SUR UKE CLASSE REMARQUABLE

que généralement il n'y a pas d'enveloppe pour le système des 2 lignes de courbure (^).

Des foyers des courbes sphériques et de la transformation par rayons vecteurs réciproques des focales.

Les focales des courbes sphériques se définissent comme celles de toutes les autres courbes. Mais on peut aussi définir directement les foyers d'une courbe située sur la sphère sans sortir de cette surface, et par la considération de ses génératrices rectilignes.

Étant donnée une courbe sphérique (G), menons les génératrices rectilignes des deux systèmes qui lui sont tangentes. Ces génératrices formeront évidemment deux faisceaux dont les points d'intersection seront les foyers de la courbe. Ces points pourront, en effet, être considérés comme des cercles de rayon nul doublement tangents à la courbe, et ils seront à l'intersection de la focale complète, et de la sphère qui contient la courbe (G). Ils resteront les foyers, quand on effectuera une transformation par rayons vecteurs réciproques.

Plus généralement, les développables focales se transforment, nous l'avons vu, en développables focales, et par suite les transformées des focales seront les focales de la nouvelle surface. Ce théorème s'applique évidemment aux courbes et aux surfaces.

(*) Voir à ce sujet deux notes de l'auleur dans les Comptes rendus de 1870 sur les solutions singulières des équations différentielles, et des observations de M. Catalan, publiées dans le même Recueil. Depuis la publication de ces Notes, M. Moutard a bien voulu me rappeler que, dans une conversation particulière, il m'avait indiqué, ce dont je n'avais nul souvenir, que les lignes de courbure n'ont pas en général d'enveloppe. C'est, comme on voit, un cas particulier important de la proposition générale que J'ai signalée.

Soit donné, par exemple, un cercle (II). Les plans tangents à ce cercle et au cercle de l'infini enveloppent deux cônes, qui sont les sphères de rayon nu],, passant par le cercle. Soient 0 , 0' les centres de ces sphères, qui tiennent lieu de la focale du cercle. Le système formé du cercle et des deux points 0 , 0' sur son axe demeurera invariable par toute transformation par rayons vecteurs réciproques. Les focales d'un cône contenant le cercle et ayant un point M pour sommet seront les droites MO, MO', etc. (1).

Nous terminerons ici cette étude sur les focales, que le lecteur aura peut-être trouvée trop longue. Il nous a semblé que, les imaginaires ayant été nettement introduites en géométrie, il convenait d'en faire une analyse détaillée dans toutes les questions où on les rencontre.

Nous espérons que les exemples déjà donnés, et ceux que nous développerons dans la troisième partie de ce travail, montreront qu'il y a avantage à préciser et à développer les notions admises implicitement par un très grand nombre de géomètres.

(') Ce système, qui a été considéré par MM. Chasles, Cayley, Laguerre, etc. , donne lieu à plusieurs propriétés. J'en ai signalé quelques-unes dans un Mémoire inséré aux Annales de l'École Normale pour 1870, t. I, 2« série.