DEUXIEME PARTIE

Étude d'une, classe remarquable de courbes du 4^ ordre.

Introduction. — Définition des courbes à étudier.

Les courbes dont nous allons essayer de faire une théorie sont les courbes du 4^ ordre qui résultent de Tintersection d'une sphère et d'une surface quelconque du second degré, et les courbes planes qui se déduisent de celles-ci au moyen de la transformation par rayons vecteurs réciproques.

Ces courbes sont très importantes; on les rencontre dans un grand nombre de questions. Peut-être n' avait-on pas étudié d'une manière complète leurs propriétés métriques et focales, quand j'ai donné, dans les Comptes Rendus et dans les Nouvelles Annales de 1864-, quelques théorèmes généraux qui s'appliquent à toutes ces courbes, et qui les rapprochent, par leurs propriétés focales, des courbes du second degré.

Le plus important de ces théorèmes consiste dans la détermination de leurs focales, et dans les propriétés métriques de ces focales, qui constituent une généralisation du beau théorème de M. Dupin sur les coniques focales ou excentriques. Depuis 1864, elles ont été étudiées par un grand nombre de géomètres, MM. de la Gournerie, Laguerre, Moutard, etc. On pourra consulter pour l'historique de la question un Mémoire de M. de la Gournerie, inséré en 1869 dans le Journal de Liouville. Elles ont fait aussi l'objet des recherches de plusieurs géomètres anglais, au nombre desquels je citerai MM. Casey,

DE COURBES El UE SURFACES ALGÉBRIQUES. 2/

Cayley, Crofton, Sylvester. Auparavant, elles avaient été étudiées par MM. Van Rees, Quetelet, Chasles, Dandelin, etc., sous le nom de spiriques. Quelques-unes d'entre elles ont même été considérées par les anciens géomètres. On voit que l'historique des recherches relatives à ces courbes est une tâche ardue et déhcate. Je me contenterai de citer les travaux dont je me serai inspiré ou que je connaîtrai. S'il y a lieu, une note placée à la fin du Mémoire contiendra une liste des Mémoires et des travaux se rapportant à ces courbes, que j'appellerai cycliques dans la suite de ce travail. Il y aura donc les cycliques planes et les cycliques sphériques. Les premières étant les transformées des secondes, c'est des courbes sphériques que je m'occuperai d'abord et d'une manière plus complète.

Il ne sera peut-être pas inutile, pour donner une idée de l'intérêt qui s'attache à ces courbes, d'eu signaler plusieurs d'une espèce particulière. Les cycHques planes comprennent la cubique circulaire, la focale à nœud, les ovales de Descartes, la cissoïde, la lemniscale, Vellipse de Cassini, les podaires ou réciproques de coniques, les sections planes du lore ou spiriques, le lieu des sommets des angles constants circonscrits à une conique, etc.

Les cycliques sphériques comprennent les coniques sphériques, la fenêtre de Viviani, les courbes employées par M. William Roberts pour la représentation des fonctions elliptiques; les sections sphériques du tore, de la cyclide de M. Dupin, de toutes les surfaces du 4^ ordre ayant le cercle de l'infini pour ligne double, et en particulier des podaires ou transfoiMiiées par rayons vecteurs réciproques des surfaces du second ordre.

Étude des cycliques sphériques.

On sait que, par l'intersection d'une sphère et d'une surface du second degré, on peut toujours faire passer quatre cônes réels ou imaginaires, distincts ou confondus.

Dans le cas que nous avons à examiner, deux de ces cônes au moins sont toujours réels. On pourra donc substituer à la surface du second degré un cône réel.

En effet, les sommets des quatre cônes, passant par l'intersection des deux surfaces, forment un tétraèdre conjugué, commun à la surface et à la sphère. Si Tun des sommets est imaginaire, il y aura un autre sommet imaginaire, conjugué du premier, et la droite passant par ces deux sommets sera réelle. On peut donc toujours placer les quatre sommets sur deux droites réelles, qui sont polaires l'une de l'autre dans la sphère.

Une de ces deux droites ne rencontre donc pas la sphère ; prenons sur cette droite les deux points qui divisent harmoniquement les deux segments qu'elle intercepte dans la sphère et dans la quadrique. L'un des deux segments, celui qui est intercepté dans la sphère, étant imaginaire, les deux points seront toujours réels, et seront les sommets de deux cônes réels (quand la courbe sera réelle) passant par la courbe. Ces deux sommets seront évidemment extérieurs à la sphère.

Donc, jpar la courbe d'intersection de la sphère et de la surface passent quatre cônes. Deux de ces cônes au moins sont réels quand la courbe est réelle, et ont leurs sommets extérieurs à la sphère.

Mais il est nécessaire d'examiner cette question d'une manière plus complète, afin d'avoir une idée plus précise des formes qu'affectent les cycliques dans tous les cas possibles.

On sait que les quatre cônes passant par l'intersection de deux surfaces quelconques du second degré se déterminent par la résolution d'une équation du 4^ degré. Dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, 1868-69, M. Painvin a repris l'étude de cette équation, et il a examiné d'une manière détaillée les difTérentes formes de la courbe d'intersection, le nombre de cônes réels, la réalité de la courbe dans les différents cas. On peut ajouter aux résultats obtenus par ce géomètre les suivants, que nous donnerons ici sans démonstration. Nous nous bornerons au cas où l'équation du ^"^ degré a ses racines distinctes.

Si cette équation a ses quatre racines réelles, deux des quatre cônes au moins sont réels (voir le Mémoire cité). Il ne peut donc se présenter que les deux cas suivants :

1° Les quatre cônes sont réels, et alors la courbe est réelle. Nous ajoutons qu'elle se compose de deux branches. C'est le cas dH arrachement .

2** Deux cônes seulement sont réels. La courbe est entièrement imaginaire.

Si deux racines seulement sont réelles, alors les deux cônes ayant leurs sommets réels sont réels ; les deux autres sont imaginaires. Nous ajoutons que, dans ce cas, la courbe se compose d'une seule branche. Il y a 'pénétration des deux surfaces.

Enfin, si les -4 racines sont imaginaires, d'après M. Painvin, la courbe est toujours réelle ; mais on peut remarquer de plus qu'elle se compose de deux branches distinctes.

En résumé, nous voyons que le tétraèdre conjugué commun a toujours deux arêtes réelles. Quand deux seulement de ses sommets sont réels, il y a pénétration. Quand les quatre sommets sont imaginaires, on a une courbe réelle à deux branches distinctes. Enfin, quand les quatre sommets sont réels, la courbe se compose de deux branches réelles distinctes, ou est entièrement imaginaire.

Ainsi, dans les deux cas où les quatre cônes sont tous réels ou tous imaginaires, la courbe se compose de deux branches distinctes. On peut cependant eff'ectuer une distinction géométrique très importante entre ces deux cas. Quand les quatre cônes sont imaginaires, la courbe réelle d'intersection se compose de deux branches coupées chacune en un nombre impair (1 ou 3) de points par un plan quelconque. Au contraire, quand les cônes sont réels, chacune des branches est coupée par un plan en un nombre pair (0, 2, 4) de points.

On voit que la courbe d'intersection, dans le cas où les A cônes sont imaginaires, possède les propriétés de la cubique gauche, complétée au moyen d'une de ses sécantes (elle se réduit, en effet, à Tensemble de ces deux lignes quand les

deux racines qui étaient imaginaires deviennent égales). Dans ce cas d'ailleurs toutes les surfaces passant par la courbe sont des hyperboloïdes, tout plan, et en particulier le plan de l'infini, coupe la courbe au moins en deux points, au plus en quatre points.

Revenons au cas particulier que nous avons à examiner et où l'une des surfaces est une sphère, deux cônes seront toujours réels ; on ne peut donc faire que les hypothèses suivantes :

1° Les quatre cônes sont réels, la courbe sera réelle, et composée de deux branches coupées chacune par un plan en un nombre pair de points;

2° Les sommets des quatre cônes sont réels et deux des cônes seulement réels, la courbe sera imaginaire;

3° Le tétraèdre conjugué a deux sommets réels et deux imaginaires, la courbe se composera d'une seule branche.

De la génération des cycliques (^),

Nous désignerons par (D) , (Dj) , (D^) , (D3) les quatre cônes contenant la courbe, par a ,a^, a., , a^ leurs sommets respectifs. Si l'on mène tous les plans tangents au cône (D) par exemple, ces plans tangents coupent la sphère suivant des cercles dont l'enveloppe est la courbe que nous étudions. Tous ces cercles coupent évidemment à angle droit un cercle fixe de la sphère, le cercle de contact du cône circonscrit à la sphère et ayant le point a pour sommet. Donc, la cyclique peut être considérée comme l'enveloppe de cercles sphériques orthogonaux à un cercle fixe, et, pour déterminer ce système de cercles, il suffira de

(') On pourra consulter, sur cette question, différentes communications importanles de MM. Moutard, Laguerre, Mannheim, dans le Bulletin de la Société Philomathiqae , dans le Journal de LiouviUe, et les travaux de l'auieur dans les NouveUea Annales de 18G4 et dans les Annales de l'École Normale supérieure, t. II, III et lY.

trouver le lieu de leurs pôles ou centres sphériques. Or ces pôles sphériques sont à l'intersection de la sphère et des perpendiculaires abaissées du centre de la sphère sur les plans tangents. Ils sont donc à l'intersection de la sphère, et du cône supplémentaire du cône (D) mené par le centre 0 de la sphère. Le lieu des pôles de ces cercles est donc une conique sphérique (K). Nous désignerons de même par (Kj) , (K,) , (Kg) , les 3 autres coniques correspondant aux cônes (Di) , (D3) , (Dg) . Donc :

Une cyclique peut être considérée, et de 4 manières différentes, comme l'enveloppe de cercles orthogonaux à un cercle sphérique et ayant leurs pôles sur une conique sphérique.

Les cycliques ont une propriété très importante. Elles demeurent, sous certaines conditions, invariables par une transformation par rayons vecteurs réciproques. Si l'on prend, en effet, pour pôle de la transformation le sommet de l'un des quatre cônes, a par exemple, et pour module de la transformation la tangente menée de ce point à la sphère, le cône et la sphère ne seront pas changés, et par conséquent leur courbe d'intersection demeurera aussi invariable. Les cycliques sont donc sur la sphère des courbes planes analogues aux courbes nommées anallagmatiques par M. Moutard, et qui ont la propriété de se transformer en elles-mêmes quand on emploie une transformation par rayons vecteurs réciproques convenablement choisie.

Si l'on transforme par rayons vecteurs réciproques, en prenant un pôle et un module quelconques, la cyclique se transforme en une autre cyclique. En effet, la sphère se transforme en une sphère, la surface du secorid degré se transforme en une surface du 4-^ ordre, ayant le cercle de l'infini pour ligne double. Or on sait que les sections sphériques d'une telle surface peuvent toujours être placées sur un cône du second degré.

Cependant, si le pôle est placé sur la sphère qui contient la cyclique, celle-ci se transforme, si le pôle n'est pas sur la

32 SUR unp: classe remarquable

cyclique, en une courbe plane du 4* ordre, ayant pour points doubles les deux points à l'infini sur le cercle. En effet, soit a le pôle choisi. Les deux génératrices de la sphère passant en a coupent la courbe en quatre points m , n , m^, n^ , qui sont rejetés à l'infini sur les cercles du plan; et d'ailleurs, tout cercle du plan, étant la perspective d'un cercle de la sphère, coupera la courbe plane en quatre points seulement.

SI on prenait le pôle a sur la courbe, la projection stéréographique de la cyclique serait une cubique circulaire, c'est-àdire une courbe du 3® degré passant par les deux points à l'infini sur le cercle.

Réciproquement, toute courbe plane des deux espèces indiquées est coupée en 4 points seulement par un cercle, et par conséquent est la réciproque d'une cyclique sphérique, intersection de la sphère et d'un cône du second degré.

Classification des cycliques.

La classification des courbes précédentes dérive naturellement de leur mode de génération.

1" Le cône peut être doublement tangent à la sphère; alors la cyclique se compose de deux cercles.

2° Le cône peut être simplement tangent ; alors le point de contact a est un point double de la cyclique. On sait que dans ce cas un des cônes passant par la courbe compte pour deux, et a son sommet au point a. Prenons ce point pour pôle, et faisons la projection stéréographique de la courbe. Nous obtiendrons évidemment une conique plane. Donc la cyclique à point double est une transformée par rayons vecteurs réciproques de conique plane.

3° On peut encore établir des divisions d'après la nature des points d'intersection de la courbe ou du cône avec le cercle de l'infini.

DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES. 3u

Si le cône est doublement tangent au cercle de l'infini, il sera de révolution; la conique (K) sera un cercle, les autres coniques (K,) , (K,) , (K,) seront des cercles, que nous reconnaîtrons être concentriques au premier. La cyclique sera donc Tenveloppe d'un petit cercle orthogonal à un cercle fixe, et dont le pôle décrit un autre petit cercle. Elle sera doublement tangente au cercle de Tinfini. Nous rappellerons dans ce cas une cartésienne; elle se rattache on effet par les analogies les plus étroites aux ovales de Descartes.

A" Enfin la cyclique la plus générale est l'intersection d'un cône quelconque et de la sphère. On pourra distinguer dans cette classe comme dans les précédentes les courbes par lesquelles passent un, deux, ou trois cylindres.

Dans le plan, les divisions se font de la même manière. On a :

1" Les réciproques ou podaires de coniques ;

2° Les ovales de Descartes, qui ont deux points de rebroussement à f infini ;

S^ La cyclique du 3* degré ou cubique circulaire;

4** La cyclique générale.

D'autres divisions se présenteront naturellement dans la suite.

Propriétés générales des cycliques.

Puisque les cycliques sphériques sont l'intersection d'une sphère et d'un cône du second degré, leurs propriétés pourront se déduire de celles des surfaces du second degré

Par exemple, considérons deux points m , n de la cyclique. On peut toujours par la cyclique faire passer une surface du second degré qui ait la droite mn pour génératrice rectiligne. Tout plan passant par mn sera tangent à cette surface et la coupera suivant une autre génératrice, sur laquelle seront deux points m' , n' de la courbe. D'ailleurs, les quatre points ni , n ,

m', 11', étant dans un plan, se trouveront sur un petit cercle de la sphère. D'autre part, le plan, passant par m'n' et par le centre de la sphère sera tangent à la surface du second degré, et enveloppera un cône circonscrit à la surface. Donc,

Si, par deux points quelconques de la cyclique, on fait passer %in petit cercle, ce petit cercle coupera la cyclique en deux autres points, et l'arc de grand cercle qui joint ces deux points enveloppera sur la sphère une conique sphérique.

11 est aisé de voir que cette conique sphérique sera tangente en quatre points à la cyclique proposée. En faisant varier les points m ,n , on aura une suite simplement infinie de coniques sphériques inscrites dans la courbe.

On démontrerait de même que si, par les deux points w', î^^ définis plus haut, on fait passer un petit cercle coupant à angle droit un cercle fixe, ce cercle variable enveloppera une cyclide.

Prenons, sur Fune des surfaces réglées contenant la courbe, quatre génératrices formant un quadrilatère gauche. Ces quatre génératrices coupent la cyclique en 8 points qui sont 4 à 4 en des plans et par conséquent sur de petits cercles. Nous obtenons donc la proposition suivante :

Si on coupe une cyclique par un cercle quelconque, quepar deux des quatre points d'intersection on fasse passer un cercle, et par les deux autres un autre cercle, les deux nouveaux cercles iront couper la cyclique en quatre points nouveaux situés sur un cercle.

Cette propriété très générale s'étend naturellement aux cyclides planes, qu'on peut déduire de leurs analogues sur la sphère, en augmentant indéfiniment le rayon de cette sphère. Les théorèmes précédents pourraient être beaucoup étendus. Nous allons passer à une autre question.

Des relations entre les différents modes de génération d'une cyclique.

Nous avons vu qu'une cyclique peut être considérée de quatre manières différentes comme l'enveloppe de petits cercles ayant

leurs centres sphériques sur une conique (K) , et coupant à angle droit un cercle (A) . Nous désignerons par (K) , (K,) , (Kj) , (K3) les quatre coniques auxquelles nous donnerons, à l'exemple de M. de la Gournerie, le nom de coniques déférentes, et par (A) , (Aj) , (A^) , (A3) les cercles correspondants que nous appellerons cercles directeurs.

Les coniques (K,) sont à l'intersection de la sphère et des quatre cônes qui ont leurs sommets au centre de la sphère, et qui sont supplémentaires des quatre cônes (D) , (D,) , (D^) , (D3) passant par la cyclique. Ces quatre cônes (D,) , coupant le cercle de l'infini au même point, sont homocy cliques; les quatre coniques (Ki) sont donc homofocales.

Les quatre cercles (A») étant dans les faces d'un tétraèdre conjugué à la sphère seront orthogonaux deux à deux.

Mais pour mieux approfondir les relations de ces différents modes de génération, nous allons résoudre le problème suivant :

Un mode de génératioii étant connu, c'est-à-dire une conique déférente et le cercle directeur correspondant étant donnés, trouver les trois autres modes de génération.

A cet effet, soient donnés la conique (K), le cercle directeur (A), et prenons un des cercles mobiles, ayant son centre en m , et orthogonal au cercle (A).

L'axe radical de ce cercle et du cercle infiniment voisin ira passer au point 0 , centre du cercle (A) . La position-limite de cet axe, perpendiculaire à la ligne des centres, sera donc l'arc

36 SUR UNK CLASSE UEMAROUABLE

de grand cercle Opp' mené par le point 0 perpendiculairement à Tare tangent en m . Les deux points de contact du cercle avec son enveloppe seront p , p' .

Ces deux points de contact vieinient se confondre quand l'arc tangent en m devient tangent au cercle (A). La cyclique coupera donc le cercle directeur (A) aux quatre points de contact fl , ^1 , «2 , «3 des arcs tangents communs au cercle et à la conique, et elle coupera ce cercle directeur à angle droit.

Il résulte de là que si, des points b , b' comme pôles , on décrit deux cercles passant le premier en a\, a^ , le second en a, , «3 , ces deux cercles seront doublement tangents à la cyclique et appartiendront évidemment à un même mode de génération. Les deux arcs aa^, a^a.^ iront donc se couper au pôle du nouveau cercle directeur en 0'. Ce cercle directeur est donc déterminé, puisqu'on connaît son pôle, et qu'il est orthogonal au cercle (A). Appelons-le (A,) , et remarquons que son centre 0' a même polaire dans le cercle et dans la conique.

La conique (K,) correspondante doit être homofocale à la conique (K), et passer par les points b ,b' . Elle est donc aussi déterminée. On connaît même ses tangentes en b ,b' , qui sont les bissectrices des angles 6 , 6' du quadrilatère.

On voit que nous rencontrons ici, sans avoir à le démontrer, un des plus beaux théorèmes de M. Chastes sur les coniques sphériques :

Si Von mène les quatre arcs de grand cercle tangents à ime conique sphériquc et à un petit cercle, les sommets opposés du

quadrilatère formé par ces arcs tangents sont sur une conique, homofocale à la proposée.

Comme on a six sommets qu'on peut grouper deux à deux de trois manières différentes, nous obtiendrons bien les trois nouveaux modes de génération. Nous apercevons de plus une relation de réciprocité remarquable entre les quatre cercles (A,) et les coniques correspondantes. Étant donnée une quelconque des quatre coniques, les trois autres s'en déduisent toujours par les mêmes constructions géométriques.

Remarquons qu'étant donnés une des coniques (K,) et le cercle (Aj), les centres des trois autres cercles sont les sommets du triangle conjugué commun au cercle et à la conique.

Au point de vue de la réalité des différents éléments, il y a deux cas à distinguer, quand la courbe est réelle.

Quand deux cônes réels seulement passeront par cette courbe, les deux modes de génération correspondants seront formés d'une conique et d'un cercle réel. Cette conique et ce cercle se couperont en deux points réels et auront deux tangentes réelles; les deux autres modes de génération seront entièrement imaginaires, les coniques et les centres des cercles correspondants étant imaginaires. C'est le cas de la cyclique à une seule branche.

Au contraire, si les quatre cônes passant par la courbe sont réels, les quatre modes de génération seront réels. Une des coniques (A,) sera coupée en quatre points réels par le cercle (K.) ; les trois autres coniques n'auront aucun point commun avec le cercle qui leur associé. Ces conclusions résultent d'un examen ne présentant aucune difficulté.

Des différents modes de génération pour les diverses espèces de cycliques.

L'examen des cas particuliers de La construction précédente conduit naturellement aux diverses espèces de cycliques.

Supposons d'abord que le cercle (A) se réduise à un point. Alors les petits cercles, ayant leur centre sur la conique (K), passeront par le point fixe A, et leurs points de contact avec l'enveloppe s'obtiendront en prenant les symétriques du point A, par rapport à toutes les tangentes de la conique (K).

Donc, si l'on double les arcs vecteurs menés du point double d'une podaire de conique à un point quelconque de cette podaire, on obtient une cyclique ayant même point double que la podaire.

La podaire elle-même est-elle une cyclique? On peut s'assurer que c'est une courbe généralement plus compliquée.

Les autres modes de génération de notre cyclique se détermineront de la manière suivante. Les trois points ayant même polaire dans le cercle de rayon nul A et dans la conique,

sont le point A et deux points 0' , 0", situés sur l'arc polaire de A . Des six sommets du quadrilatère, quatre se confondent en A . Les modes de génération sont déterminés de la manière suivante :

1^ Une des coniques passant en A et homofocales à (K) , ayant pour normale AO' ,et le cercle décrit de 0' comme pôle avec AO' pour rayon;

2° L'autre conique passant en A , ayant pour normale AO", et le cercle décrit de 0" comme pôle et tangent en A à la conique ;

3*^ et 4^ Le premier mode de génération comptant pour deux.

On obtient ainsi une cyclique à point double, réciproque de conique plane, ou podaire de cône, toutes les fois que le cercle directeur se réduit à un point ou devient tangent à la conique déférente correspondante.

Des cartésiennes.

Dans ce cas, le cône (D) étant de révolution, chaque conique (K) est un cercle, et tous ces cercles ont pour pôle le point où l'axe de révolution mené parle centre de la sphère perce la sphère. C'est ce qu'on va reconnaître par l'application de la constru'ction générale.

Construisons le quadrilatère circonscrit au petit cercle (K) et au cercle (A). La conique (K,), homofocale à (K) et passant

par 6', è'", n'est autre chose que le cercle de centre C passant par ces 2 points. Le cercle directeur (A) correspondant aura son centre sur la ligne OC, au point d'intersection de a a' et de a" a\

De même, la conique (K^) sera le cercle de centre C passant par h", lf\ et le cercle (A^) correspondant aura son centre au point d'intersection de acC\ a' a" sur OC. Mais la conique (K3) , passant par b et h" , se réduit à l'arc de grand cercle 66"OC. Le cercle directeur (A3) correspondant se réduit à ce même arc de grand cercle. Il y a donc un mode de génération qui

devient illusoire. 11 se présente ici une indétermination, que nous lèverons en parlant des courbes d'intersection d'un cylindre et de la sphère. Toute cartésienne, en effet, a un plan de symétrie, qui passe par Taxe du cône et le centre de la sphère. Elle se trouve donc sur un cylindre parabolique, ayant son axe perpendiculaire à ce plan de symétrie.

Cette indétermination se présente dans le cas général, toutes les fois que deux sommets opposés du quadrilatère par lesquels doit passer une courbe homofocale à la proposée se trouvent sur l'axe focal. On voit bien d'ailleurs que, toutes les fois que la cyclique sera sur un cylindre, les plans tangents au cylindre couperont la sphère suivant des petits cercles ayant leurs pôles sur un grand cercle, celui auquel ils doivent être orthogonaux. La génération indiquée ne peut donc ici nous servir.

Des propriétés focales des cycliques.

Nous avons vu, dans la Première Partie de ce travail, que le foyer d'une courbe sphérique peut être considéré comme un cercle de rayon nul, doublement tangent à la courbe. Gomme nous avons trouvé les quatre séries de cercles doublement tangents à la cyclique, il suffira d'examiner ceux de ces cercles dont le rayon devient nul.

Considérons l'un quelconque des cônes (D') par lesquels passe la cyclique. Tous les plans tangents à l'un de ces cônes coupent la sphère, nous l'avons vu, suivant des cercles doublement tangents à la cyclique. Donc les plans tangents au cône et à la sphère couperont la sphère suivant des cercles de rayon nul, doublement tangents à la courbe; ce seront les foyers. Ces foyers seront à la fois sur le cercle directeur (A,) et sur la conique déférente (K,). Cela résulte aussi de la génération de la courbe au moyen des éléments (A,) , (K,) .

On a quatre foyers sur chaque cercle directeur, en tout

16 foyers. Il est clair que ces foyers sont les 16 points d'intersection de deux faisceaux formés avec quatre génératrices de système différent.

En effet, si Ton considère les p génératrices d'un même système de la sphère, tangentes à la courbe, il y en aura p imaginaires conjuguées, de l'autre système, tangentes aussi à la courbe. Ces droites donneront par leur intersection p' points, qui seront des foyers. Ici p = 4. Cela indique d'ailleurs une nouvelle relation entre les quatre coniques (K,) et les quatre cercles (A,) . Les quatre points d'intersection des coniques et des cercles correspondants sont situés sur quatre droites de deux manières différentes.

Il est clair, d'après ce qui précède, que quatre foyers seulement pourront être réels. Mais, 1° dans le cas où la cyclique aura une seule branche, deux des foyers réels seront sur un cercle (Aj), les deux autres sur un autre cercle (Aj) ; 2° dans le cas où la cyclique aura deux branches, les quatre foyers réels seront sur un même cercle. Cette distinclion, qui résulte de l'art. 12, devait être faite ici.

Les foyers jouissent de plusieurs propriétés remarquables, qu'on déduit du théorème de Poncelet. Voici le principe très simple qui conduit à ces relations.

Soit une sphère, et menons-lui un plan tangent en A. Pour tout point M de cette sphère, le carré de la distance au point A sera proportionnel à la distance du même point M au plan tangent en A. On aura, en appelant p cette distance au plan tangent,

(17) ÂJl=:r'=z2ap.

Plus généralement, si l'on prend un plan (P) et une sphère (S') passant par le cercle de la première sphère situé dans le plan (P), il y aura, pour tout point M de la première sphère, un rapport constant entre le carré f de la tangente menée de M à (S') et la distance p du même point M au plan (P). On aura

(18) t' = 'ia'p.

Ces remarques, extrêmement simples, suffisent pour la démonstration des théorèmes que nous avons en vue.

Considérons d'abord trois plans tangents communs au cône (D) et à la sphère. Ces plans toucheront la sphère en trois foyers situés sur un même cercle directeur (A), et en. appelant P, P',P" les premiers membres des équations de ces trois plans, on aura, pour Téquation du cône,

(19) xKp+ ii.l/P' + vl/F^O.

Pour tous les points de la courbe d'intersection, et d'après la formule (17), on pourra remplacer KP, l^P', VV" par r, r' ,r" , ces dernières quantités représentant les distances d'un point de la cyclique aux trois foyers. On aura donc

(20) >rH-ptr +vr"=0.

// existe donc une relation linéaire et homogène entre les distances d'un point de la courbe à trois foyers situés sur un même cercle directeur.

Soient P , P', deux des plans tangents communs au cône (D) et à la sphère, et Q le plan de contact dans le cône. L'équation du cône sera

pp' = Q^

D'ailleurs, les trois plans P, P', Q coupent la sphère suivant trois cercles orthogonaux au cercle directeur (A), et si, par ces trois cercles, on fait passer trois sphères fixes, mais quelconques, en appelant t ,f,T les tangentes menées à ces trois sphères d'un point de la courbe, on aura, d'après l'équation (20),

Ktt'=:T.

Les sphères t ,t' sont doublement tangentes à la courbe, et leurs quatre points de contact sont sur la sphère T.

En général, si une surface quelconque passant par la courbe est définie par une équation de la forme