MP' ' PM
g. -(FM/ -F M'/) . J^
La différence des angles qui figurent dans le premier membre de cette formule est évidemment égale au double de fangle sous lequel on voit du foyer le segment MM'.
Donc la portion de tangente comprise entre deux tangentes fixes est vue de chaque foyer sous un angle constant.
Supposons maintenant que les deux tangentes fixes soient
menées du second foyer. Les points associés à M , M' seront
lé foyer F' et son symétrique /' par rapport à la tangente.
L'angle MFM' s'exprimera, par la formule (40), en fonction
du rapport des distances du foyer F aux deux points F',/"'.
Ff Donc le rapport ^-p; , et par suite ¥f' restera constant. Ainsi,
le symétrique d'un foyer par rapport à la tangente décrit un cercle ayant pour centre l'autre foyer.
Ces deux propositions peuvent évidemment, constituer une base pour la théorie des foyers. On en déduit immédiatement les propriétés métriques focales.
Les points associés donnent lieu encore à des propriétés nombreuses. Par exemple, les droites qui joignent un point M du plan à deux points V ,Q ont mêmes bissectrices que les droites joignant le point M aux deux points associés P', Q'. La différence
MP^ + MQ^ — MP" — MQ'^
est constante, quel que soit le point M , et par conséquent égale à PQ'. On a
PQ^ = P'Q'^ , (MP + MQ)^ — (MP' + MQ')^ = VQ' .
Mais il nous paraît inutile de multiplier les énoncés.
D'une classe générale de courbes.
On peut aussi déduire des principes précédents des propositions beaucoup plus générales, s' appliquant à une classe nombreuse de courbes de tous les degrés. Yoici la définition de ces courbes, auxquelles nous, allons étendre une des propriétés les plus importantes du cercle.
Soit une courbe telle que le produit des distances de l'un quelconque de ses points à une série de pôles fixes soit dans un rapport constant avec le produit des distances du même point à une autre série de pôles fixes.
Son équation sera
rr'r" . . . = k .RR' R" . . . ; ou
Cette équation peut aussi s'écrire
h{u — a){u — a')... {v — p){v — p')... Elle est donc de la forme
(41) 1^ - Ml) ,
où 05 , (p, , '^ , ']/, , désignent des polynômes imaginaires, conjugués deux à deux. Il est évident que, réciproquement, toute équation de la forme (41) représente une courbe jouissant de la propriété énoncée, et, pour avoir les deux séries de pôles contenus dans cette définition, il suffira de décomposer en facteurs les polynômes © , '| .
Or l'équation (41) peut s'écrire
y(/0 + ).-Mw)-^,(r) + >,y,(r)
Vf (?f) H- -i iv) y -L , (>) 4- 0, , (r )
OU
La forme nouvelle de Téquation est identique à la première (41); mais les racines des polynômes ont changé. La définition de la courbe reste donc la même, fnais avec d'autres pâles.
Donc, si une courbe est telle que les produits des distances de l'un de ses points à deux séries de pôles fixes soient dans un rapport constant, cette propriété subsistera quand on remplacera les pôles fi,xes par une infinité de nouveaux systèmes de points convenablement choisis.
Les deux nouvelles séries de pôles ne seront réelles, comme le montre l'équation précédente, que si / et >/ sont imaginaires conjugués. Alors les pôles de la première série seront donnés par les équations
(43) t>{u)^^(;u) + U(îi)=zQ , <^^{v) = f,{v)-hy-^^{v)=^0, et ceux de la seconde par
(44) M^(?j) — •i(«) + //a(M) = 0, Y^{v) = -^,{v) + lf,(v) = 0 .
Il y a plusieurs remarques à faire sur ces nouveaux pôles. D'abord les équations (43) , (44) sont du même degré. Donc, alors même que les pôles primitifs ne seraient pas en même nombre dans les deux séries, les nouveaux pôles seront en nombre égal dans chaque série.
En second lieu, si l'un des pôles était multiple, le polynôme 9 (w) avait un facteur multiple; mais, dans les nouveaux systèmes, il n'en est plus ainsi, et les pôles multiples sont remplacés généralement par des pôles simples, en nombre égal au degré de multiplicité.
Enfin, on peut disposer de À et de >/ de manière que l'un des pôles soit en un point donné quelconque, et les autres seront alors déterminés. Si nous exprimons, en effet, que les équations (43)
sont vérifiées par des valeurs données de u et de v, ces équations feront connaître A et X'.
Quand on aura choisi arbitrairement le premier pôle Ai, voici comment on trouvera tous les autres. Par Aj on mènera des droites aux deux points I , J ; ces droites coupent la courbe en deux groupes de w points, et on reliera d'une manière quelconque les points du premier groupe à ceux du second par n droites. Les n pôles de l'une des séries seront les symétriques de Aj par rapport à ces n droites; et, en opérant comme précédemment sur l'un de ces n pôles, on trouvera de même A, et les n — 1 pôles qui avec A^ forment la série associée à la précédente.
La courbe la plus simple de la classe actuelle est le cercle, pour les points duquel le rapport des distances à deux pôles fixes est constant. La proposition énoncée plus haut est donc la généralisation d'une des propriétés fondamentales du cercle.
Mais il nous paraît digne d'intérêt qu'on puisse étendre à toutes nos courbes les propriétés relatives à l'angle inscrit dans le cercle, et de la manière suivante :
Donnons, dans la formule (42), à X et à V des valeurs imaginaires, e'"', e''% dont le module soit l'unité. Cette équation prendra la forme
Les deux termes des deux fractions sont imaginaires conjugués. Donc, si nous les décomposons en facteurs, l'équation précédente deviendra
u — a u — a' u — k" u — a U — tt' U — a"
V — p V — p' V — jS" V — b V — b' V — b"
où (a , p) , (a', p') , ... , (a , ft) , ... sont imaginaires conjugués.
Soient A,- le point réel défmi par les coordonnées a.- , p,- ; B.- le
point réel défini par a.- , 6, . Désignons par oi,. l'angle que fait
avec l'axe des x le rayon qui va du point M {u , v) au point A,- ;
par (ù'i le même angle pour le point B<. On a, d'après une formule déjà rappelée (39),
/)2iW
etc.
L'équation (45) prend donc la forme
w + od, + Wj 4- • • — &)' — &)' j — w' 2 ^^ constante ,
ou
(46) w — w' + Wj — w'i + Wj — w'2+-" = constante.
Sous cette forme, elle exprime que la somme des angles sous lesquels on voit d'un point de la courbe les segments rectilignes AB , A,B, , ... , A,- B,- , ••• 6st constante.
Donc, quand une courbe est telle que les produits des distances de l'un quelconque de ses points à deux séries de pôles fixes soient dans un rapport constant, on peut encore la considérer, et d'une infinité de manières, comme le lieu des points tels que la somme (ou la différence) des angles sous lesquels on voit d'un point de la courbe des segments fixes soit constante.
On obtient ainsi la généralisation complète de la propriété de l'angle inscrit dans le cercle. Il y a quelques remarques à présenter sur les segments.
D'abord leurs extrémités sont sur la courbe; cela est évident d'après l'équation, et résulte aussi du théorème. Car, lorsque le point décrivant la courbe sera en un des points A par exemple, l'angle sous lequel on verra du point le segment AB sera indéterminé, et on pourra lui donner, en particulier, la valeur qui satisfait à l'équation (46).
On se rend compte d'ailleurs du résultat qui précède au moyen d'une proposition déjà énoncée. On sait, en effet, que l'angle V, sous lequel on voit un segment d'un point M, s'exprime en fonction des distances r , r' aux points associés du segment, par la formule
On voit donc qn'analytiquemxnt les deux définitions données
dans les énoncés précédents sont identiques. Mais Tune n'est employée que lorsque les éléments qui figurent dans Tautre deviennent imaginaires conjugués.
Les courbes précédentes ont des foyers, que nous allons déterminer. A cet effet, reprenons leur équation, qu'on peut écrire
^ (W) + >/ (j> (t<) f^ {V) + X'il/, (V)
Les pôles de la première série correspondants à cette forme de l'équation, sont déterminés par les racines de l'équation
Disposons de l de telle manière que cette équation ait une racine double, ce qui exige que l'on ait
ou
f (u) -y (w) — ii/ {u) <f' \^u) = 0 .
Alors, toutes les droites données par les valeurs de v , racines de l'équation
•i,(î7) + )>?,(■«;) rrrO,
seront tangentes à la courbe; car leurs intersections avec la courbe sont définies par l'équation (47), qui a une racine double. Les points réels situés sur ces droites seront donc les foyers. Nous ferons l'application de cette remarque en étudiant quelques courbes particulières.
Pour ces systèmes de pôles particuliers, l'équation des courbes prendrait la forme
R'-R'R" ... = k.rr'r"r'" ••• .
Il y a un pôle double dans la première série. Ceux de la seconde sont des foyers.
Enfin, il ne sera pas inutile de remarquer que les courbes étudiées dans cet article appartiennent à la classe de celles dont la définition ne change pas quand on les transforme par
rayons vecteurs réciproques. Si le pôle est dans le plan, cela est évident; car toute transformation par rayons vecteurs réciproques se ramène, comme on sait, dans le système de coordonnées symétriques, à effectuer une substitution de la forme
ay, + «' «Wi + a'
pv, + ^' ' 6«, + h'
et une telle substitution ne change en aucune façon la forme des équations de nos courbes. Mais on peut donner aussi la démonstration suivante qui s'applique au cas où le pôle de transformation est en dehors du plan, et où nos courbes planes deviennent des courbes sphériques.
Étant donnés le pôle 0 et deux points A , M , dont les transformés sont a , m , on aura
A M am . „ ^ . am
—-=z-—^ AM^OA.--— •
Cette formule nous montre que la distance d'un point variable M à un point fixe A se reproduit multipliée par une constante et divisée par la distance du point m au pôle.
Donc toute équation homogène entre les distances, et en particulier l'équation
où le nombre des facteurs est le même dans chaque membre, conservera la même forme après une transformation. Cependant, si le pôle de la transformation était placé en un des pôles de la courbe, A par exemple, le facteur R correspondant disparaîtrait, quel que fût son degré de multiplicité. Par exemple l'équation
représente une transformée par rayons vecteurs réciproques d'ellipse de Cassini, puisqu'on pourra faire disparaître le facteur r\
Du système orthogonal formé avec les courbes précédentes.
Soient les deux systèmes de courbes représentés par les équations
et
Lorsqu'on fait varier a , § , les équations précédentes représentent deux systèmes de courbes isothermes et orthogonales. Nour rappellerons d'abord en quelques mots la démonstration de ce théorème.
Les formules précédentes, si l'on prend les logarithmes des deux membres, rentrent dans le type
D'après cela, si Ton considère la courbe de chaque système passant par un point donné du plan, les tangentes à ces deux
du courbes seront données par des valeurs de — égales et de si-
gnes contraires. Or on a, en appelant V l'angle que fait la tangente avec l'axe des x,
du dx + idy atv
dv dx — iày
En appelant V, , Y'^ les angles pour nos deux courbes, on aura donc
ce qui'démontre la proposition.
Ainsi, deux systèmes de courbes représentés par les deux équations du type
OU, ce qui revient au même,
sont des systèmes orthogonaux : ce sont les systèmes isothermes, si souvent étudiés par les géomètres.
L'interprétation géométrique des équations (49) et (50) nous conduit alors au théorème suivant :
Si l'on considère les courbes telles que les produits des distances d'un quelconque de leurs points à deux séries de points fixes soient dans un rapport constant, elles seront toutes coupées à angle droit par des courbes qu'on pourra définir de la même manière.
Les pôles qui servent à la définition des courbes orthogonales sont obtenus de la manière suivante. Soient
les droites passant par les premiers pôles des premières courbes et les points I et J; soient de même
les droites passant par les seconds pôles des mêmes courbes et les points I et J . Les pôles des courbes orthogonales seront déterminés par les intersections des droites
t A 5 A , . . . , j Al , A 1 5 . . . ,
Mais, les nouveaux pôles étant imaginaires, la définition du second système orthogonal doit être énoncée de la manière suivante :
Les courbes du second sijstème sont telles que la somme des angles sous lesquels on voit les segments formés en associant deux à deux les pôles des deux séries du premier système orthogonal soit constante.
C'est la forme sous laquelle on donne ordinairement les propriétés du second système orthogonal.
ao.
Des courbes lieux des points d'où l'on voit plusieurs segments sous des angles dont la somme est nulle.
L'équation
-où /■ , /"i , 9 , 9 1 désignent des polyn(3mes imaginaires conjugués, dont les premiers termes ont l'unité pour coefficient, est comprise comme cas particulier dans Féquation (45). Elle représente des courbes, de degré impair, qui se distinguent des courbes générales , en ce que la somme des angles sous lesquels on voit d'un point de la courbe plusieurs segments est égale à^un multiple de r.. L'équation peut en effet s'écrire
V — § V — b V — p V — b ou
La même propriété subsiste avec d'autres segments; car on peut écrire l'équation précédente sous la forme
absolument semblable à la forme (53); mais les segments servant à la définition de la courbe sont changés, et demeurent réels, si / et À' le sont. Donc,
Quand une courbe est le Heu des points tels qu'on voit de ces points plusieurs segments sous des angles dont la somme est un multiple de z. , elle conserve la même propriété avec une infinité d'autres segments, ayant tous leurs extrémités sur la courbe.
Les courbes précédentes comprennent comme cas particulier celles qui sont définies par une équation de la forme
OÙ les quantités R,- désignent des distances à des pôles fixes, situés sur une droite. Si nous prenons cette droite pour axe des X, l'équation précédente pourra s'écrire
ou, en multipliant par u — v ,
ou enfin
(55) y —^ -f Au= y -ii- + kv ,
Mais nous n'insistons pas sur ce cas particulier, que nous aurons à considérer plus loin à un autre point de vue (voir art. 37).
Des rapports entre la théorie générale des cycliques et celle des fonctions
elliptiques.
L'étude détaillée de ces rapports nous entraînerait trop loin. Cependant nous allons indiquer rapidement comment la théorie générale des cycliques peut être rattachée aux fonctions elliptiques.
Soit l'équation différentielle
où f{u) , f\ {v) désignent des polynômes imaginaires conjugués
du 4® degré. En général, cette équation ne peut s'intégrer
dit en termes finis. Mais, si la différentielle , se déduit de
de
\/(i-e){i-ke
~ par une substitution linéaire de la forme
al-\-a'
la différentielle . . se déduira de même de . .
par la substitution
(58) ""^hTf'
imaginaire conjuguée de la précédente, et l'équation différentielle (56) sera intégrable algébriquement. L'étude de cette intégrale nous avertit que la courbe qu'elle représente est une cyclique plane quelconque. Elle est en effet de la forme
Aîi*îJ' + Bwt;' + B.w'y + C ît' + Cl?;' + Dîit; + E w + E^i? H- F = 0 .
D'ailleurs, l'équation différentielle (56) met en évidence les propriétés focales de la courbe.
En effet, soient
f[u) =z A{u — a,) (m — a,) {u — a^) (m — a,^) , A (v) = B{v-b,) (V - K) {V - 63) {V - h,) . La droite
u = ûi
coupera la courbe en un point pour lequel -r-, est nul, d'après
l'équation différentielle. Cette droite est donc tangente à la courbe. Il en est de même des droites
v = bi .
La cyclique aura donc les 16 foyers définis par les équations
Nous allons démontrer que ces foyers peuvent être placés 4 0 4- sur des cercles.
Les polynômes f{u) , /"j (v) provenant d'un même polynôme par une substitution linéaire, leurs racines auront les mêmes rapports anharmoniques. Supposons par exemple que 0 {a^ , a,.a,,(i,) — 0{b,,b,,b,, b,) . On aura
a, — «3 a, — «1 bi — b^bi — &i ^
DE COimBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES. 77
Soient A^ , A,, , A3 , A^ les quatre foyers déterminés par les coordonnées {a^ , h) , {a^ , h,) , {a^ , b^ , (a^ , è^) . On a , d'après des formules que nous avons fréquemment employées,
et de même pour les rapports figurant dans le second membre de réquation, ce qui nous conduit, en substituant, à la formule
Cette égalité exprime que le quadrilatère formé par les quatre points est inscriptible, et, par conséquent, que les quatre foyers sont sur un cercle.
Comme chaque valeur du rapport anharmonique répond à quatre dispositions différentes des éléments, on trouvera quatre cercles sur lesquels les 16 foyers seront rangés 4 à 4.
Enfin l'équation (56) conduit à une construction simple de la tangente aux cycliques, analogue à celle que l'on connaît pour les courbes du second degré. Car soient V , to^ , q^ , o^ , w^ les angles que font avec l'axe des x la tangente au point M et les droites MA^ , MA^ , MA3 , MA^ , qui joignent ce point aux quatre foyers ; l'équation différentielle
(duV A w — a, u — a^ u- a^ u— a,, dv ) B V — 6, V — &2 V — &3 V — 64
conduit, en posant
à la relation
et cette relation donne pour l'angle V deux valeurs, différentes
de Q ; par conséquent, les tangentes aux deux courbes passant
en un point du plan sont perpendiculaires. Ainsi, l'équation (56) est intégrée far le système des cycliques flânes, homofocales et orthogonales.
78 SIR UNE CLASSK RE.MAROUABLE
Pour construire simplement la formule (59), il suffira de connaître la constante K, et, pour cela, de placer d'abord le point M sur le cercle focal. Mais nous n'insistons pas sur ce point de détail. Remarquons aussi que les formules de substitution (57) ,(58), interprétées géométriquement, donnent la transformation par rayons vecteurs réciproques dans le plan. Nous retrouvons donc cette proposition ; Toute cyclique plane est la transformée par rayons vecteurs réciproques iVune cyclique à deux axes de symétrie.
Ces dernières cycliques ont été étudiées par M. Siebeck dans deux Mémoires importants (t. LVII et LIX du Journal de Borchardt). Les ovales de Descartes ont été considérées au même point de vue par l'auteur dans les Annales de l'École Normale. Signalons aussi des articles de M. Laguerre dans le Bulletin de la Société Philomathique (^).
De l'ellipse de Cassini.
On sait que l'équation de cette courbe, rapportée à ses axes de symétrie, est
[x' + y'Y + a'ix^—y^) + b'* = 0 .
C'est donc une cyclique; c'est aussi ce qui résulte de l'équation focale
rr' = k ,
et cette dernière équation va nous permettre d'énoncer les propriétés caractéristiques de l'ellipse de Cassini.
Proposons-nous d'abord le problème suivant, résolu d'une manière générale par M. de la Gournerie {^) : Étant donnée
{') Sur les applicalions de la Géomôtrie au Calcul Intégral. DuUetin de la Société Philomathique, 1867, p. SI.
(*) Journal de LioiicUle, t. XIV, 1^ série. Mémoire sur les ligne3 spiriques.
UE COIIRP.ES ET DE SURFACES ALCftBRIQUr-S. 79
une cyclique plane, définie par la conique déférente (K) et par le cercle directeur (A) , déterminer les foyers singuliers de cette cyclique.
Nous avons vu que les foyers singuliers sont les points réels, situés sur les asymptotes de la cyclique. Nous savons aussi qu'étant donné un des cercles orthogonaux au cercle (A) et ayant son centre en m sur la conique (K), pour avoir les points de la courbe, il faut abaisser du centre 0 de (A) une perpendiculaire sur la tangente en m. Les points d'intersection de cette perpendiculaire et du cercle appartiennent à la cyclique. L'un de ces points s'éloignera à l'infmi dans le cas seulement où la tangente en M à la conique ira passer par un des points à l'iniini sur le cercle, I par exemple. Alors la tangente à la cyclique sera la tangente au cercle, c'est-à-dire la tangente menée à la conique par le point I . On voit donc que les asymptotes de la cyclique seront les tangentes menées à la conique des deux points I et J ; en d'autres termes, les foyers singuliers de la cyclique seront les foyers ordinaires de la conique déférente.
Cela posé, soit une ellipse de Cassini. Les points qu'on appelle d'ordinaire foyers de cette courbe, et qui donnent lieu lieu à l'équation
rr' = k ,
seront à la fois des foyers ordinaires et des foyers singuliers. L'ellipse de Cassini s'obtiendra donc en prenant une conique déférente (K) à centre unique quelconque, et un cercle directeur concentrique à cette conique. D'ailleurs, comme les foyers de la conique (K) doivent aussi être foyers de la courbe, il faudra que le cercle (A) passe par les points de contact des tangentes menées à la conique de ses deux foyers. Cela nous conduit au mode suivant de génération :
On obtient la courbe de Cassini, en prenant une conique déférente quelconque (qui doit être une hyperbole, si la courbe est réelle), et pour cercle directeur le lieu des points
d'où Ton peut mener à la conique des tangentes rectangulaires.
Si l'hyperbole a son axe réel plus grand que Taxe imaginaire, la courbe est formée des deux ovales. Dans ce cas, les quatre foyers sont sur Taxe réel.
Si l'hyperbole a son axe imaginaire plus grand que l'axe réel, on obtient la courbe formée d'une seule branche. Deux des foyers réels sont sur l'axe imaginaire.
Enfm, si l'hyperbole est équilatère, c'est la lemniscate que l'on obtient.
Pour avoir les quatre foyers de la courbe, il suffira de mener des droites aux points I et J par les quatre points d'intersection de la conique déférente et du cercle.
Ce serait ici le lieu de montrer comment les propriétés des cycliques permettent de généraliser un théorème relatif à la lemniscate, et de donner un mode parfait de représentation des intégrales elliptiques par un arc de courbe. Mais ces propriétés peuvent, sans inconvénient, être détachées du travail actuel.
L'ellipse de Cassini fait partie des courbes que nous avons étudiées au n" 27. Son équation peut, en effet, s'écrire
d'où l'on déduit
et, par suite,
équation de la forme
K^' = k.rr' ;
et les nouveaux pôles seront déterminés par les équations
Considérons un cas particulier,
l'équation deviendra
Cette équation peut s'écrire
p désigne la distance au centre de la courbe ; R , R' sont évidemment les distances aux deux autres foyers déterminés par les formules
Donc , le produit des distances aux deux seconds foyers est proportionnel au carré de la distance au centre.
11 résulte de là que la transformée par rayons vecteurs réciproques d'une ellipse de Cassini est encore une ellipse de Cassini, si l'on met le pôle au centre. Seulement, pour la courbe formée d'une seule ovale, les deux foyers donnant lieu à la propriété focale rr' =■ k passeront par la transformation sur l'axe perpendiculaire.
Nous allons maintenant développer la propriété des segments capables, en écrivant l'équation (60) sous la forme
aV^ (K-ffl.-i;^ — c' + flV-
1^2 c^ + (j2gp« ^,2 c2 ^ ^2 g-Sf
D'après les propositions générales données plus haut, cette équation exprime que, si l'on considère les deux segments dont les extrémités sont données par les formules
M^ = c- - a'^e^' , v^ — c^ — a^e- «' , pour la première extrémité, et
u^ z=zc^ — rt V ?' , ?;- = c° — a- e~i^'' ,
pour la seconde, la somme des angles sous lesquels on voit ces deux segments est constante. Donc,
Si l'on inscrit dans l'ellipse de Cassini un parallélogramme de même centre, la somme algébrique des angles sous lesquels on voit les côtés opposés d'un point de la courbe est constante.
Ces remarques servent d'application aux théorèmes généraux énoncés plus haut.
L'ellipse de Cassini n'est pas d'ailleurs la cyclique la plus générale ayant une équation de la forme
RR' = K . rr' .
11 semble même que cette équation, contenant 9 constantes, serait propre à représenter les cycliques planes les plus générales. Mais, comme on a démontré que cette équation peut conserver la même forme avec une infinité de systèmes de pôles, et que même l'un d'eux peut être choisi arbitrairement, on voit qu'elle ne contient, en réalité, que 7 constantes, et ne peut représenter toute cyclique. Nous verrons plus loin comment on peut rattacher tout cela aux théorèmes de Poncelet. Les cycliques définies par l'équation
MA.MA- ^^^^ MB.MB'-^
forment, lorsque K varie, un système de cycliques, coupées à angle droit par les courbes satisfaisant à l'équation
(64) AMB + A'MB' — const.
Ces nouvelles courbes sont encore des cycliques. On a donc un système double orthogonal , formé exclusivement - de cycliques.
Ce système comprend, comme cas particulier, celui des ellipses de Cassini et des hyperboles équilatères, qui a été étudié surtout par Lamé. Il suffit que deux des pôles, B , B', servant à la définition du premier système, soient rejetés à l'infini. Toutes les cycliques du système général sont d'ailleurs
des transformées par rayons vecteurs réciproques de l'ellipse de Cassini.
Des points associés à la surface de la sphère.
Les propriétés des points associés dans le plan ont leurs analogues dans la géométrie spliérique.
Si nous transformons une figure plane par rayons vecteurs réciproques, au plan correspond une sphère; aux droites du plan passant par le point I correspondent les génératrices d'un même système de la sphère. De même, aux droites passant par le point J correspondent les génératrices rectilignes du second système. On voit donc que toute génératrice de la sphère a un point réel, et que les génératrices d'un système sont imaginaires conjuguées de celles de l'autre. Donc, à un quadrilatère du plan, ayant pour sommets opposés les deux points I et J, correspond sur la sphère un quadrilatère rectiligne formé de deux génératrices de chaque système. Il résulte de là la construction des points P', Q', associés aux points P , Q .
Par les points P , Q on mènera les deux génératrices rectilignes de la sphère, qui passent en ces points. Ces deux génératrices se coupent en deux points P', Q' qu'on dira associés aux premiers. Il est clair que la droite P'Q' est la polaire de PQ, et, par conséquent, si l'un des couples, PQ 1 P'Q' est réel, l'autre sera nécessairement imaginaire.
Il est vrai que, dans le plan, nous faisions une distinction entre les points P',Q'. Si les points P et Q ont pour coordonnées
nous avons pris
(Voir art. 26). Mais ici la même distinction peut évidemment être faite; car aux droites passant par le point I dans le plan correspondront, sur la sphère, les génératrices d'un système, que nous appelerons (I); et de même, aux droites passant par J dans le plan, les droites du second système, que nous distinguerons par la lettre (J) , et qui sont imaginaires conjuguées des premières. Examinons maintenant les propriétés des points associés.
