MP .MO

Le rapport , des distances d un pomt M aux quatre

points P,Q,P',Q', étant égal à l'unité dans le plan, sera constant à la surface de la sphère, et l'on aura

MP.MQ ^ ^ MP\ MQ'

Donc il y a sur la sphère un rapport constant entre le produit des distances d'un point quelconque M à deux points fixes ^ V , Q„ et le produit des distances du même point aux deux points associés

On peut transformer de même les relations relatives aux angles, et nous signalerons d'abord celle-ci. Si l'on joint le point M soit aux deux points P , Q , soit aux deux points P', Q', les deux couples de grands cercles ainsi obtenus auront mêmes bissectrices. On pourra substituer, sans que la propriété cesse d'exister, aux grands cercles des petits cercles assujettis à couper à angle droit un cercle fixe quelconque de la sphère.

Nous avons vu que, dans le plan, on a

gt.P'MQ' __

MP MQ

Sur la sphère les droites MP,MQ,... se transforment en petits cercles passant par le pôle. Si nous appelons ce pôle M', la relation précédente, transformée sans aucune difficulté par la méthode des rayons vecteurs réciproques, nous conduit au résultat suivant :

Soient deux petits cercles de la sphère passant, Tun par

M , M', P', l'autre par M , M', Q', et désignons leur angle par

/\ P'MQ'; on aura

/\ MF M'P ^^ MQ M'Q

M , M' étant d'ailleurs des points quelconques de la sphère, et P , Q les points associés à P', Q'. Cette relation est fondamentale, et nous allons en déduire plusieurs conséquences.

1° Les points M , M' étant quelconques, on peut faire sur leur position différentes hypothèses particulières, et supposer, par exemple, qu'ils soient diamétralement opposés sur la sphère. Alors les cercles considérés plus haut sont les grands cercles passant par M et les points fixes P', Q'. D'ailleurs, les distances M'P , M'Q deviennent égales aux distances MP^ , MQi du point M aux points P, , Qi , diamétralement opposés à P et à Q , et la formule (66) devient

arc M P