {ab)oiZii~h {ac)u{'rU — TuT»») ,

'" (û^)oi-4-(a^)3lT,i-+- 2(a^)o,T,î-l-(a6)o,T„4-(a^),i(TÎ, — Tj,T„)'

les a, 6, Cy d étant des entiers réels vérifiant le système des six relations

(0 {ad)oz-h{bc)^^-^i,

(2) («c^)u4-(fec)„=i,

(3) (aûf)oi+(6c)oi = o,

(4) {ad)ot-h{bc)oi=o,

(5) (aûf)„-f-(6c),3=o,

(6) (aûf)„4-(6c)„=o,

(*) Hermite, ^ar ia transformation des fonctions abéliennes (Comptes rendus, t. XL; i855).

OU le système équivalent :

( crd)oi

+ (ae/)„

-h{bcU-

-h(ac)j,

(cd)o3