TROISIEME PARTIE
Etude de certaines propriétés des imaginaires en géométrie, et d'une classe générale de courbes algébriques, comprenant comme cas particulier la courbe de Gassini.
Des points associés dans le plan.
Soient, dans un plan, des points rapportés à des coordonnées rectangulaires. La distance d'un point {x ,y) h. un point fixe du plan s'exprime par la formule
Z' = {x — aY-^{y — h)\
qu'on peut écrire
52 = {x + yi — a — bi) {■v — yi—-a + bi) .
On voit donc que le carré de la distance se décompose en deux facteurs, et l'on est ainsi conduit à un système de coordonnées symétriques fréquemment employé.
Substituons aux quantités x ,y les coordonnées u ,v , définies par les formules
(35) u = x + yi , V = x — yi . Si l'on pose, de même,
« =: a + fci , p=za — bi.
on obtient
Cela posé, soient deux points P, Q; par ces deux points menons dos droites aux points à l'infini sur le cercle; ces droites se rencontrent en deux nouveaux points P',Q'. Nous dirons que ces nouveaux points sont associés aux premiers.
6â SUR UNE CLASSE REMARQUABLE
Réciproquement, P,Q sont associés à P',Q'. Si les points P , Q sont réels, les points P', Q' sont imaginaires conjugués, et inversement. On peut dire que deux couples de points associés sont deux couples de sommets opposés d'un quadrilatère, dont les deux autres sommets opposés sont les deux points I et J à rinfmi sur le cercle.
Soient
u = a ,v = '^ les coordonnées du point P ;
u = (x.' ,v = ^' celles du point Q.
Les coordonnées des points associés seront, par exemple,
pour le point P' , w= a ,v = <^'; pour le point Q' , i* = a' , i) = p .
Considérons un point quelconque M du plan. On aura les formules suivantes
MP^ — (w — a)(y — p) , MQ^=z{u — ^.'){v—^') , M?" = {u — u){v — ^') , MQ" = (w— «')(î; — /5) .
On déduit d'abord de ces forjnules
(37) MP .MQrrrMP'.MQ'.
Donc le produit des distances d'un point quelconque du plan à deux points fixes est égal au produit des distances du même point aux deux points associés.
On peut déduire de nouvelles relations de la signification géométrique des facteurs u — a ,v — p . Soit w Tangle que fait MP avec Taxe des a?; on a
a? — a = M P . ces w , y — & r= M P . sin w ,
et par suite
(38) u — <^ = M?.e'''', v-^ = mv .e-"\ d'où
(39) lZlf^,î=o.-
L'angle PMQ, sous lequel on voit le segment PQ, est évi-
DE COURBES ET DE SURFACES ALfiÉBRIQUES. 63
demment égal à la différence des angles w,w', que font les droites MP , MQ avec l'axe des o? . On a donc
/\ ., ,> U — « U—OL (U — a)(v — S')
v — p'v—p' (w— «')(*'— P) et, en extrayant la racine carrée,
/MFV»
VmQ7 '
/\ MP' MQ'
De même,
/\ MP ~MQ
Donc le rapport des distances d'un point M du plan à deux points est égal à é^ , V désignant l'angle sous lequel on voit du même point le segment formé par les points associés.
Cette proposition est importante (^) ; elle permet, quand deux points sont imaginaires conjugués, de remplacer les éléments imaginaires relatifs à ces deux points par des fonctions d'éléments réels, correspondants aux points associés.
Nous allons donner deux applications. Prenons d'abord deux points fixes A , B sur un cercle. On sait que l'angle sous lequel on voit d'un point du cercle le segment AB est constant. Donc le rapport des distances du même point aux deux points A', B', associés à A et à B , est aussi constant. Si les points A et B
(^) Cette proposition se déduit, comme on voit, très simplement de l'équation
gaiy =:
et cette dernière équation exprime que l'angle de deux droites MA, MB multiplié par 1i , est le logarithme du rapport anharmonique des quatre droites M A , M B , MI , M J . Ce fait remarquable, contenu implicitement dans une formule du Traité Je Géométrie supérieure de M. Chasles, a été pour la première fois énoncé d'une manière explicite par M. Laguerre {Nouvelles Annales de Mathématiques 1853, p. 57), et appliqué par ce géomètre à une question importante, la transformation des relations contenant des angles dans l'homographie. On pourra consulter à ce sujet le Rapport sur les progrès de la Géométrie, de M. Chasles, p. 313.
deviennent imaginaires, A', B' deviennent réels, et on retrouve une propriété connue du cercle. Mais nous allons traiter un exemple moins simple.
On sait la difficulté qu'ont rencontrée les auteurs de Traités de sections coniques dans Tétude des propriétés focales des courbes du second degré. Il est difficile, quand on prend pour point de départ les beaux théorèmes généraux relatifs aux sections coniques, de rattacher à ces propositions générales, d'une manière directe, la démonstration des propriétés métriques focales. Les remarques précédentes permettent, il nous semble, de lever simplement cette difficulté.
Nous nous appuierons seulement sur un des deux théorèmes généraux que M. Chastes a pris pour base de sa Théorie des sections coniques. Le rapport anharmonique des quatre points où une tangente mobile rencontre quatre tangentes fixes est constant.
Prenons deux tangentes quelconques se coupant en A , et deux autres tangentes imaginaires passant par les deux points
à l'infini sur le cercle, et se coupant en un point réel F, qui, d'après la définition générale, sera un foyer. Soit une tangente mobile MM'PP'. Elle coupe les deux tangentes imaginaires en deux points imaginaires P , P' représentés pour plus de clarté sur la ligure, et ayant pour associés le foyer F et son symétrique f par rapport à la tangente. Écrivons que le rapport anharmonique des quatre points M , M', P , P' est constant; nous aurons
