SS'=:=A;.S"S

correspondantes à des formes connues de l'équation d'une quadrique.

A des cercles de la seconde figure correspondent dans la première soit des droites, soit des coniques doublement tangentes à (S). Il suit de là qu'une anallagmatique (2) ne pourra être engendrée par un cercle que si la surface (B') correspondante est réglée ou est engendrée par des coniques doublement tangentes à (S) .

Par exemple, si (B') est une quadrique, 1° ses droites donneront une série double de sections circulaires de la cyclide; 2° elle peut aussi être engendrée de quatre manières différentes par des coniques doublement tangentes à (S) , et les plans de ces coniques enveloppent l'un des quatre cônes passant par l'intersection de (B') et de (S) . A ces quatre séries de coniques correspondront quatre nouvelles séries doubles de sections circulaires de la cyclide. On aura donc les cinq séries doubles de sections circulaires de la cyclide.

De la forme générale des cyclides, du nombre de leurs focales et de leurs sections circulaires réelles.

Nous pouvons maintenant nous faire une idée assez nette des différentes formes des cyclides. Il suffit de discuter les équations (6) , (7) , (8) , qui déterminent les différents modes de génération de la surface.

D'abord, nous avons vu que l'équation (6) en l a au moins trois racines réelles. Dans chacun des intervalles des quantités A , A', A", H- oo , il y a une ou trois racines réelles (art. 40).

A toute racine comprise entre A et A' correspond une déférente, qui est un hyperboloïde à deux nappes;

A toute racine comprise entre A' et A", un hyperboloïde à une nappe ;

A toute racine supérieure à A", un ellipsoïde réel;

A toute racine inférieure à A , un ellipsoïde imaginaire.

Il y a donc, parmi les surfaces déférentes, trois quadriques réelles au moins : un ellipsoïde réel, un hyperboloïde à une nappe, un hyperboloïde à deux nappes. Je dis, de plus, qu'à la racine unique comprise dans chacun des intervalles de A , A', A", + 00 , ou à la plus petite et à la plus grande des racines, s'il y en a trois dans cet intervalle, correspond toujours une sphère directrice de centre et de rayon réels.

En effet, nous avons vu (art. 40) que le rayon de la sphère directrice est K — h' , L' désignant la dérivée de L . Lorsque 1 varie dans un des intervalles considérés, la fonction L est d'abord positive. La dérivée L' sera donc négative pour toutes les racines d'ordre impair contenues dans cet intervalle. Donc, s'il y a trois racines, la plus petite et la plus grande donneront un rayon réel. Au contraire, pour la racine moyenne, le carré du rayon sera négatif.

Nous pouvons donc conclure que, dans tous les cas, trois

DE COURBES ET Dii SURFACES ALGÉBRIQUES. 129

des cinq modes de génération de la cyclide seront formés avec des quadriques et des sphères réelles.

Si l'équation en / a ses cinq racines réelles, les deux derniers modes de génération seront formés avec deux surfaces qui pourront être deux ellipsoïdes imaginaires, mais qui seront toujours de même espèce. Des deux sphères correspondantes qui ont leurs centres réels, l'une sera réelle; mais, pour l'autre, le carré du rayon sera négatif.

Les résultats obtenus ici sont d'accord avec ceux de l'article 19, où nous avons examiné le nombre des focales réelles des courbes cycliques.

Si l'équation en 1 a deux racines imaginaires, trois seulement des sphères contenant les focales sont réelles. Nous avons vu que, dans ce cas, les trois focales correspondantes sont réelles et se composent d'un seul trait.

Si l'équation en X a ses cinq racines réelles, quatre des sphères sont réelles; mais deux seulement des focales sont réelles, et se composent chacune de deux traits distincts (^).

Dans le cas où l'équation en 1 a ses cinq racines réelles, il y a un mode de génération qui caractérise la cyclide : c'est celui qui correspond à la sphère de centre réel, mais de rayon imaginaire. Cela posé, nous pouvons reconnaître la forme générale de la cyclide.

i° L'équation en ). a deux racines imaginaires. Soit un des trois modes de génération formé avec l'ellipsoïde réel (A) et

la sphère réelle (S). La développable (S) (A) est réelle, et se compose d'une seule nappe (de même que la focale se compose d'un seul trait). La courbe de contact de cette développable avec l'ellipsoïde- (A) partage cette quadrique en deux régions : l'une d'elles donne tous les points réels de la cyclide (art. 42).

(') Les cinq focales ne sauraient être toutes imaginaires, puisque, les équations de l'une d'elles au moins étant réelles, les foyers de celte courbe seront réels. Or l'un de ces foyers est un point d'une autre focale, qui, ayant un point réel, est réelle.

Comme cette région est à connexion simple, on voit que la cyclide sera ici une surface toujours réelle, formée d'une seule nappe à connexion simple. Elle aura une seule série double de sections circulaires réelles, puisque une seule des trois déférentes est réglée.

2° L'équation en 1 a toutes ses racines réelles. La surface déférente (A), correspondante à la sphère de rayon k V — 1 , est un ellipsoïde imaginaire. La cyclide est imaginaire.

3° L'ellipsoïde déférent du même mode de génération est réel. Alors toute droite passant par le centre 0 de (S) coupe la cyclide en quatre points toujours réels, correspondants aux deux plans tangents de l'ellipsoïde perpendiculaires à cette droite. La cyclide se compose de deux nappes enveloppant le point 0 , et à l'intérieur Vune de Vautre. Elles sont à connexion simple.

Trois des surfaces déférentes sont des ellipsoïdes réels, il y a une seule série de sections circulaires réelles.

A° L'équation en A ayant toujours ses racines réelles, la surface déférente du même mode de génération est un hyperboloïde à deux nappes.

Alors le cône doublement tangent à la cyclide ayant le point 0 pour sommet est réel, la cyclide est à l'intérieur de ce cône (art. 43). Elle se compose, donc de deux nappes opposées situées à l'intérieur de chacune des deux nappes du cône et à connexion simple. Trois des déférentes sont des hyperboloïdes à deux nappes, il n'y a encore qu'une seule série double de sections circulaires réelles.

5° La déférente du même mode de génération est un hyperboloïde à une nappe. Le cône doublement tangent à la cyclide est toujours réel, mais la surface est à l'extérieur de ce cône. Elle se compose à.\tne seule nappe à connexion triple, semblable à un tore ordinaire. Il sutRt de concevoir que les deux séries de sections circulaires, confondues dans le tore, se dédoublent, par exemple qu'on fasse varier d'une quantité suffisamment petite les coefficients des coordonnées dans l'équation d'un tore rapportée à des axes quelconques.

DK COUnBRS ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES. J31

Dans ce cas trois des déférentes étant des hyperboloïdes réglés, il y a six séries de sections circulaires réelles disposées à peu près comme celles d'un tore, après qu'on aurait dédoublé par une déformation les sections méridiennes et les sections parallèles qui représentent deux séries confondues.

On voit qu'il existe quatre espèces distinctes de cyclides réelles du ht ordre. Les cyclides du 3" ordre se déduisant des précédentes au moyen d'une transformation par rayons vecteurs réciproques auront seulement trois formes distinctes.

Du système des cyclides homofocales.

Si l'on transforme par rayons vecteurs réciproques une cyclide, on obtient une nouvelle cyclide dont les focales sont les transformées des focales de la précédente. En particulier, si l'on prend le pôle de transformation au point de rencontre de trois des sphères directrices (il y a un ou quatre de ces points qui sont réels), trois des focales deviendront planes, les trois sphères directrices se changeront en trois plans rectangulaires, et les sphères doublement tangentes de la cyclique, qui étaient orthogonales à ces sphères directrices, auront leurs centres dans les plans correspondants. La nouvelle cychde aura trois plans de symétrie. On peut donc affirmer que le système le plus général de cychdes homofocales est le transformé par la méthode des rayons vecteurs réciproques de celui des cyclides homofocales à trois plans de symétrie.

Ces dernières cyclides homofocales ont été étudiées d'une manière détaillée par l'auteur dans un travail présenté comme thèse en 4866 à la Faculté des Sciences de Paris, et qui a été inséré dans les Annales de l'École Normale (même année).

Aussi allons-nous examiner de préférence ici le système le plus général de cyclides homofocales, et donner des équations