PQ = K

d'où résulte, pour la courbe, l'équation

Si les plans asymptotes ne rencontrent pas la sphère, on peut écrire

(25) rr' = K, .

Si le cylindre est elliptique, on aura, et d'une inimité de manières,

Des coniques sphériques.

Dans le cas des coniques sphériques, les propriétés focales que nous avons indiquées prennent une forme que nous allons développer, par suite de l'importance toute particulière de ces courbes.

A cet effet, reprenons la relation

at+ a't' +a"t" = 0 , qui lie les tangentes menées d'un point de toute cyclique à trois sphères doublement tangentes d'une même série.

Chacune de ces sphères peut être supposée, pour plus de simplicité, orthogonale à la sphère primitive, et alors, si l'on mène d'un point M un arc de cercle T tangent au petit cercle suivant lequel elle coupe la sphère primitive, on aura

i = 2sm— •

On obtient donc la relation

m m; rp u

(26) asin — + a'sin -3- + a" sin— =0 ,

qui relie les longueurs des trois arcs tangents menés de tout point M de la cycHque à trois petits cercles doublement tangents d'une même série.

Soit maintenant une conique sphérique, et prenons quatre petits cercles doublement tangents à cette conique et deux à deux symétriques par rapport au centre; on aura, en désignant par T , T', T", T", les longueurs des quatre arcs tangents,

sin —- =■ a s'in - -h b sin — '

m lï rri T '

sin -T- = a' sin — + b' sin — •

D'ailleurs, si T et T' correspondent à des cercles symétriques, on aura

T + T' = 77 ; de même

Les relations précédentes prennent donc la forme

sin — r- = a sin - + & ces — ' 2 2 2

cos--r- r= a' sin - + 6' ces - '

d'où l'on déduit

m i; np 1/ m m

Xsin-^ + fACos— = {al-\- a' u)sin -^-h {bl-\- b' ii)cos-^ •

On peut évidemment disposer du rapport - de manière que cette relation prenne la forme

sm— 2— ==sm— ^'

d'où

Ainsi, une conique sphérique peut être considérée d'une infinité de manières comme le lieu des points tels que la somme ou la différence des arcs de grand cercle menés de ces points tangentiellement à deux petits cercles fixes soit constante.

Les coniques sphériques sont les seules courbes qui jouissent de cette propriété; car elle suppose qu'on peut mener à la cyclique quatre cercles doublement tangents, symétriques deux à deux par rapport au centre de la sphère. La cyclique sera donc sur un cylindre concentrique à la sphère ; ce sera une conique sphérique.

Nous avons vu que toute conique sphérique se trouve sur un cylindre hyperbohque. Nous serons ainsi conduit à déduire, de l'équation

pQ^const.

de ce cylindre, l'équation

(28) sinpsin^' =rK

entre les arcs de grand cercle abaissés d'un point de la conique sur deux arcs de grand cercle fixes. Ces deux arcs de grand cercle sont les arcs cycliques de la conique sphérique. En adoptant la méthode de l'article 19, on pourra d'ailleurs indiquer un très grand nombre de formes d'équations remarquables des coniques sphériques.

Des cycliques planes.

Les propriétés des cycliques planes sont comprises comme cas particulier dans celles des cycliques sphériques. On peut indiquer deux moyens principaux pour déduire leurs propriétés de celles que nous venons de trouver.

D'abord, on peut supposer que le rayon de la sphère contenant la cyclique croisse indéfiniment; le mode de génération que nous avons adopté, les propriétés métriques et focales subsisteront sans modification. ,

Mais on peut aussi transformer la courbe par rayons vecteurs réciproques, et en faire la projection stéréographique en mettant le pôle en un point quelconque de la sphère qui la contient. Nous allons obtenir ainsi toutes les propriétés des cycliques planes.

Rappelons qu'une cyclique sphérique est à l'intersection d'une sphère et d'une surface du second degré. En transformant cette définition par la méthode des polaires réciproques, on voit qu'une cyclique est aussi la courbe de contact avec la sphère de la développable circonscrite à la sphère et à une autre surface du second degré. Cette développable a quatre coniques doubles, lieux des pôles des cercles doublement

tangents à la cyclique. Appelons ces coniques (H) , (H,) , (H,) , (Hg) . Elles sont inscrites dans une développable, que nous appellerons A, et qui touche la sphère, suivant la cychque.

Si l'on fait la projection stéréographique en se plaçant en un point a de la sphère, la cyclique se projettera suivant une cyclique plane, et, d'après un théorème bien connu relatif aux projections stéréographiques, les quatre séries de cercles doublement tangents se projetteront suivant des cercles dont les les centres seront sur les coniques (H') , (H',) , (B.\) , (H' 3) , perspectives des coniques (H) , ... , (H3) de l'espace. Par le point a passent deux génératrices de la sphère, et par chacune de ces génératrices on peut mener deux plans tangents de la développable A contenant les quatre coniques. Ces deux couples de plans tangents se projetteront évidemment suivant quatre tangentes communes aux coniques (H') , (H',) , (H',), (H' 3) , passant par les deux points sur le cercle de l'infini. Ces quatre coniques seront donc homofocales. On retrouve, on le voit, la génération signalée d'abord par MM. Moutard et Laguerre, et que nous avons employée pour les cycliques sphériques.

Quant aux cercles directeurs dans le plan, ils seront les perspectives des cercles directeurs de la sphère, et par conséquent leurs centres seront les perspectives des sommets des quatre cônes (D,) contenant la cyclique.

On voit que si le point de vue est pris sur la cyclique, la projection stéréographique sera du o® degré et les sommets des quatre cônes seront projetés sur la courbe plane ellemême.

Quant aux coniques déférentes (H',), elles deviennent dans ce cas, et dans ce cas seulement, des paraboles, puisqu'elles sont alors tangentes à la droite de l'infini.

Revenons aux cycliques planes du 4® ordre. Si l'on considère toutes les surfaces du second degré passant par la cyclique sphérique, les perspectives de leurs contours apparents sont

(les coniques quadruplement tangentes à la cyclique, et pour lesquelles subsiste le théorème donné, article 15, pour les cycliques sphériques.

Des cartésiennes.

Nous avons vu que ces courbes très intéressantes, qui sont à Fintersection d'une surface de révolution et de la sphère, peuvent toujours être placées sur un cône de révolution. D'ailleurs, toutes les surfaces du second degré qui les contiennent seront aussi de révolution. L'une d'elles seulement est un cylindre parabolique, qui peut être considéré comme un cas limite des surfaces de révolution.

Examinons donc les cartésiennes, en les considérant comme intersections de la sphère et d'un cylindre parabolique. La section droite du cylindre, passant par le centre, contiendra une des focales (art. 20), et cette focale, ayant pour conique déférente une parabole, sera du 3® degré. Ainsi :

Les cartésiennes se distinguent des autres cycliques par la propriété d'admettre 'pour focale une cubique circulaire.

Inversement, une cubique circulaire admet pour focales des cartésiennes.

Les propriétés métriques des cartésiennes sont plus simples que les propriétés générales que nous avons signalées.

Comme elles sont sur un cylindre . parabolique , leur équation peut être ramenée, et d'une infinité de manières, à la forme

(29) t'' = at' , ou sin' 3 := K sin — •

En second lieu, elles sont sur une infinité de surfaces de révolution, et ces surfaces de révolution ont leurs foyers sur

la cubique circulaire, à l'intersection de cette cubique et d'une parallèle à l'asymptote réelle. L'équation de la courbe, rapportée à ces deux foyers, prendra la forme

Au moyen de la relation précédente, on peut toujours réduire l'équation focale de la courbe, de telle manière qu'elle ne contienne que deux foyers quelconques, pris sur la cubique, et soit de la forme

(30) KR + i5R' = l.

Ainsi, étant donnée une cartésienne, si l'on prend deux foyers que/conques sur la focale cubique^ il y a une relation linéaire (30) entre les distances d'un point de la cartésienne à ces deux foyers.

On a a — p quand les deux foyers sont sur une parallèle à l'asymptote réelle de la focale cubique.

On pourrait ajouter beaucoup aux propriétés des cartésiennes. Nous pourrons y revenir.

De la transformation par rayons vecteurs réciproques dans les cycliques, et des transformations de ces courbes les unes dans les autres.

Supposons d'abord qu'on prenne le pôle en un des foyers de la cyclique. Désignons par r la distance à ce foyer, et par r' ,r" les distances à deux autres foyers situés sur le même cercle directeur que le premier. L'équation de la cyclique,

ar + br' + cr" = 0 ,

se transformera en une équation de la forme

«R+ÔR'zizC .