MP
Cela posé, je dis que l'angle P'MO' ou TMT, des deux petits
cercles s'exprime en fonction des angles du triangle sphérique MP'Q' par la formule
/\ (68) 2P'MQ' = M — P'— Q'+TT.
En effet, menons les arcs tangents en M , M', P'. D'après les propriétés du cercle, les angles suivants seront égaux,
TP'M=:TMP', T'P'iVr=:T'M'P' , TMM' =:^ T'M'M ,
et par conséquent on aura
2TMM' = P'MM' + P'M'M + 77 — MP'M' .
En appliquant la même relation au second petit cercle, on aura
2ï,MM'r=:0'MM' + Q'M'M + 7r--MQ'M' .
En retranchant de cette équation la précédente, on trouve
2T,MTrr:Q'MP' — MQ'M' +MP'M' ,
équation équivalente à la formule (68), qu'il s'agissait de démontrer.
Ainsi l'angle des deux petits cercles s'exprime par la formule
M , P', Q' étant les angles du triangle sphérique MP'Q'.
L'expression précédente est susceptible d'une interprétation
géométrique simple. A cet effet, considérons, en même temps
que P', Q', les points diamétralement opposés P'i,0',.
g L'expression précédente est égale « ^ , S étant l'aire du triangle
sphérique MP'iQ'i , et l'on a
(69) %^fi.
Ainsi, le rapport des distances d'un point quelconque M de la
sphère à deux points V , Q de cette surface est égal à e % S désignant l'aire du triangle sphérique formé par le point M et les points P'i , Q'i , diamétralement opposés aux points P', Q', associés àV et àQ.
Nous ne devons pas dissimuler que la formule et la démonstration précédentes présentent quelques difficultés quant aux signes. Ces difficultés, sur lesquelles nous reviendrons dans une autre occasion, et qu'on lèvera dans chaque cas particulier, tiennent à la convention faite par les auteurs de Trigonométrie de détruire la continuité, et de ne considérer que les triangles dont les côtés sont inférieurs à t.. La règle à suivre est la suivante. On prendra le même signe pour toutes les aires correspondantes à un sens de rotation déterminé autour des côtés du triangle, et des signes opposés quand les sens de rotation seront différents.
La formule (69) peut être employée sur la sphère de la même manière que l'équation (40) relative au plan. Elle donne,
MP
comme cette dernière, une transformation du rapport rrr; de
deux distances seulement, tandis que la formule (67), qu'on pourrait d'ailleurs déduire de la précédente, contient quatre distances M P, M Q,M'P,M'Q.
Ainsi, quand les deux points P , Q deviennent imaginaires conjugués, le rapport des distances du point M à ces deux
points s'exprimera en fonction de Taire d'un triangle sphérique réel.
Sous ce point de vue, c'est le théorème de Lexell, relatif aux triangles sphériques d'aire constante, qui constitue, sur la sphère, la propriété analogue à celle des angles inscrits dans les cercles du plan. Car on sait, d'après ce théorème, qu'étant donnés deux points quelconques P , Q d'un petit cercle, le triangle sphérique formé par les points diamétralement opposés P, , Qi , et par un point M du cercle, conservera une aire constante, quand le point M décrira le petit cercle.
On retrouverait exactement, comme à l'article 26, les propriétés focales des coniques sphériques.
Des courbes sphériques analogues aux courbes planes déjà considérées.
Nous sommes maintenant en mesure d'étendre à la sphère les propriétés signalées à l'article 7, et qui conviennent à une classe étendue de courbes planes.
Prenons sur la sphère deux séries de pôles fixes,
A, , Aj , .•, . 5 An 5
B, , Bj , .. . , B„ ,
et appelons R,- , r,- les distances d'un point M aux pôles A, , B, des deux séries. Les courbes sphériques que nous allons considérer sont définies par l'équation
Ces courbes donnent lieu à des propositions plus nombreuses que les courbes planes correspondantes.
D'abord, si Ton effectue leur projection stéréographique sur un plan, la forme de l'équation précédente (70) ne change pas. On voit donc que ces courbes sphériques sont les transformées par rayons vecteurs réciproques des courbes planes déjà étu-
diées, et, par conséquent, en tenant compte de la propriété énoncée (art. 27), nous obtiendrons le théorème suivant :
Quand une courbe sphérique est telle qu'il y ait un rapport constant entre les produits de ses distances à deux séries de pôles fixes pris sur la sphère^ elle jouit des mêmes propriétés avec une infinité d'autres séries de pôles fixes, situés aussi sur la sphère, et l'un des nouveaux pôles peut même être choisi arbitrairement.
Supposons que l'on se donne un des pôles Aj , et que Ton demande de trouver les pôles qui lui sont associés. On mènera le plan tangent en A,, contenant deux génératrices de la sphère qui couperont la courbe en deux groupes de n points imaginaires,
On joindra les points du premier groupe à ceux du second, et Ton aura ainsi. ?i arcs de grand cercle. Les pôles B,- de Tune des séries seront les symétriques de Aj par rapport à ces n arcs de grand cercle. En opérant la construction précédente sur un de ces pôles B^-, on retrouvera Ai et les {n — 1) pôles A^, qui doivent lui être adjoints dans la première série.
Les arcs de grand cercle joignant les points du premier groupe a', peuvent d'ailleurs être pris d'une manière quelconque; mais il est clair qu'ils ne seront réels que si l'on joint chaque point imaginaire «, à son conjugué a',-. La construction que nous donnons ici est d'ailleurs une conséquence immédiate de ce fait évident que deux pôles appartenant à deux séries différentes, considérés comme des cercles de rayon nul, se coupent en deux points de la courbe.
Revenons au cas général, et considérons, en même temps que la courbe sphérique, la courbe plane qui en est la projection stéréographique. Nous avons vu, formule (4-5), qu'on pouvait choisir pour la courbe plane une infinité de pôles, tels que les pôles de la 2^ série soient imaginaires conjugués de ceux de la première. La transformation par rayons vecteurs réciproques conserve cette relation. On pourra donc trouver
sur la sphère deux séries de pôles imaginaires de la courbe, tels que les pôles de l'une des séries soient conjugués de ceux de l'autre. Appelons R,- , r, les distances d'un point M de la courbe à deux pôles imaginaires conjugués A, , B,-, et S, Taire du triangle sphérique formé par le point M et les deux points fixes réels A',- , B',- , diamétralement opposés aux points associés à A, , Bi . On aura
et comme l'équation de la courbe peut s'écrire
on voit que l'on aura
Si + S.2 + , . . + S„ = const.
Ainsi, quand une courbe sphérique est telle qu'il y ait un rapport constant entre les produits des distances d'un de ses points à une première série de n pôles et le produit des distances du même point à une deuxième série de n pôles, situés comme les premiers sur la sphère, elle possède, et d'une infinité de manières, la propriété que la somme des aires des n triangles sphériques, formés avec un de ses points comme sommet et n segments fixes comme bases, soit constante.
Les extrémités de ces n segments décrivent d'ailleurs la courbe sphérique diamétralement opposée à la proposée.
L'énoncé précédent peut même être complété, et l'on peut dire que toute courbe qui jouit de l'une ou de l'autre des propriétés indiquées dans le théorème fait partie de la classe de courbes que nous étudions, et conserve par conséquent ces mêmes propriétés avec une infinité d'autres systèmes soit de pôles, soit de segments fixes.
Quelques cas particuliers dans lesquels les deux séries de pôles ont une disposition particulière méritent d'être signalés.
Des courbes spîiériques pour lesquelles les pôles de chaque série sont deux à deux diamétralement opposés. Propriétés correspondantes des cônes algébriques, ayant ces courbes pour base.
Si les pôles de chacune des deux séries qui servent à définir la courbe sont deux à deux diamétralement opposés, la courbe définie par ces deux séries de n pôles sera évidemment symétrique par rapport au centre de la sphère. Nous allons voir que, parmi les nouveaux systèmes de pôles qu'on peut substituer aux premiers, il y en a une infinité qui sont, comme les premiers, deux à deux diamétralement opposés dans chaque série.
En effet, quand on fait la projection stéréographique de la sphère, deux points diamétralement opposés se projettent suivant deux points divisant harmoniquement les diamètres d'un cercle fixe du plan. Le carré k du rayon de ce cercle est négatif; le cercle n'a de réel que son centre. Prenons ce centre pour origine des coordonnées; l'équation de la courbe plane, projection de la courbe sphérique, sera
Les pôles de la première série seront définis par les équations
où A désigne une quantité réelle, A^, A',„ des quantités imaginaires conjuguées. De même, les pôles de la 2^ série seront donnés par le système semblable
( j-(w) — Bw™+ ••• +B^ =0 , (72)
(•i/,(i') = Bî;™+ ••• + B'™ = 0,
Cela posé, d'après les hypothèses faites, les pôles de chaque
