SUR UNE CLASSE ISEMARQUABLE

tenant aux courbes générales, et signalées au n^ 33; on peut les engendrer au moyen de deux séries de 2w pôles, un des pôles étant placé en un point quelconque de la sphère, etc. Mais la question qu'il importe d'examiner est • la suivante : Peut-on conserver leur définition particulière et trouver, de plus d'une manière, n segments tels que la somme des angles S0U5 lesquels on voit ces n segments conserve une valeur constante pour chaque point de la courbe?

Il est clair que cette question revient à la suivante : Peut-on trouver de nouveaux systèmes de pôles tels que les pôles de chaque série soient diamétralement opposés à ceux de l'autre?

A cet effet, reprenons les équations du numéro précédent, qui s'appliquent à la courbe plane, projection stéréographique,

et la nouvelle équation

En raisonnant comme à l'article précédent, on verra que les fonctions 9 , ^ satisfont ici aux équations identiques

On déduit de là, en s'appuyant sur les équations déjà données pour 0 , ^ ,

/k\ AmT, / N ^BB,„ , ,1

Pour que le second membre se réduise à T^ (v) à un facteur constant près, il faut et il suffît que l'on ait

Cette relation n'est pas satisfaite en général. Par suite, dans la définition posée au commencement de cet article, on ne

pourra pas, en général, substituer aux segments fixes des segments donnant lieu aux mêmes propriétés. Mais il n'en sera

. ... A Am

plus amsi SI -—— = 1.

Interprétons d'abord cette condition. Elle signifie, en tenant compte des identités (79), que l'équation de la courbe est vérifiée par la valeur

c'est-à-dire que la courbe contient le cercle

iiv ^= k .

Ce cercle étant la projection stéréographique du cercle de l'infini sur la sphère, il résulte de là que, lorsque la condition (79) sera satisfaite, la courbe sphérique se décomposera et contiendra le cercle de l'infini; par suite, la somme des angles des triangles sphériques sera nulle. Donc,

Si Von considère sur la sphère la courbe telle que la somme des angles^ formés autour d'un quelconque de ses points M , des triangles sphériques ayant tous ce point pour sommet^ et pour bases respectivement n segments fixes, soit constante, on ne pourra substituer à ces segments fixes d'autres segments donnant lieu aux mêmes propriétés que dans le cas où la somme constante des angles sera nulle ou égale à un multiple de t..

Par exemple, le lieu des foyers des coniques sphériques inscrites dans un quadrilatère formé de quatre grands cercles est tel que la diff'érence des angles sous lesquels on voit deux côtés opposés du quadrilatère sphérique est nulle. Cette courbe conservera les mêmes propriétés avec d'autres quadrilatères, c'est-à-dire sera le lieu des foyers des coniques sphériques inscrites dans toute une série de quadrilatères.

Des systèmes orthogonaux formés à la surface de la sphère avec les courbes précédentes.

Il est clair que les propriétés démontrées au n° 25 pour les systèmes orthogonaux de courbes planes s'étendent aux courbes sphériques, et nous pouvons énoncer les théorèmes suivants :

Quand des courbes sphériques sont telles que les produits de leurs distances à deux séries de pôles fixes

Al , Aj , ... , An 5

Bi , Bj 5 ... , B„

conservent un rapport constant pour chaque courbe, elles sont coupées à angle droit par les courbes lieux des points M , pour lesquels les triangles sphériques MA'iB',- ont des aires dont la somme demeure constante pour chaque courbe, les points k'i , B'f étant diamétralement opposés aux points A,- , B,- .

Quand des courbes sphériques sont telles que les produits de leurs distances à deux séries de diamètres fixes

Al 5 Aj , ... , A„ ,

El , Ej , ... , E„

conservent un rapport constant pour chaque courbe, elles sont coupées à angle droit par les courbes sphériques lieux des points M pour lesquels les angles formés par les arcs de grand cercle MA.-,MEi conservent une somme qui demeure constante pour chaque courbe.

Enfin on peut citer le théorème suivant, énoncé par M. Michael Roberts (^) :

(') Journal de Liouvîlle, t.X, l^e série, p. 25 t. « Note sur deux systèmes généraux de trajectoires orthogonales. » Le système considéré par M. Roberts revient évidemment à celui que nous donnons dans le texte.

Quand des courbes sphériques sont telles qu'il y ait un rapport constant pour chacune d'elles entre le produit des distances d'un de leurs points à n pôles Aj , A2 , ... , A„ et le produit des distances aux n pôles diamétralement opposés A'i,A'2,... , A„, elles sont coupées à angle droit par les courbes telles que la somme des angles MA1A3 , MA^Aj , ... soit constante.

On peut signaler, par exemple, le cas particulier suivant du 2" système général :

Tous les cônes tels qu'il y ait un rapport constant entre les distances de leurs points à deux diamètres fixes A , E coupent la sphère suivant une suite de coniques sphériques circonscrites à un quadrilatère rectiligne imaginaire de la sphère. Ces coniques sont coupées à angle droit par les courbes lieux des points M, pour lesquels les grands cercles M A et M E font un angle constant.

La courbe que nous rencontrons ici, et qui est le lieu des sommets des angles constants dont les côtés passent par deux points lixes de la sphère, appartient, comme on voit, à la classe des cycliques. C'est une courbe du 4® ordre, bicylindrique , transformée par rayons vecteurs réciproques d'une ellipse de Gassini.

Démonstrations nouvelles des tliéorames de Poncelet, relatifs aux polygones inscrits et circonscrits aux coniques, déduites des principes précédents.

Les propositions qui précèdent nous conduisent d'une manière directe à une démonstration des théorèmes de Poncelet, qui paraît se distinguer de toutes les démonstrations connues, et que, pour ce motif, nous allons développer ici.

Soient un cône du second degré (H), et un angle polyèdre inscrit de même sommet, formé d'une suite de plans P, , P2 , . . . , P„ .

On reconnaît sans difficulté que tous les points du cône satisferont à une équation de la forme

Il suffit de remarquer que cette équation est connue pour l'angle trièdre, qu'on la démontrera pour un angle tétraèdre en le décomposant en deux trièdres, en écrivant les équations relatives à ces deux trièdres, et éliminant par addition la face commune, etc.

Cela posé, supposons que les plans Pj ,P2, ... ,P„, qui se coupent au sommet A du cône (H) , soient tous tangents à une sphère (S) ; il est clair que l'angle polyèdre inscrit dans le cône sera en même temps circonscrit au cône (Hj) de sommet A , circonscrit lui-même à la sphère (S) . Pour établir le théorème de Poncelet, il suffira de prouver que, s'il existe un tel angle polyèdre, inscrit à (H), circonscrit à (Hj), il y en a une infinité d'autres satisfaisant aux mêmes conditions.

A cet effet, cherchons l'équation de la courbe de section du cône (H) et de la sphère (S) . D'après les principes développés dans la Deuxième Partie, il faudra remplacer dans l'équation (80) les quantités P,- , qui représentent les distances à un plan tangent, par R/, R,- désignant la distance d'un point de la courbe au point de contact du plan tangent P,. L'équation

conviendra donc à tous les points de la courbe; elle ne sera pas l'équation de la courbe, et, de même que l'équation (80) représente, en même temps que le cône (H), un cône de degré 71 — 2, l'équation (81) représentera, en même temps que l'intersection de la sphère et de (H), une courbe de degré ^{n — 2). Quoi qu'il en soit, l'équation (81) convient à tous les points de la courbe, et les pôles Aj , A^ , ... , A„ sont tous sur le petit cercle, intersection de la sphère et du plan polaire du sommet A du cône.

Réciproquement, si nous pouvons trouver une équation semblable à Féquation (81), les nouveaux pôles étant sur le même petit cercle, en remplaçant les nouvelles quantités R,'' par P; , nous aurons une équation analogue à (80) , qui devra représenter un cône identique au premier, puisqu'il a même sommet et même base sphérique. On pourra donc trouver une infinité d'équations de la forme (80) , satisfaites pour tous les points du cône (H), c'est-à-dire une infinité d'angles polyèdres inscrits à (H) et circonscrits à (Hj). Nous sommes donc ramenés à la démonstration de la proposition suivante :

Quand une courbe sphérique est définie par l'équation (81), où les quantités R,- désignent des distances rectilignes à des pôles fixes situés sur un petit cercle, son équation conserve la môme forme avec d'autres systèmes de pôles fixes situés sur le même petit cercle.

Comme l'équation (81) ne change pas de forme après une transformation par rayons vecteurs réciproques, on peut faire la projection stéréographique, en prenant le point de vue en un point quelconque du petit cercle qui contient les pôles, et nous n'aurons plus qu'à démontrer le théorème suivant :

Si une courbe plane est définie par l'équation (81), où les quantités R» désignent des distances à des pôles fixes situés en ligne droite, elle conserve la même définition avec une infinité d'autres systèmes de pôles fixes situés sur la même ligne droite que les premiers.

Or, cette dernière proposition peut se démontrer comme il suit :

Prenons la ligne des pôles pour axe des x\ on aura

R,^ z= {Xi — «,) {v — «,) ,

OÙ ai désigne une quantité réelle, abscisse du pôle de rangi, et, par suite, l'équation (81) prendra la forme

102 SUU UNE CLASSE liEMAKOUABLE

OU, en multipliant par u — v,

^ a "^ cii

Dans cette équation, /"(«) est de degré inférieur à <?(«*), et le polynôme f {u) a ses racines réelles. Mais toutes ces propriétés pourront être conservées, si l'on écrit cette équation sous la forme

^{u)+lf{u) ^{v) + \f{v)

En décomposant les deux membres en fractions simples, on reviendra à une équation de même forme que Téquation (81), mais avec de nouveaux pôles ; c. q. f. d.

Il ne sera pas inutile de développer une autre démonstration des théorèmes de Poncelet, bien que cette démonstration ne s'applique qu'aux polygones de degré pair, parce qu'elle nous mettra sur la voie de propositions un peu plus générales que les théorèmes connus.

Si un angle polyèdre d'un nombre pair de faces est inscrit dans un cône (H) et circonscrit au cône (H,) , tous les points du cône (H) satisferont à une équation de la forme

où les plans P^ , Q, sont tangents à la sphère, et par suite la cyclique, section de la sphère par le cône (Hj) , satisfera à l'équation

D'une manière plus précise, cette équation représentera à la fois la cyclique située sur (H,) et une courbe d'ordre In — 4. On a vu d'ailleurs que, lorsqu'une courbe satisfait à une telle équation, elle conserve la même définition avec une infinité d'autres systèmes de pôles. Prenons un autre de ces

systèmes, formé de pôles réels. La nouvelle équation de notre courbe composée sera

(85) R'.R% ,..Wn = K,.r\r\...r'n,

et, si l'on remplace les quantités R'i , r',- par P'j , Q',- , qui désignent les distances d'un point quelconque aux plans tangents de la sphère en R'»- , r'^ , l'équation

(86) P',P',...Pn=/i.Q\Q%...Q'n

représentera une surface d'ordre n , qui coupera la sphère suivant la courbe complète représentée par les équations (84) ou (85). Je dis que cette surface d'ordre n se décompose dans tous les cas en une surface du second ordre contenant la cyclique située sur (Hj) et en une autre surface d'ordre w— 2(1).

En effet, le plan P'» coupe la surface suivant n droites, situées dans les plans Q',, et qui contiennent chacune deux points de la courbe sphérique; comme d'ailleurs ce plan P\est tangent à la sphère, il coupe la courbe complète (84) en 2?i points imaginaires, dont quatre appartiennent à la cyclique. Appelons ces points

les points «1 , a^ , a'^ ,a\ appartenant à la cyclique, les 2 (w — 2) autres au reste de la courbe. Les droites réelles joignant les points du premier groupe à ceux du second sont évidemment a, a'i , a^a'^ , etc., car les quatre points de la cyclique sont imaginaires conjugués deux à deux. D'ailleurs ces n droites réelles sont évidemment les n droites de la surface (86), situées

(*) Cette surface d'ordre n — 2 se décompose en réalité en surfaces du second degré, si n est pair; en surfaces du second degré et en un plan, si n est impair. Mais cette proposition, qui est une conséquence très simple du théorème principal , ne joue aucun rôle dans la démonstration que nous donnons ici.

dans le plan P',-. Nous allons déduire de cette remarque la démonstration de la proposition que nous avons en vue.

Puisque chacun des plans P\ , Q',- contient deux droites s'appuyant sur la cyclique, toutes ces droites, en nombre 2w, appartiennent évidemment à Tune des surfaces du second degré contenant la cyclique. Cette surface du second degré, coupant la surface (86) à la fois suivant 2w droites et suivant la cyclique, devra faire partie tout entière de cette surface d'ordre n. La proposition est donc démontrée.

D'ailleurs, étant donnée une quelconque des surfaces du second degré passant par la cyclique, cette surface est obtenue avec une infinité de systèmes de pôles; car il suffit de mener par une des génératrices de la surface deux plans tangents à la sphère. Les points de contact de ces plans tangents sont deux pôles appartenant à un même système et à deux séries difl'érentes. On pourra donc énoncer le théorème suivant :

Étant donné un cône, si on peut lui inscrire un angle polyèdre de n faces circonscrit à la sphère, on pourra de même mener à la sphère une infinité de systèmes de n plans tangents, se coupant, dans un ordre déterminé, suivant les génératrices d'une surface du second degré passant par l'intersection de la sphère et du cône. La surface du second degré est une quelconque de celles qui contiennent la cyclique, et pour chacune d'elles, il y a une infinité de systèmes de n plans.

Transformons par la méthode des polaires réciproques.

Si l'on peut circonscrire à une conique (C) un polygone inscrit dans une quadrique (A)^ 7ion seulement on pourra construire une infinité de polygones ayant les mêmes propriétés, mais de plus, dans la courbe d'intersection de la surface (A) et de toute autre quadrique (A') inscrite dans la développable JACi , on pourra inscrire une infinité de polygones formés des génératrices rectilignes de (A) .

Le théorème paraîtra plus simple, si nous en faisons encore une transformation par l'homographie.

Si dans une ligne de courbure d'un ellipsoïde on peut inscrire

DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES. i05

un fohjrjone de n côtés, formé avec les génératrices rectilignes de rhyperboloïde Jiomofocal contenant cette ligne de courbure^ on pourra inscrire une infinité de polygones semblables, formés avec hs génératrices des hyperboloïdes liomofocaux, non seulement dans la même ligne de courbure, mais encore dans toutes les autres lignes de courbure (^).

Pour les sections principales, ces polygones seront circonscrits à la focale et inscrits dans la section principale. Il en passera un par chaque point de toute ligne de courbure.

Les théorèmes que nous venons d'énoncer comprennent deux parties distinctes.

1° Si Ton peut inscrire dans la courbe d'intersection de deux surfaces (A) , (A') un polygone formé des génératrices rectilignes de (A') , on pourra en inscrire une infinité d'autres formés de la même manière. Cette première proposition, comme M. Moutard en a fait le premier la remarque en 1864- (Nouvelles Annales de Mathématiques), est au fond le théorème de Poncelet; elle s'en déduit par une simple perspective.

2° La même propriété subsiste, quand on substitue à (A') toute surface (A") inscrite dans la développable |AA'|. Cette proposition paraît nouvelle. Sa vérification analytique est extrêmement simple, et elle complète notre démonstration géométrique, qui ne s'appliquerait qu'aux polygones de degré pair.

Transformation des propositions précédentes par la méthode des figures supplémentaires.

Les théorèmes donnés dans cette partie pour les courbes sphériques se transforment immédiatement par la méthode

(') Ces polygones constituent des routes de lumière; leurs côtés adjacents Niennent couper l'ellipsoïde sous des angles égaux.

des figures supplémentaires, et nous pouvons énoncer les propositions suivantes.

Si une courbe sphérique est telle que la somme des périmètres des n triangles sphériques interceptés par son arc tangent dans n angles fixes soit constante, elle conserve la même définition avee une infinité d'autres systèmes de n angles.

Si une courbe sphérique est telle que la somme des longueurs interceptées par son arc tangent sur n arcs de cercles fixes, à partir d'une origine fixe sur chaque arc, soit constante, elle conserve la même propriété avec une infinité d'autres systèmes d'arcs.

Si une courbe sphérique est telle que n angles interceptent sur son arc tangent des segments dont la somme algébrique soit nulle, elle conserve la même propriété, quand on substitue aux premiers une infinité de nouveaux angles fixes convenablement choisis.

Ces propositions, sur lesquelles nous n'insisterons pas, s'étendent évidemment! aux courbes planes. Elles peuvent être considérées comme la généralisation de ce théorème ; un cercle peut être considéré d'une infinité de manières comme l'enveloppe d'un arc de grand cercle interceptant dans un angle fixe un triangle sphérique' de périmètre constant.