AP,P',P

on pourra, par tous les points de la cyclique, remplacer

P,P',P", ... par des quantités proportionnelles aux carrés f, t'\ . . . des tangentes à des sphères fixes menées par l'intersection de la sphère et des plans P,P',,., L'équation sera

a , a' , a" , . . . étant des constantes dont la détermination n'offre aucune difficulté.

Par exemple, prenons trois plans tangents quelconques au cône (D) contenant la cyclique. L'équation du cône sera

« K P + & VF + c VF" — 0 ,

et, par suite, on aura pour la courbe une équation de la forme

(21) lt+(jLt' +-a" =0 ,

entre les tangentes t ,i' ,t" à trois sphères d'une même série doublement tangentes à la courbe.

Donc il y a une relation linéaire et homogène entre les longueurs des tangentes menées d'un point de la courbe à trois sphères doublement tangentes à la cyclique et appartenant à la même série.

Cherchons celles des sphères doublement tangentes qui se réduisent à des points. Leur ensemble constituera une focale de la cyclique proposée.

Les centres de toutes ces sphères sont évidemment sur les perpendiculaires abaissées du centre de la sphère (S) contenant la cyclique sur les plans tangents du cône (D), c'est-àdire ces centres sont sur le cône (E) supplémentaire de (D) , ayant son sommet au centre 0 de la sphère (S) contenant la cyclique. D'ailleurs, le centre radical commun de toutes les sphères doublement tangentes est le sommet 0' du cône (D) ; elles sont orthogonales à la sphère (S') décrite de ce point 0' comme centre et coupant la sphère (S) à angle droit. Pour qu'elles se réduisent à des points, il faut que leurs centres soient sur la sphère (S') , et par conséquent sur la courbe de

rencontre de cette sphère (S') et du cône (E). Nous avons donc une focale de la cyclique, et cette focale est elle-même une cyclique. D'ailleurs la relation entre les deux courbes est évidemment réciproque; les sphères qui les contiennent sont orthogonales, et les cônes ayant leurs sommets au centre de chaque sphère, supplémentaires. Il y a donc réciprocité entre les deux courbes. Chacune d'elles est la focale de l'autre, ce qui justifie la proposition générale énoncée dans la jPremzère Parité de ce travail. Aux quatre modes de génération ou quatre cônes (D,) correspondront quatre focales situées sur des sphères ayant leurs centres aux sommets des cônes et orthogonales entre elles. Nous avons ainsi un système de cinq cycliques focales les unes des autres et situées sur cinq sphères orthogonales.

Ainsi, étant donnée une cyclique sphérique, cette cyclique a quatre focales, qui sont des courbes de même espèce, situées sur quatre sphères orthogoncdes entre elles et à la sphère contenant la cyclique, ayant leurs centres aux sommets des quatre cônes contenant la cyclique et coupant la sphère qui contient cette courbe suivant les quatre cercles directeurs.

Dans le cas où la cyclique primitive se composera de deux branches, les sommets des quatre cônes seront réels. Un seul sera intérieur à la sphère contenant la cyclique, et par conséquent trois des quatre sphères contenant les focales seront réelles. Quant aux focales elles-mêmes, une seulement sera réelle.

Au contraire, dans le cas où la cyclique se compose d'une seule branche, il n'y a que deux sphères réelles orthogonales à la proposée; ces deux sphères contiennent chacune une focale réelle de la proposée.

En résumé, on n'a que deux systèmes : l'un pour lequel quatre sphères et deux focales sont réelles, l'autre pour lequel trois sphères sont réelles et contiennent chacune une focale.

Les cinq focales, réelles ou imaginaires que nous venons de rencontrer, sont les lignes doubles d'une développable focale que nous étudierons dans la suite de ce travail.

Si nous nous reportons à Téquation (21), et que nous prenions sur une (C) des cinq focales trois points quelconques, ces trois points pouvant être considérés comme des sphères de rayon nul tangentes à toute autre des cinq cycliques (C), il y aura entre les distances d'un point quelconque de (C) aux trois points choisis sur (G) une relation de la forme

(22) ar+ a'r' -ha"r" =0 .

Les coefficients a, a', a" changent d'ailleurs, et avec la cyclique (C) et aussi quand on change les trois foyers fixes pris sur (C). Ainsi,

Étcmt donnée l'une quelconque (C) des cinq focales, trois points quelconques pris sur cette focale seront des foyers des autres courbes et posséderont les propriétés métriques exprimées par Véquation (22) ; c'est-à-dire qu'il y aura entre les distances d'un point variable de Vune quelconque des quatre autres courbes (C) aux trois points choisis sur (G) une relation linéaire et homogène de la forme

ar + br' + cr" = 0 .

Le théorème précédent correspond évidemment dans la théorie des cycliques à celui de M. Dupin sur les coniques focales.

La relation métrique que nous venons de rencontrer est d'une forme moins simple que celle qui se rapporte aux foyers d'une courbe du second degré. Cependant, elle se prête à la généralisation d'un théorème relatif aux coniques planes ou sphériques.

On sait qu'étant donnés deux points A , B sur une conique de foyers F, F', réciproquement A et B peuvent être pris comme foyers d'une conique passant par F et F'. On peut étendre ce théorème aux cycliques planes et sphériques.

Étant donnés trois points A , B , C sur une cyclique de foyers F , F', F", on peut prendre ces trois points A , B , G pour foyers d'une cyclique qui contiendra les trois points F , F', F".

iVppelons, en effet, R^ , Rt , Re les distances des points

A , B , G au foyer F, et désignons par les mêmes lettres accentuées les distances aux foyers F', F". Puisque les trois points A , B , G sont sur une cyclique de foyers F , F', F", on aura trois relations de la forme :

>Rî, + ptR'6-hvR% — 0,

et par conséquent F équation de condition

Ra R'a R"a Rft R'i R''6 Rc R'e R"c

exprimera que les trois points A , B , G sont sur une cyclique de foyers F , F', F", A cause de la symétrie de cette équation, il est clair qu'elle exprime aussi que F , F', F" sont sur une cyclique de foyers A , B , G , ce qui démontre la proposition énoncée plus haut.

Mais on peut compléter cette démonstration d'une manière remarquable, et donner une proposition plus étendue que la précédente :

Étant donnes quatre points A , B , G , D , intersections d'une cyclique quelconque de foyers F,, F', F", F'" et d'un cercle, il y aura une seconde cyclique ayant pour foi ers les points A , B , G , D, et passant par F ,F',F", F'". On suppose, bien entendu, que ces quatre points sont les foyers situés sur un même cercle de la première cyclique.

Pour démontrer cette nouvelle proposition, il nous suffira évidemment, en nous rappelant la précédente, de prouver que la cyclique de foyers A,B,G passe par F"', et admet pour quatrième foyer le point D. Or, les trois points A , B , G étant sur la cyclique de foyers F , F', F", on aura

Re

et cette équation exprime que la cyclique de foyers A , B , C , passant par F , F', contient aussi le foyer F'".

D'ailleurs, le quatrième foyer D de cette cyclique satisfait également à l'équation

Ra Rfc Rd

qui exprime qu'il est sur la cyclique de foyers F , F', F", et passant par les points A et B. Cette cyclique étant la proposée, la proposition est démontrée; le quatrième foyer D sera à l'intersection de cette courbe et du cercle contenant les trois points A , B , C (^).

Un cas particulier de la proposition précédente, relatif aux ovales de Descartes, a été énoncé par M. Sylvester, j'ignore dans quel Recueil.

Des cycliques situées sur des cylindres.

Nous avons vu que, pour les courbes d'intersection d'un cylindre et de la sphère, les éléments d'un des modes de génération deviennent indéterminés. En effet, les plans tangents au cylindre coupent la sphère suivant des petits cercles dont le pôle est sur le grand cercle perpendiculaire aux arêtes du cylindre. La conique sphérique correspondante se réduit donc

(') L'équation

aR + 6R' +011" —0,

prise en elle-même, conviendrait à une surface remarquable, comprise comme cas particulier dans d'autres que nous étudierons plus tard. Cette surface a, comme les cycliques, un quatrième foyer, et elle donne lieu à la proposition suivante, analogue au théorème indiqué dans le texte : Étant donnée une surface définie par l'équaiion aR +fcR' +cR^ =0 ,

un cercle quelconque la coupe en quatre points qui peuvent être pris pour les foyers d'une surface de même définition, passant par les quatre foyers de la première.

au même cercle, et il faut déterminer d'une manière directe les rayons des petits cercles enveloppant la cyclique.

A cet effet, on peut modifier légèrement la définition que nous avons donnée de la cyclique, et définir les cercles par les pôles de leurs plans. Considérons, par exemple, les plans tangents au cône (D); les pôles de ces plans tangents décriront une conique, et cette conique (H) pourra servir à déterminer la série des cercles doublement tangents. La cyclique sera la ligne de contact de la développable circonscrite à la sphère et à la conique (H). Elle sera aussi Fenveloppe des petits cercles situés dans les plans polaires des points de (H).

Dans le cas d'une courbe située sur un cylindre, cette nouvelle génération, toujours équivalente au fond à celles que nous avons données, ne devient plus illusoire. Si par le centre de la sphère on mène une section droite du cylindre, le plan de cette section droite contiendra la conique (H) , polaire réciproque du cylindre et définissant la série des cercles doublement tangents à la cyclique, contenus dans les plans tangents du cylindre.

Il y a aussi une des focales situées dans le plan de la section droite du cyhndre, et pour laquelle notre construction devient illusoire. On opérera de la manière suivante :

Soient (E) la section droite du cylindre, (C) le grand cercle.

OÈ COURBES ET DE SURFACES ALGEBRIQUES. 49

section de la sphère par le plan de la section droite. Soit mK la trace d'un plan tangent au cylindre. Pour obtenir les sphères de rayon nul passant par l'intersection de ce plan et de la sphère, il faudra évidemment abaisser du centre 0 une perpendiculaire Opp' sur mK, et prendre l'intersection de cette perpendiculaire avec le cercle orthogonal au cercle (C) et décrit du point m comme centre. Le lieu des points p ,p' sera donc une cyclique plane, définie par un mode de génération semblable à celui que nous avons adopté, et admettant la base du cylindre (E) pour conique déférente et le grand cercle (C) pour cercle directeur.

Les coniques sphériques font partie de la classe que nous étudions, et Ton voit qu'elles auront, en réalité, trois focales planes situées dans les trois plans principaux. Ces focales couperont la sphère aux foyers de la conique sphérique.

Une seule d'entre elles, d'ailleurs, sera réelle. On sait qu'une conique sphérique se projette sur les trois plans principaux : 1° suivant une ellipse intérieure à la sphère, 2*^ suivant une hyperbole, 3° suivant une ellipse coupant la sphère en quatre points. Cette dernière courbe seule donnera lieu à une focale réelle, qui coupera la sphère aux quatre foyers réels de la conique sphérique.

Avant de passer à l'étude de certaines propriétés des coniques sphériques, nous ferons remarquer quelques équations simples des courbes générales situées sur un cylindre, qu'on pourrait appeler sphéro-cylindriques.

Si le cylindre sur lequel se trouve la courbe est hyperbolique, il satisfait à l'équation