HO SUR UNK CLASSE REMARQUABLE

contient 13 constantes. Du reste, elle représente la cyclide la plus générale du 4^ ordre. On peut la mettre aussi sous la forme

(2) {x^-hif + z' + u,f-=^\],,

où U^ désigne encore un polynôme quelconque du second degré.

Puisque les cycUdes ont le cercle de rinfini pour ligne double, toute sphère les coupera suivant une courbe du 4® ordre, située sur une surface du second degré, c'est-à-dire suivant une cyclique. C'est d'ailleurs ce qui résulte de l'équation même de la surface. Car, si nous cherchons l'intersection de la cyclide avec la sphère dont l'équation est

réquation (1) de la cyclide pourra être remplacée par la suivante,

v^^-h'ÈUiV^ + u.^ — Q ,

qui représente une quadrique dont l'intersection avec la sphère sera la courbe cherchée.

L'équation de la surface met encore en évidence une série remarquable de quadriques inscrites dans la cyclide. Écrivons, en effet, l'équation (2) sous la forme

{x^ + îf + z'- + u, + iy = \], + '^l{u,-hx'--hy^-hz'')+r.

Les surfaces (V) représentées par l'équation

(3) • \], + Tx{u,-hx' + if-hz')+r- = Y = 0,

où X est une arbitraire quelconque, seront toutes tangentes à la cyclide en tous les points d'une courbe située sur la sphère

X^ + ^' + Z' + Ml + ). = 0 .

Le centre de cette sphère demeure fixe, quand 1 prend toutes les valeurs possibles.

Les quadriques (V), inscrites dans la cyclide, possèdent

DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES. Hl

plusieurs propriétés remarquables. D'abord , quand on connaîtra Tune d'elles (V), Téquation de la surface prendra la forme

oii S = 0 représente une sphère de centre fixe.

En second lieu, elles sont homocycliques, c'est-à-dire, elles coupent toutes le cercle de l'infini aux mêmes points. Ces quatre points, communs à toutes les quadriques, sont ceux où les deux nappes de la cyclide, se croisant au cercle de l'infini, sont tangentes l'une à l'autre.

L'une des quadriques (V), correspondante à la valeur A = oo , se réduit à un plan double, le plan de l'infmi.

Toute quadrique inscrite à une des surfaces (V) coupe la cyclide suivant une courbe du 8" ordre, qui se décompose en deux cycliques. En effet, l'équation de la cyclide est

Toute quadrique inscrite à V a pour équation

On peut, en combinant cette équation avec celle de la cyclide, la remplacer par

équation qui représente deux sphères.

Réciproquement, toute quadrique coupant la cyclide suivant une courbe sphérique du 4'' ordre sera tangente à l'une des quadriques (V). Car soit

l'équation déjà donnée de la cyclide. Si on la coupe par la sphère dont l'équation est

x'^ -h if- + z^ = V ^ ,

on trouve la quadrique

112 SLMl UNE GLASSK REMARQUABLE

qui est inscrite à (U^) . Or (Uj) est une quelconque des quadriques que nous avons appelées (V).

Il résulte des remarques précédentes quelques conséquences intéressantes.

En général, si Ton cherche l'intersection d'une droite rj avec la cyclide, on a une équation du 4® degré, ne présentant aucune propriété particulière, et dont la résolution complète exige la résolution préalable d'une équation cubique. Si la droite §, au contraire, est tangente à une des quadriques V, l'équation du 4^ degré qui détermine ses intersections avec la cyclide se résout par de simples extractions de racines carrées; car par la droite d on peut faire passer une quadrique inscrite dans (V). Cette quadrique coupera la cyclide suivant deux courbes sphériques, et il n'y aura plus qu'à chercher l'intersection de d avec les sphères contenant ces deux courbes.

Il suit de là que, étant donnée une droite è , l'équation du 4* degré qui détermine ses points d'intersection avec la cyclide se résoudra complètement au moyen de l'équation cubique qui détermine les trois quadriques (V) tangentes à la droite ô . Chaque racine de cette équation cubique donnera une décomposition de deux facteurs quadratiques de l'équation du 4* degré.

Le théorème de géométrie suivant explique et met en lumière le fait analytique que nous venons de constater.

Si par deux points fixes a , a' d'une cyclide on fait passer une série de cercles coupant la cyclide en deux nouveaux points variables m , m' , les droites mm' enveloppent une quadrique (V) inscrite dans la cyclide et tangente à la droite a a' . Cette quadrique demeure la même si aux deux points a , a' on substitue les points a" , a" , où la droite a a' coupe de nouveau la cyclide.

Ce théorème (dont la démonstration est une conséquence de l'art. 15) montre bien qu'à chaque décomposition des quatre' points ft , a', a" , a" en deux groupes de deux correspond une des quadriques (V) tangentes à la droite a a' a" a'" . D'ailleurs , si l'on connaît une de ces quadriques (V), il suffira de lui mener

une tangente rencontrant la droite a a' a" a". Cette tangente coupera la cyclide en quatre points b , b'; b" , b\ déterminés par couples. Les points a , a' seront sur un cercle passant par 6 , 6', et les points a" , a'" sur un cercle passant par b" , b". Ces propriétés entraînent la décomposition en deux facteurs de l'équation du 4-^ degré qui détermine les points a ,a' , a" , a'".

On peut généraliser le théorème précédent de la manière suivante :

Si par deux points a , a' de la cyclide on fait passer une sphère quelconque, la coupant suivant une cyclique, les sécantes doubles de celte cyclique qui rencontrent la droite a a' enveloppent une des quadriques (V) tangente à aa' .

Des sphères doublement tangentes aux cyclides.

On sait que, lorsque deux surfaces sont tangentes en un point, leur courbe d'intersection a pour point multiple, généralement pour point double, le point de contact. Il suit de là que toute sphère doublement tangente à la cyclide, la coupera suivant une cyclique à deux points doubles, c'est-à-dire suivant deux cercles. Réciproquement, toute sphère passant par un cercle de la surface, la coupera suivant un autre cercle, et par suite sera doublement tangente à la cyclide. La recherche des sections circulaires est donc comprise comme cas particulier dans celle des sphères doublement tangentes à la surface.

Nous prendrons pour point de départ l'équation (2), déjà donnée,

{x' + y' + z' + u,Y=zJ],,

et nous observerons qu'en changeant la direction des axes coordonnés de manière que les nouveaux axes soient parallèles aux axes de symétrie de la quadrique (U^), on peut faire disparaître les rectangles dans le polynôme U, . Puis, en déplaçant

les axes parallèlement à eux-mêmes, on pourra supprimer le polynôme Wj , et ramener l'équation de la cyclide à la forme simple

Coupons la surface par la sphère (T) dont l'équation est

a , § , y, seront les coordonnées du centre de la sphère et la courbe d'intersection pourra être représentée par les équations

( ?'+ kx' + k'y' -h k" z' + '^Cx + ^C'y + '^C'' z+l) = 0 , (5)

Si l'on demande que la sphère (T) coupe la cyclide suivant deux cercles, il faudra exprimer que, par l'intersection des deux quadriques (5), on peut faire passer un système de deux plans. A cet effet, multiplions la seconde équation par 1 , retranchons-en la première, et exprimons que l'équation ainsi obtenue représente deux plans.

Par un calcul qui ne présente aucune difficulté particulière, nous obtenons les trois équations de condition suivantes,

Ca C'P C;

La première de ces équations, dont nous avons désigné, pour abréger, le premier membre par L, ne contient que l'inconnue X, et elle détermine cinq valeurs pour cette inconnue. Il suit de là que les sphères doublement tangentes à la surface se partagent en cinq séries distinctes.

Quand l est connu, la deuxième équation devient une relation entre a , p , 7 . C'est donc, si l'on y regarde a , ^ , 7 comme variables, l'équation du lieu des centres des sphères doublement tangentes. Nous voyons que les sphères de chaque série ont leurs centres sur une quadrique, et la forme de l'équation (7) nous montre que les cinq quadriques correspondantes aux cinq valeurs de 1 sont homofocales.

Enfin l'équation (8) fait connaître è^ , c'est-à-dire le rayon de chacune des sphères doublement tangentes, quand le centre est déjà connu.

L'équation

STa QP'/? 2P''n/

représente donc toute sphère doublement tangente à la cyclide, pourvu que 1 soit une racine de l'équation (6), et que a , p , y satisfassent à l'équation (7). Comme l'équation (9) contient a , p , y au premier degré, on voit que toutes les sphères doublement tangentes d'une même série auront même centre radical. Les coordonnées de ce centre sont

et sa puissance commune par rapport à toutes les sphères a pour expression

L' désignant la dérivée de L par rapport à 1 .

La sphère décrite du centre radical comme centre avec y — L' pour rayon coupe donc à angles droits toutes les sphères doublement tangentes à la cyclide faisant partie de la série considérée. L'équation de cette sphère est

, , , 2Ca? 2C'?/ 2C"^

Remarquons, de plus, que le rayon V — L' ne sera nul que

il6 SUR UNE CLASSE REMARQUABLE

si X est une racine multiple de l'équation (6). Dans ce cas particulier, toutes les sphères doublement tangentes à la cyclide faisant partie de la série considérée passeront par un point fixe, le centre radical déterminé par les équations (10).

L'équation (6) a, en général, cinq racines distinctes. Trois d'entre elles au moins sont réelles, et, si l'on suppose A , A' , A" rangés par ordre de grandeur croissante, on reconnaîtra, par les substitutions, que, dans les trois intervalles formés par A , A', A", H- «20 , il y a au moins une et quelquefois trois racines de l'équation. Il ne peut donc se présenter que deux cas généraux distincts. L'équation en 1 aura toutes ses racines réelles, ou bien elle aura deux racines imaginaires.

Il résulte de ce qui précède la proposition suivante :

Une cyclide du 4" ordre peut; en général, être considérée de cinq manières différentes comme l'enveloppe d'une série de sphères qui coupent à angles droits une sphère fixe, et dont les centres décrivent une quadrique fixe.

Chacun de ces cinq modes de génération est défini par une sphère (S), que nous appellerons, avec M. de la Gournerie, sphère directrice, et par une quadrique (A), que nous appellerons surface déférente.

La cyclide est donc l'enveloppe des sphères ayant leur centre sur (A) et coupant (S) à angle droit. Ces sphères sont doublement tangentes à la cyclide, et la coupent suivant deux cercles réels ou imaginaires, se croisant aux deux points de contact de la sphère.

Réciproquement, l'enveloppe des sphères ayant leur centre sur une quadrique et coupant à angles droits une sphère fixe, est une cyclide. Cela résulte d'un calcul direct que nous omettons, et aussi de ceux qui précèdent. Car nous ne trouvons aucune relation particulière entre la quadrique (A) et la sphère (S), qui définissent chaque mode de génération des cyclides.

Les sphères doublement tangentes d'une même série demeurent invariables si on les transforme par rayons vecteurs

réciproques, en prenant pour pôle de transformation le centre, et pour module le rayon de la sphère directrice, qui est ainsi le lieu des points se correspondant à eux-mêmes. Puisque les sphères doublement tangentes demeurent invariables, il en sera de même de leur enveloppe, la cyclide. Celle-ci est donc anallagmatique suivant la définition de M. Moutard. Elle Test d'ailleurs de cinq manières différentes, correspondantes aux cinq séries de sphères doublement tangentes.

Sans entrer dès à présent dans l'examen détaillé des relations entre les cinq modes de génération, il sera bon de rappeler que les cinq quadriques déférentes (A,) sont homofocales, et de remarquer que les cinq sphères directrices (S,) sont orthogonales.

Cette proposition se vérifie sans difficulté sur les équations précédentes, ainsi que la suivante : Étant donné un des modes de génération, défini par (S,-) , (A,) , les centres des quatre autres sphères sont les sommets du tétraèdre conjugué à (S,) et à (A,) .

Des plans tangents doubles et des focales des cyclides.

Les plans tangents doubles peuvent être obtenus comme limites des sphères doublement tangentes. Les sphères d'une même série, étant assujetties à demeurer orthogonales à la sphère directrice (S), se transformeront, quand leur centre sera à l'infini, en des plans passant par le centre de (S). D'ailleurs, ces plans seront perpendiculaires aux directions asymptotiques de la déférente (A) . Les plans tangents doubles enveloppent donc un cône du second degré, ayant son sommet au centre de la sphère directrice (S) , et supplémentaire du cône asymptote de la quadrique (A) .

On a donc cinq séries de plans tangents doubles^ tangents à cinq cônes du second degré, ayant pour sommets les centres des sphères directrices. Ces cônes, étant supplémentaires des cônes

asymptotes des cinq quadriques homofocales, sont homocy cliques.

On peut d'ailleurs obtenir leurs équations, en les considérant comme des quadriques inscrites dans la cyclide. En effet, l'équation

f(A— X)r»'+(A'— >)^' + (A"— )>)2'-h2Ca; + 2C'?/ + 2C"^ + D — X^ = 0,

analogue à l'équation (3) , représente toute quadrique (V) inscrite dans la cyclide. Cette quadrique sera un cône, si l'on a

P a py 2 nu -2

C'est l'équation déjà obtenue pour 1 .

On a donc cinq cônes inscrits, c'est-à-dire dont les plans tangents seront plans tangents doubles de la cyclide, et la couperont, par conséquent, suivant deux cercles. L'équation de la cyclide sera

Nous voyons, sur l'équation (12), que le cône ne sera réel que si 1 est compris entre A et A", c'est-à-dire si la surface déférente correspondante est un des deux hyperboloïdes. Comme le premier membre de l'équation (12) est négatif, d'après l'équation (13), pour tous les points de la c^^clide, cette surface sera tout entière à l'intérieur, ou tout entière à l'extérieur du cône doublement tangent. Si A est compris entre A et A', la déférente est un hyperboloïde à deux nappes; la cyclide est à l'intérieur du cône. Si 1 est compris entre A' et A", la déférente est un hyperboloïde à une nappe; la cyclide est à l'extérieur de son cône doublement tangent. Dans ce dernier cas, de tout point de la cyclide, on peut mener des plans tangents réels au cône. Les sections circulaires contenues dans ces plans seront réelles. Il n'en sera pas de même dans les cas précédents. Donc

Les sections circulaires appartenant à un mode de génération ne sont réelles que si la déférente est un hyperboloide réglé, et alors elles le sont toujours, pourvu que la cyclide soit réelle.

Cette proposition sera confirmée par F étude géométrique des cyclides.

Voici quelques autres conséquences.

D'abord, par chaque point de la cyclide, on peut faire passer 10 plans tangents doubles, qui sont tangents aux 5 cônes du second degré. Il passe donc iO cercles réels ou imaginaires par chaque point de la surface. Ainsi, les 10 séries de coniques, qui se trouvent sur toute surface du second ordre à conique double, sont ici formées exclusivement avec des cercles. De plus, comme nous avons vu qu'il y a une ou trois racines de l'équation en 1 entre A' et A", c'est-à-dire que parmi les déférentes il y aura un ou trois hyperboloïdes réglés, il s'ensuit que la cyclide aura une série double ou trois séries doubles de sections circulaires réelles. Nous reviendrons sur ce point.

La détermination des focales est aussi une conséquence des résultats obtenus. Celles des sphères doublement tangentes à la cyclide qui se réduisent à des points ont nécessairement leur centre à l'intersection de la surface déférente et de la sphère directrice qui lui correspond. Donc

Les focales de la cyclide sont les cinq courbes cycliques, intersections de chacune des sphères directrices (S^) avec la quadrique déférente (A») qui lui correspond.

Ces cinq courbes sont évidemment celles qui ont été examinées dans la Deuxième Partie de ce travail; elles constituent les lignes doubles de la développable circonscrite à la cyclide et au cercle de l'infini. Elles sont focales les unes des autres. Si l'on se donne l'une d'elles, les autres se détermineront comme il a été indiqué dans la Deuxième Partie.

Si l'on se donne une focale d'une cyclide inconnue, quoique les autres focales puissent être déterminées, la cyclide ne le sera pas. La sphère qui contient la focale est bien la sphère

directrice d'un mode de génération; mais on pourra lui associer comme déférente une quelconque des quadriques qui contiennent la focale. L'équation des cyclides qui admettent pour focales cinq courbes données, focales les unes des autres, contiendra donc nécessairement, et d'une manière rationnelle, un paramètre variable A .

Un mode de transformation que nous allons étudier nous montrera d'ailleurs, sans qu'il soit nécessaire d'avoir recours aux principes énoncés dans la Première et la Deuxième Partie, que les cinq focales sont les lignes doubles de la développable circonscrite à la cyclide et au cercle de l'infini.

Généralités sur les surfaces anallagmatiques.

Nous allons, avant de continuer cette étude, indiquer quelques propriétés générales des surfaces anallagmatiques, que nous appliquerons ensuite aux cyclides.

La définition générale de ces surfaces est la suivante : Elles . sont les surfaces enveloppes d'une sphère variable, qui demeure orthogonale à une sphère fixe (S) (la sphère directrice), et dont le centre décrit une surface quelconque (B), que nous appellerons la déférente.

Soit M un point de la déférente et (P) le plan tangent en ce point. La sphère ayant son centre au point M et orthogonale à (S) touchera son enveloppe en deux points m, m', placés symétriquement par rapport au plan (P) . Je dis que la droite mm' va passer au centre 0 de (S) .

En effet, toutes les sphères doublement tangentes, qui ont leurs centres en des points de la déférente voisins de M, pourront être considérées comme ayant leurs centres dans le plan tangent (P), et se coupant aux deux points cherchés m, m'. Toutes ces sphères coupant à angle droit la sphère directrice (S) , leur axe radical mm' passera donc par le point 0 . D'où la règle suivante :

Les points de contact m , m' de chaque sphère de centre M doublement tangente avec Fanallagmatique, sont sur la perpendiculaire abaissée du centre 0 de la sphère directrice sur le plan tangent à la déférente au point M . On a d'ailleurs

Om.Om' = R%

R étant le rayon de la sphère directrice.

On peut encore définir autrement les points m , m'. Toutes les sphères orthogonales à (S) et ayant leurs centres dans le plan (P) couperont à angle droit toutes les sphères passant par l'intersection de (S) et de (P) . En particuher, elles contiendront les deux sphères de rayon nul passant par l'intersection de (S) et de (P) . Les centres de ces deux sphères sont donc les points m ,m' .

Donc Fanallagmatique peut être considérée comme le lieu des centres des sphères de rayon nul passant par l'intersection de la sphère directrice et des plans tangents à la déférente.

De la remarque précédente, qui a déjà été faite par M. Laguerre, il résulte que les points m , m' ne seront réels que si le plan (P) tangent en M ne rencontre pas la sphère directrice. Par conséquent, si l'on circonscrit à la déférente (B) et à la sphère (S) une développable, la courbe de contact de cette développable et de la déférente découpera celle-ci en régions, pour chacune desquelles le plan tangent coupera toujours ou ne coupera jamais la sphère directrice. Celles des régions de (B) pour lesquelles le plan tangent ne coupe pas la sphère (S) donnent seules des points réels de l'anallagmatique; elles donnent lieu à une nappe de même connexion que la région d'où elle dérive. Toutefois, pour que cette proposition soit exacte, il faut considérer la région de (B) d'où dérive la nappe de l'anallagmatique comme formée de deux feuillets distincts se réunissant l'un à l'autre sur le contour de cette région. Nous ferons une application de cette remarque dans l'étude de la forme des cyclides.

Une conséquence importante et nouvelle résulte encore de la construction précédente. C'est que les 'points de contact m , m' ne dépendent que du plan tangent et nullement du point de contact de ce plan. Il suit de là que l'étude des anallagmatiques équivaut à la théorie d'un mode de transformation dans lequel à un plan variable on fait correspondre les deux sphères de rayon nul passant par l'intersection de ce plan et d'une sphère directrice fixe. Ainsi, à un plan de la première figure correspondent deux points de la seconde; mais à un point de celle-ci ne correspond qu'un seul plan dans la première.

Comme les géomètres sont plus habitués aux transformations dans lesquelles les points correspondent aux points, on pourra substituer à la figure formée par les plans sa polaire réciproque par rapport à la sphère, et alors on obtiendra une transformation qu'on peut définir ainsi qu'il suit :

Étant donné un point ,y-, à ce point on fait correspondre les deux points m , m' , centres des sphères de rayon nul passant par l'intersection de (S) et du plan polaire de p- [par rapport à (S)].

On voit que m et m' ne seront réels que si le point [j. est à l'intérieur de la sphère (S). Les points m , m' , (j. seront en ligne droite avec le centre 0 de (S) , et l'on aura

Om . Om' == R^ , Om + Om' = -7— ■

Si la sphère (S), tout en ayant son centre 0 réel, a son rayon de la forme kV — 1 , les points m , m' seront, au contraire, toujours réels, et ils seront de part et d'autre du point 0 sur la droite 0|t^ . On aura

— 2^;" Om . Om' = — k^- , Om + Om' =

Oii.

Dans ce mode de transformation, à une surface (B'), lieu du point ^ , correspond une surface anallagmatique (2), dont la sphère directrice est (S), et dont la déférente est la polaire (B) de (B') par rapport à (S) . Le degré de (2) sera généralement

double de celui de (B') , à moins que (B') ne passe au centre de la sphère directrice. Nous allons, du reste, donner les formules qui définissent la transformation.

Prenons pour origine des coordonnées le centre 0 de la sphère directrice. Soit R le rayon de cette sphère, et désignons par X , y , z les coordonnées du point m . Celles du point m' seront, par conséquent,

x'^ + y'' + z^ x"" -h if- + 2' x^ + y^ + z^

Le plan polaire du point f^ doit être le lieu des points à égale distance de m et de m' . En écrivant cette propriété, on a pour l'équation de ce plan

2Xa; + 2Y?/ + 2Z2 = R' + a?' + ?/2 + 2-' .

Si donc on appelle x' , y' , z' les coordonnées du point [j- , les formules qui définissent la transformation sont

Ces formules avaient été indiquées dans un travail de l'auteur {Annales de V École Normale, 1864). En posant

on en déduit

On voit que, si le point y- {os' , y' , ^') décrit un plan, les points m , m' décriront une sphère, nécessairement orthogonale à la sphère directrice : cela résulte de l'identité

( mx' + ny' -hpz' +q

(IS) I 'iW(mx + ny -{- pz+q) + q{x^" + y^-hz^—R^) {~ X' + if -{- z^ + R^

La sphère correspondante à un plan (P) sera donc déterminée par la double condition d'être orthogonale à (S) et de passer par l'intersection de (S) et de (P) . Elle se réduira à un plan quand le plan (P) passera au centre de (S) , à un pointsphère quand le plan (P) sera tangent à (S) .

L'identité (15) équivaut à une formule qui permet de transformer les équations des courbes et des surfaces. Soient en effet P la distance du point [j- au plan (P) , T la tangente menée de m à la sphère (T) correspondante

au plan (P) , a l'angle sous lequel le plan (P) coupe (S). L'identité (15) pourra s'écrire

Rcosa.T^

X^ H- îf + 2^ + R''

et il résulte de cette formule la règle suivante :

Si une surface (B') est définie par une équation homogène entre les distances P , P', P" , ... d'un de ses points à plusieurs plans fixes, pour avoir l'équation de l'anallagmatique (1) correspondante, il suffit de remplacer P , P', P", ... par les carrés des tangentes à des sphères orthogonales à la sphère directrice, correspondantes aux plans fixes, ces carrés étant multipliés par des constantes, que la formule (16) apprend à déterminer. Deux cas particuliers doivent être signalés : 1° si le plan (P) est tangent à la sphère en un point a , P doit être remplacé par le carré de la distance au point a ; 2° si (P) passe par le centre de (S) , il se correspond à lui-même, et l'on ne doit pas modifier le facteur P, ou plutôt on doit le multiplier par 2R.

D'un mode de transformation déduit de la théorie des anallagmatiques.

Les formules précédentes (15) et (16) nous montrent qu'en désignant par première figure le lieu des points ^ et deuxième

figure le lieu des points m ,m' , à un point m de la deuxième figure correspond un seul point [j- de la première; mais que, au contraire, à un point [j- correspondent deux points m ,m'. Il y a un cas particulier remarquable : c'est celui où le point [jcoïncide avec le centre 0 de la sphère directrice. A ce point 0 correspondent tous les points à l'infini. C'est ce qui résulte et de la construction et des formules. Car si, dans les équations (14), x^ -1- î/^ -\- %"■ devient infini, x' , y' , z' deviennent nuls.

Ainsi, à un point [j- coïncidant avec 0 correspondent deux points m ,m' , l'un au point 0, l'autre quelconque à l'infini.

A un point [j-, situé sur le cône asymptote de la sphère directrice, correspondent deux points, l'un à l'infini sur le cercle et sur la droite Oij- , l'autre au milieu de Of^- , etc.

A une courbe de degré n de la première figure correspond, dans la seconde, une courbe de degré double 2?i, coupant le cercle de l'infini en 2n points. Cependant, si a branches de la courbe passent en 0 , le degré de la courbe correspondante diminue de a , ainsi que le nombre de points communs avec le cercle de l'infini.

A une surface de la première figure d'ordre n , ayant en 0 un point multiple d'ordre p, correspond une anallagmatique d'ordre 2n — p .

Mais le fait essentiel est le suivant :

Si une courbe est tangente en a à la sphère (S) , la courbe anallagmatique correspondante a un point double en a .

Si une surface est tangente en a à la sphère (S) , la surface anallagmatique correspondante a un point conique en a .

Si une surface est tangente à (S) en tous les points d'une ligne (L), celle-ci est ligne double de l'anallagmatique correspondante.

Faisons quelques appHcations.

A une droite § correspond un cercle, situé dans le plan de 0 et de d, coupant (S) à angles droits, et passant par l'intersection de (S) et de (J . Si ^ devient tangente à (S) en a , le cercle a

son rayon nul, et se décompose en deux droites se coupant en a, situées dans le plan (0 , (î), et allant rencontrer le cercle de l'infini.

A un plan correspond une sphère, qui se réduit, quand le plan devient tangent à (S), au point de contact de ce plan.

A une conique correspond une courbe sphérique du A^ ordre, allant rencontrer le cercle de l'infini en quatre points, c'est-àdire une cyclique. Cette cyclique acquiert deux points doubles, c'est-à-dire se décompose en deux cercles, si la conique correspondante est doublement tangente à (S) .

A une quadrique correspond une cyclide du 3® ou du 4^ ordre, suivant que la quadrique passe ou ne passe pas au point 0 ; etc.

Soient une surface (B') et l'anallagmatique correspondante (E) . Les focales de (2) se déterminent de la manière suivante : Circonscrivons à (B') et à (S) une développable(A), et soit (F) la courbe de contact de cette développable (A) et de (S). Les plans de (A) ont pour correspondants les pointssphères ayant leurs centres sur (F) . Donc la surface (A') correspondante à (A) sera l'enveloppe d'une suite de sphères de rayon nul, et par conséquent sera une développable focale. Ses génératrices correspondront par couples à celles de (A); elle aura une courbe double de plus que ( A) , la courbe (F) .

Appliquons les remarques précédentes à Fétude des cyclides. La cyclide sera l'anallagmatique correspondante à une surface (A') du second degré, et ayant pour déférente la polaire réciproque (A) de (A') par rapport à (S). A la développable

(A') (S) correspond la développable focale circonscrite à la

cyclide. On voit que cette développable aura cinq lignes dou-

bles : 1° la courbe de contact sur (S) de (A') (S) ; 2° les quatre courbes cycliques correspondantes aux quatre lignes de striction de la même développable. Les plans de ces quatre lignes étant conjugués, les sphères correspondantes, qui sont orthogonales à (S) seront orthogonales entre elles. Au système de quadriques inscrites dans la développable (A') (S) correspondront les cyclides homofocales ; etc.

L'équation de toute surface pouvant être mise sous la forme

/"désignant une fonction homogène, Uanallagmatique correspondante aura pour équation

f{aS,b?>',cS",dS") = 0;

d'où il suit que toute équation homogène par rapport aux quatre quantités S , S', S", S'", puissances d'un point par rapport à quatre sphères, représente une surface anallagmatique par rapport à la sphère radicale ou orthogonale de ces quatre sphères.

Par exemple, l'équation d'une cyclide peut se mettre, et d'une infinité de manières, sous les formes