QUATRIÈME PARTIE

Étude analytique des surfaces cyclides.

Introduction.

Dans cette partie nous étudions les surfaces du 4^ ordre qui ont le cercle de l'infini pour ligne double et les surfaces du 3® ordre qui contiennent ce cercle. Ces dernières surfaces se déduisent des précédentes au moyen d'une transformation par rayons vecteurs réciproques, et d'ailleurs, en leur adjoignant le plan de l'infmi, on forme une surface du 4^ ordre ayant le cercle de l'infini pour ligne double. Nous désignerons toutes ces surfaces sous la dénomination de cyclides^ parce qu'elles contiennent dix séries de sections circulaires, et aussi parce qu'elles comprennent comme cas particulier la surface à lignes de courbure circulaires nommée cyclide par M. Dupin. Nous réserverons par suite à cette dernière surface le nom de cyclide de Dupin ou cyclide à lignes de courbure circulaires.

Ces surfaces ont été d'abord étudiées en 1864 par M. Moutard qui les a rencontrées en cherchant les surfaces anallagmatiques, c'est-à-dire qui demeurent invariables quand on les soumet à une transformation par rayons vecteurs réciproques convenablement choisie. Les cyclides sont donc les anallagmatiques les plus générales du 3* et du 4^ ordre. M. Moutard a même montré qu'elles possédaient cette propriété par rapport à cinq pôles différents; il a en outre étudié les cinq séries de sphères doublement tangentes, les sections circulaires formant

dix séries distinctes, et reconnu l'existence de cinq focales, lieux des sphères^ de rayon nul doublement tangentes à la surface (^).

Les surfaces cyclides comprennent, comme cas particuliers' plusieurs surfaces remarquables ; le tore, la cyclide de Dupin, les podaires de quadrique, les transformées par rayons vecteurs réciproques de quadriques, les surfaces de révolution engendrées par la rotation de Fellipse de Gassini, des ovales de Descartes, etc., autour de leur axe de symétrie. On les rencontre dans un grand nombre de problèmes. L'intérêt qu'elles présentent a été accru par la découverte, publiée à peu près simultanément par M. Moutard et par l'auteur, des lignes de courbure de ces surfaces. Les cyclides peuvent, en effet, faire partie d'un système triple orthogonal, tout à fait analogue à celui des quadriques homofocales.

Dans un travail présenté en 1866 comme thèse à la Faculté des Sciences de Paris et inséré dans les Annales scientifiques de r Ecole Normale (même année), j'ai étudié ces cyclides orthogonales et le système des coordonnées curvilignes auxquelles elles donnent lieu. D'un autre côté, M. Laguerre, dans une série de notes présentées à la Société Philomathique, a ajouté plusieurs propriétés à celles qu'avait données M. Moutard, et fait connaître, le plus souvent sans démonstration, des propositions élégantes, se rapportant soit aux sections circulaires, soit aux^dispositions relatives des focales et des sphères principales[des cyclides.

Il est juste^de rappeler ici, bien que cet historique soit loin d'être complet, que les cyclides du 3® et du 4® ordre ne sont que des] transformées par l'homographie de la surface du 4® ordre à conique^double, que M. Kummer a étudiée le premier en 1863 (^), et dont il a reconnu les principales propriétés.

(*J Voir Nouvelles Annales de 3fa(hématiqueSy 1864. — Bulletin de la Société Philomathique et Comptes rendus de l'Académie, même année.

(^) Kummer : Ueber die Flaclien vierten Gracies, auf welchen Schaaren von KogelschniUen liegen. [Journal de Borchardt, t. LXiV, p, 66, année 1863.)

DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES. i09

Depuis, différents géomètres, et en particulier M. Clebsch, ont consacré des Mémoires importants et développés à l'étude de cette surface du ¥ ordre. Je citerai en particulier le Mémoire de M. Clebsch publié en 1868 (^). Dans ce travail se trouvent déterminées d'une manière complète les droites et les courbes les plus simples qu'on peut placer sur la surface.

Il est vrai qu'on peut, par une transformation homographique, déduire les propriétés des cyclides de celles de la surface du 4^ ordre à conique double. Cependant l'étude directe des cyclides me paraît conserver de l'intérêt. Le choix particulier de la ligne double imprime un caractère remarquable de simplicité à l'étude de ces surfaces, et permet de découvrir des théorèmes dont l'énoncé serait trop compliqué ou peu intéressant quand la conique double est quelconque. Dans tous les cas, on pourra aussi étendre par l'homographie aux surfaces du A^ ordre à conique double et à la surface générale du 3* ordre les propositions trouvées dans la théorie des cychdes.

Nous commencerons par étudier les propriétés les plus élémentaires, et, en particulier, les sections circulaires, les focales, les cinq modes de génération des cyclides du 4® ordre.

Propriétés générales des cyclides.

Soit la surface du 4® ordre représentée par l'équation

(1) {x"" + if-h z'f + 2 u, {x^ + if' + z') -hu, = 0 ,

où Wj désigne un polynôme homogène du premier degré, et Wj un polynôme quelconque du second degré. Cette équation

(*) Clchch: Ueber die Fliichen vierLer Ordnung, welche eine Doppclcurve zweiien Grades besilzen [Journal de Burchardt, L. LXIX, p. 355, année I8G8).