A R' BA

Ces deux équations se réduisent évidemment à une seule, la première. Il suffira donc que les indéterminées }, , /' satisfassent à cette équation, pour que les nouveaux pôles aient la même disposition que les anciens.

Si Ton pose

'm jl\. IV V , i\ ffi XI. /I/O ,

1 = ^6-"^', y = ^e+'^^, on aura, en vertu de Téquation (76) ,

fjt demeurera quelconque. Ainsi, on trouve un nombre infini de systèmes de pôles, satisfaisant aux conditions posées. Ces pôles, satisfaisant aux équations

$ (il) ^f(u) + l-ù[u) = 0,

sont, en vertu de l'équation (76), sur la courbe

(77) 'fl^ — ^ 'hM ,

?{n) BA», ^{n)

courbe qui n'est pas indécomposable, et qui comprend le

cercle uv = k. La courbe précédente fait partie de celles qui coupent la première à angle droit. Mais nous nous contentons d'indiquer ces résultats.

Il est donc démontré que, si une courbe sphérique est définie par deux séries de pôles, telles que les pôles de chaque série soient deux à deux diamétralement opposés, la même propriété subsiste avec une infinité d'autres pôles, assujettis à décrire une courbe, d'un ordre inférieur de deux unités, et orthogonale à la proposée. Cette disposition particulière donne lieu à un théorème nouveau.

En eff'et, le produit des distances d'un point M de la sphère à deux points diamétralement opposés a , a' est évidemment proportionnel au carré de la distance du point M à la droite a a'. La courbe sphérique est donc telle qu'il y a un rapport constant entre les produits des distances de l'un de ses points à deux séries de diamètres de la sphère; et comme cette définition convient aussi au cône ayant le centre de la sphère pour sommet et la courbe pour base, nous avons, sans qu'il soit nécessaire d'insister davantage, le théorème suivant l

Quand un cône est tel qu'il y ait un rapport constant entre les produits des distances de l'un de ses points à deux séries distinctes de droites passant à son sommet j il conserve la même définition avec une infinité d'autres séries de droites passant également par son sommet, décrivant un cône algébrique orthogonal au premier et d'un degré inférieur d'une unité.

Le cas le plus simple de cette proposition a été étudié par M. Chastes. Le cône du second degré, tel qu'il y ait un rapport constant entre les distances d'un de ses points à deux droites fixes, conserve la même définition avec une infinité d'autres systèmes des deux droites, situées dans le plan des premières.

La propriété relative à la somme des aires des triangles sphériques prend ici une forme particulière. En effet, quand les pôles de chaque série deviennent imaginaires, les points associés sont diamétralement opposés. En associant les triangles sphériques dont les sommets sont diamétralement opposés,

DE COURBES ET DE SlIRFAGtS ALGÉBRIQUES. 95

on voit que, dans ce cas, la somme algébrique de leurs aires est égale à la somme des angles à la base, et l'on peut énoncer cette proposition :

Quand une courbe sphérique est telle qu'il y ait un rapport constant entre les produits des distances de ses points à deux séries de n diamètres, on peut former d'une infinité de manières n segments ayant leurs extrémités sur la courbe, et tels que la somme des angles à la base des triangles sphériques formés avec ces segments comme hases, et ayant tous pour sommet un même point variable de la courbe, soit constante.

On pourrait évidemment ajouter un grand nombre de propositions aux précédentes. Mais peut-être le lecteur trouvera-t-il que nous avons déjà été trop long.

Des courbes lieux des points desquels on voit plusieurs segments de grand cercle sous des angles dont la somme est nulle.

Ces courbes forment une nouvelle classe particulière des courbes sphériques que nous étudions. En effet, l'angle de deux arcs de grand cercle MA , MB , joignant le point M aux deux points A et B , est évidemment égal à la somme des aires des triangles sphériques MAB ,MA'B'; A', B' étant les points diamétralement opposés à A , B . Les courbes que nous allons étudier sont, par conséquent, telles que la somme des aires des triangles sphériques formés avec un point de la courbe et 2to segments fixes, deux à deux diamétralement opposés, soit constante. Elles sont donc comprises dans la définition générale donnée au n° 33, et elles correspondent à une disposition particulière des pôles, qu'on peut caractériser en disant que ceux-ci sont en nombre pair dans chaque série, et que les pôles de l'une des séries sont diamétralement opposés à ceux de l'autre.

Ces courbes nouvelles ont donc toutes les propriétés appar-