SUR UWE CLASSE REMARQUABLE

En d'autres termes, la cyclique transformée qui est une courbe plane sera formée des ovales de Descartes. Ainsi,

Toute cyclique se transforme clans les ovales de Descartes, quand on place le pôle de transformation en un des foyers situés sur la sphère contenant la cyclique.

Plaçons maintenant le pôle de transformation, non plus en un des foyers situés sur la sphère, mais en un point quelconque de l'une des focales. Alors cette focale deviendra une cubique circulaire, et par conséquent la courbe elle-même se transformera en une cartésienne. C'est ce qu'on peut voir aussi de la manière suivante :

Le pôle a étant un foyer, le cône ayant pour sommet ce point et pour base le cercle de l'infini sera doublement tangent à la cyclique, et par conséquent la transformée par rayons vecteurs réciproques, d'après les principes de la Première Partie, sera doublement tangente au cercle de l'infini. Ce sera donc une cartésienne.

Si l'on prend le pôle de transformation sur l'une des quatre sphères contenant les focales, une de ces focales deviendra plane, et par conséquent la courbe sera sur un cylindre. Si le point est à l'intersection de deux des sphères contenant les focales, la courbe sera sur deux cylindres, et aura deux plans de symétrie. Enfin, si le pôle est en un des points d'intersection de trois des sphères contenant les focales, la transformée sera une conique sphérique.

Ainsi, toute cijclique peut être considérée comme la transformée par rayons vecteurs réciproques d'une conique sphérique.

\\ résulte de là une première construction simple de la tangente.

La tangente à une conique sphérique est la bissectrice de l'angle des arcs de grand cercle joignant le point de contact aux foyers. Ces arcs de grand cercle passent par deux foyers. Donc

Si par un point de la cyclique on fait passer deux cercles passant chacun par deux des quatre foyers situés sur un cercle

directeur, Ut tangente est la bissectrice de l'angle de ces deux cercles*

Il importe de remarquer toutefois que, pour les cycliques se composant d'une seule branche, deux seulement des sphères contenant les focales sont réelles. La transformation en une conique sphérique ne peut donc être faite qu'avec un pôle imaginaire. Ainsi, une cyclique ne peut réellement être transformée en une conique sphérique que si elle a deux branches, ce qui entraîne quatre foyers réels sur un même cercle directeur, trois sphères réelles contenant les focales, et se coupant en deux points qui doivent être choisis comme pôles de la transformation. Par exemple, les ovales de Descartes à trois foyers réels sont seuls les transformées d'une conique sphérique réelle.

La propriété que nous venons de signaler n'en est pas moins importante, puisqu'elle permet d'étendre aux cycliques bien des propriétés des coniques sphériques. Citons seulement celle-ci :

Les cycliques homofocales se coupent à angle droit.

On a donc un système orthogonal formé de cycliques homofocales. Nous reviendrons sur ce système orthogonal^ ainsi que sur d'autres systèmes formés de cycliques. Mais nous devons indiquer une dernière transformation par rayons vecteurs réciproques, s'appliquant à toutes les cycliques.

Il suffira de prendre le pôle aux points d'intersection de la sphère contenant la cyclique, et de deux autres sphères réelles contenant deux focales. La courbe se transformera en une cyclique plane ayant deux axes de symétrie. Ainsi, toutes les cycliques peuvent dériver par une transformation réelle des cycliques planes à deux axes de symétrie.

Si l'on prenait le pôle à l'intersection de la sphère contenant la courbe et d'une autre sphère contenant une focale, on aurait une cyclique ayant un seul axe de symétrie. C'est à cette classe qu'appartiennent généralement les sections du tore, ou spiriques.

Du système orthogonal formé par les cycliques homofocales.

Étant donnée une sphère et une développable A de 4* classe circonscrite à cette sphère, on pourra inscrire dans la développable une suite de surfaces qui couperont la sphère suivant des cycliques. Les foyers de ces cycliques, étant à Tintersection des coniques doubles de la développable A. et de la sphère, demeureront les mêmes. Elles seront donc homofocales. Nous allons démontrer que ces cycliques se coupent à angle droit.

On sait en effet qu'étant donné un système de surfaces du second degré inscrites dans une même développable, on pourra faire passer trois de ces surfaces par chaque point de l'espace, et que les tangentes aux trois courbes d'intersection seront conjuguées dans chacune de ces surfaces. Il suit de là que par chaque point de la sphère on pourra faire passer deux surfaces inscrites dans la développable A ; ces surfaces couperont la sphère suivant deux cycliques, et les tangentes à ces cycliques seront conjuguées dans la sphère, c'est-à-dire orthogonales. Ainsi,

Par chaque point de la sphère on peut faire passer deux cycliques de foyers donnés^ et ces deux cycliques se coupent à angle droit.

Le système des cychques homofocales comprend quatre courbes infiniment aplaties.

Pour obtenir ce système de cycliques, il suffira évidemment de prendre tous les cônes ayant même sommet et tangents à quatre plans tangents de la sphère. Il y a deux systèmes de cycliques homofocales : ceux dont les quatre foyers réels sont sur un même cercle, et ceux dont les

foyers réels sont disposés par couples sur deux cercles orthogonaux.

On voit qu'il n'est pas plus général de prendre des surfaces du second degré quelconques au lieu de cônes. Ce fait met en évidence une proposition très, générale, qu'on- peut énoncer ainsi :

Si l'on a une série de surfaces inscrites dans une même développable circonscrite à une surface (A) , elles couperont la surface (A) suivant des courbes par lesquelles on pourra faire passer d'autres surfaces du second degré inscrites dans une nouvelle développable circonscrite à la surface (A).

La démonstration analytique de cette proposition ne présente aucune difficulté. Considérons des surfaces inscrites dans une développable. Leur équation sera de la forme

p2 p/2 pf2 pwa

Soit

(32) ps+P'-^ + P'-î+p-'î — 0

l'équation de la surface (A) inscrite dans la même développable, et que l'on obtient en faisant

1= ce .

Si l'on retranche de l'équation (31) l'équation (32) multipliée par 1 — h, on trouve

équation qui représente des surfaces passant par les courbes situées sur la surface (A) , et inscrites, elles aussi, dans une développable.

Nous ne développerons pas la théorie analytique des cycliques; elle est comprise dans celle que nous donnerons pour les surfaces du 4® ordre, qui sont, dans l'espace, les analogues des cycliques planes.

Des cycliques analogues à l'ellipse de Cassini.

Le système orthogonal formé de cycliques homofocales n'est pas le seul qu'on puisse former avec ces courbes. Il existe un autre système orthogonal, formé de cycliques analogues à l'ellipse de Cassini. Certaines de ces courbes ont été étudiées par Van Rees dans un beau Mémoire sur les focales. M. Laguerre les a considérées sous le nom de ciissiniennes, et en a donné plusieurs belles propriétés. Dans la Troisième Partie de ce travail, nous rattacherons l'étude de ces courbes à celle d'autres courbes plus générales, et nous déduirons leurs propriétés de quelques théorèmes généraux relatifs à l'emploi des imaginaires en géométrie.