SUR UNE CLASSE REMAUQUABLE

symétriques représentant les cyclides les plus générales du 3^ et du 4^ ordre.

A cet effet, étant donnée une sphère (S) , définie par Téquation

nous allons chercher l'équation des quadriques inscrites dans une développable circonscrite à cette sphère; puis, en soumettant ces quadriques à la transformation indiquée (art. M), nous obtiendrons Féquation générale des cyclides homofocales. Soient

(17) h = aiX' + biy' -i-CiZ' ~hdiRy^=0, (/= 1,2,3,4)

les équations des quatre faces du tétraèdre conjugué commun à toutes les quadriques et à la sphère (S), et supposons que les coefficients aient été choisis de telle manière que Ton ait identiquement

(18) 2 P.' = Pi' + ^' ^- Pa' + Pv'= ^" -I- y"- + 3'- — R'- .

On aura, entre les coefficients a, , 6, , c, , di , les relations qui conviennent à toute substitution linéaire orthogonale, et en particulier celles-ci,

(19) iti'-l-.br-i-Ci'-i-th'^zi ,

(20) (d oj + bi bj 4- Ci cj + (/,• d =0 . L'équation

(21) tz^p. + «:j:^p^ + 'LzJ^p, + '^^z^P^ = o

représentera des quadriques inscrites dans une développable A , et d'ailleurs cette développable sera circonscrite à la sphère (S) ; car il suffit, pour obtenir l'équation de cette sphère, de faire X = a dans l'équation précédente. D'ailleurs, cette équation peut encore s'écrire

OU, en tenant compte de l'identité (18),

/ — a ), — fl, >> — flj A — «3 A — a,,

Telle est la forme qu'on peut donner à l'équation des quadriques considérées, et il est bon de remarquer que cette équation n'est qu'en apparence du 4® degré en 1 . Après qu'on aura chassé les dénominateurs, le coefficient de l"" sera nul identiquement, en vertu de l'équation (18).

Cela posé, soumettons nos quadriques au mode de transformation défmi par les formules (14) (art. 44), et nous obtiendrons les cyclides homofocales. Voyons ce que devient l'équation (22). On a

Le plan Pi=0 se transforme donc en une sphère (S^), orthogonale à la proposée. Appelons R; le rayon de cette sphère. On aura

^'a^ î\\V RV.-^

ou, en vertu des formules (19);

Rj" — — ~ , ^i^=

Donc, si nous appelons S» la puissance d'un point par rapport à la sphère (S^) , on aura

Ri(«^-i-^^+--l-Rj

Enfin, si l'on tient compte de l'équation (14), on pourra transformer le premier terme de l'équation (22), et l'on aura

jij'+y' + z'—W\ R^-S-^

X' + y -h z' + R7 ~ {x'-h îf+z^-Y R'Y

S désignant la puissance du point {00 ,y , z) par rapport à la

sphère (S) . En réunissant tous ces résultats, l'équation (22) se transformera dans la suivante,

n \B,/ \KJ \RJ \R,,

Cette équation représente les cyclides homofocales, et, d'après une remarque déjà faite, elle n'est qu'en apparence du 4*^ degré. De plus, il suit des formules (20) et (23) que les quatre sphères (S,), qui sont orthogonales à (S), sont aussi orthogonales entre elles. Donc, si, pour plus de sym.étrie, au lieu de S nous mettons S^ dans la formule précédente, nous pouvons énoncer les propositions suivantes :

Uéquation

/ — Cli

où les cinq quantités S; sont les puissances d'un point par rapport à cinq sphères orthogonales , représente un quelconque des systèmes de cyclides homofocales ayant les cinq sphères (S,) pour sphères directrices.

Le coefficient de X" étant nul dans l'équation précédente, après qu'on aura chassé les dénominateurs, il y a entre les cinq puissances S^ d'un point quelconque, par rapport aux cinq sphères orthogonales, la relation identique

Nous allons étudier successivement les cinq sphères orthogonales et les cyclides homofocales; mais auparavant nous ferons remarquer que, si l'une des cinq sphères se réduisait à

Sun plan, il suffirait de remplacer la quantité :^ correspondante

par le double de la distance au plan qui remplace la sphère. Cela résulte de la formule (23).

Du système de cinq sphères orthogonales. Soient

les équations de cinq sphères orthogonales. On aura, entre les coefficients oci , . .. , di , les relations comprises dans le type suivant :

(28) «.■«;-l-/5,/3, + yr/,~S.— 5, = 0, (•/>/)

qui expriment l'orthogonalité des sphères. Les rayons R; de ces sphères sont donnés par les formules

(29) n^ = a^-hfii'+yr-~Si.

et Ton aura les identit'^s

l dx àx dy dy âz dz

La théorie des sphères orthogonales est d'ailleurs comprise dans l'identité fondamentale déjà obtenue

On déduit de cette identité les relations suivantes entre les coefficients a, , §; , '/^ , t^,- ,

ah=^' iv=^' 2#-«'

et les suivantes

Ces relations nous seront très utiles.

On peut d'ailleurs déduire de l'identité (26),

plusieurs propriétés des sphères orthogonales. Par exemple, l'équation

peut s'écrire, en vertu de cette identité,

et la forme nouvelle de l'équation nous montre que la sphère S., coupe les quatre autres suivant quatre cercles dont les plans forment un tétraèdre conjugué par rapport à S^ , ce qui est une des plus importantes propriétés des sphères orthogonales. De même, l'équation

'SA'^ /s;

qui se décompose en deux facteurs, représente deux pointssphères, ayant pour centres les points d'intersection des trois autres sphères, etc.

Rappelons qu'il y a deux systèmes remarquables de sphères orthogonales, l'un pour lequel deux sphères ont leurs centres et leurs rayons imaginaires conjugués, l'autre pour lequel les cinq centres sont réels, l'une des sphères ayant le carré de son rayon négatif.

Enfin, de l'identité fondamentale on déduit encore que, dès

que l'on connaîtra un système de sphères orthogonales, on

aura tous les autres en soumettant à une substitution linéaire

orthogonale les cinq quantités ~ .

Or on peut prendre pour ces quantités

où R^ peut être de l'une des deux formes

et, en soumettant ces cinq quantités à la substitution indiquée, on aura l'équation la plus générale d'un système de cinq sphères orthogonales.

Des cyclides homofocales.

Nous allons maintenant démontrer que le système des cyclides homofocales, dont l'équation a déjà été donnée, est un système triple orthogonal, c^est-à-dire que, par chaque point de l'espace, il passe trois cyclides du système, se coupant à angle droit. Pour cela, nous nous proposerons d'abord la question suivante :

Étant données deux équations homogènes par rapport aux cinq quantités S, ,

exprimer qu'elles représentent deux surfaces orthogonales. Appelons (a , b) l'expression

âa âb da âb àa âb dx dx dy ây dz dz

On aura évidemment

équation où il faut donner hi eXkj toutes les valeurs 1, 2, 3,

138 SUR UKE CLASSE REMARQIJABLE

4, 5. Mais, d'après les identités (30), l'équation précédente pourra être écrite ainsi,

( " -(2<-a(2ll)-^■'èâ•

Comme les deux premiers termes du second membre sont nulS; en vertu de l'équation homogène des deux surfaces, on voit que la relation d'orthogonalité prend la forme simple

ou

Cette relation est exactement semblable à celle qu'on obtient avec les coordonnées ordinaires; il y a seulement deux variables de plus.

L'équation précédente sera évidemment vérifiée, si l'on prend deux cyclides appartenant au système défini par l'équation

(34) yi^

Deux cijclides homofocales se coupent donc à angle droit en tous les points de leur courbe d'intersection.

Il reste à démontrer qu'il en passe toujours trois qui sont réelles, par un point quelconque de l'espace.

Supposons d'abord que, des cinq sphères (S,), une seule ait son rayon imaginaire. Les cinq quantités S; seront réelles ; mais, parmi les cinq quantités Rj, une, Rg par exemple, sera de la forme + K^^ — i . Alors l'équation du système sera

Quand on y considère 1 comme l'inconnue, elle donne trois racines réelles, Tune entre a^ et a, , les deux autres entre a^ et «3 , a.^ et a^ .

Ajoutons que les cyclides correspondantes à ces trois racines sont réelles, et toujours des trois formes distinctes signalées à l'art. 46 pour le cas oii l'équation a ses cinq racines réelles.

On verrait, de même, si deux des sphères orthogonales étaient imaginaires conjuguées , qu'il passe toujours trois cyclides réelles par un point quelconque de l'espace.

Nous avons reconnu (art. 45) que toute équation homogène

f iS, , S, , S3 , S,) = 0

représente une surface anallagmatique par rapport à la sphère orthogonale aux quatre sphères (Sj) , (Sj) , (S3) , (S4) . Comme de l'équation (34) on peut éliminer, au moyen de l'identité (26) qui relie les cinq quantités S;'', une quelconque de ces quantités, on reconnaît immédiatement que la cyclide sera anallagmatique par rapport aux cinq sphères (S,) . La même conclusion s'appliquerait à toute équation homogène

qui représente, quelle que soit la forme de la fonction 9^ une surface anallagmatique par rapport aux cinq sphères (S,) .

Revenons aux cyclides. Quand on fait, dans l'équation (34), \=:Ui, la surface se réduit à une sphère double (S,), ou plutôt à la portion de cette sphère, limitée par la focale. Quand 1 s'approche de a^ , par exemple, l'intersection de la cyclide et de la sphère (S^) s'approche de la courbe limite

a, — «2 Oi — o-z a^—a^ «1 — «s On aurait de même les cinq autres focales.

Du système de coordoEnées curvilignes formé avec les cyclides homofocales

et orthogonales.

Il résulte, des remarques précédentes et du théorème de M. Dupin, que les lignes de courbure d'une cyclide quelconque sont algébriques et se trouvent à Fintersection de cette surface avec les cyclides homofocales. On saura donc déterminer les lignes de courbure des cyclides les plus générales.

Parmi les cyclides du système orthogonal (34), il y en a trois qui sont seulement du 3^ degré. En effet, dans Téquation (34), le coefficient de {x" -\- if ^ z')" est

Il sera nul pour les trois valeurs de / satisfaisant à Téquation

On saura donc déterminer les lignes de courbure des cyclides du S^ ordre.

Le système des cyclides homofocales donne naissance à un système de coordonnées curvihgnes, analogue à celui des coordonnées elliptiques, dont Lamé, Jacobi, Liouville ont fait un si heureux emploi. On sait que Lamé a démontré le premier que le système des coordonnées elliptiques est le seul qui se compose de trois séries de systèmes isothermes. Le système que nous allons étudier ne possède donc pas cette propriété ; mais il se rapproche par toutes les autres du système des coordonnées elliptiques.

Appelons p , p, , p^ les paramètres des trois cyclides homofocales passant en un point de l'espace. Ces paramètres seront des racines de l'équation

gy

Si, après avoir chassé les dénominateurs, on appelle M le coefficient de 1^ dans Féquation précédente, on aura l'identité

(36) yA^^-^.

(i a J (). — a,) (/ — «3) (1 ~ a,] {l - a^ Posons, pour abréger,

Si nous décomposons le second membre en fractions rationnelles, et que nous égalions les coefficients des termes semblables dans les deux membres, nous obtiendrons

Posons encore,

r {ad

et l'équation (38) pourra s'écrire

(40) -| = l/M .Ei.

Ces équations donnent bien les quantités S,- , ou plutôt leurs rapports; mais il faut en déduire les coordonnées ordinaires X ,îj , zen fonction de p , Pi , p^ .

A cet effet, nous remarquerons que les formules (3i) , (32) conduisent aux suivantes.

qui donneront x , ij , z , quand les rapports des quantités S, seront connus.

On en déduit ici

y=yMy^^

-2 = Km y 2!.

La dernière de ces équations fera connaître KM , et les autres détermineront ensuite x ,y , z en fonction de p , pi , p^ . Notons aussi la formule

cfui donne le carré de la distance à l'origine des coordonnées, et qu'on déduit de la dernière des équations (41).

Après avoir trouvé les expressions des quantités S» et des coordonnées ordinaires x ,y ,z en fonction de p , p, , /^^ , nous allons donner la formule relative à la distance de deux points infiniment voisins.

Cette formule, calculée par les procédés connus, est la suivante,

li^ds' {p-p,)(p-p,)^ ^^{p^-^){p^-~p^^ ,

{F-2~P)(P,~Pi)

f{pù

On voit qu'elle ne diffère de l'équation analogue relative aux . coordonnées elliptiques que par le degré de la fonction f{l) et

DE GOURBRS ET DE Srfîî'ACES ALC.ÉBIUQUKS. 143

par la présence du facteur M , dont nous avons déjà donné la valeur. Les formules principales étant établies, nous pouvons passer aux applications.

Applications aux cyclides homofocales.

Les surfaces composant le système s'obtiennent en donnant à l'un des paramètres une valeur constante. Les cinq valeurs remarquables p = a, donneront les cinq sphères orthogonales. Pour p = 61, , S; étant nul, d'après les formules (40), on obtiendra tous les points de la sphère (S,) .

Donnons à p, , par exemple, une valeur constante a, nous obtiendrons une cyclide quelconque, et la formule (44) deviendra

La forme même de cette expression de ds^ nous apprend que les cyclides peuvent être divisées en carrés infiniment petits par leurs lignes de courbure. En d'autres termes, les lignes de courbure forment un système de lignes isothermes orthogonales (^).

Il suit encore de la forme de l'équation précédente qu'on saura déterminer les lignes de longueur nulle tracées sur la cyclide. Leur équation est

(46) / l /^dp ± |/^ / l/^^ dp, = consl.

(') M. 0. Bonnet a proposé d'appeler tous les systèmes de lignes jouissant de cette propriété des systèmes isométriques. Il me paraît préférable de leur conserver le nom de lignes isothermes. J'ai démontré, dans le cours que j'ai eu l'honneur de faire en 1866 comme suppléant de M. Bertrand au Collège de France, que, si l'on étudie la distribution de la chaleur en tous les points d'une surface infiniment mince, supposée partout de même épaisseur, les systèmes de lignes précédents sont effecLivement des systèmes isothermes.

La développable focale, enveloppe du système, est le lieu des points de l'espace pour lestjuels deux des trois paramètres p , pi , p2 deviennent égaux. Faisons, par exemple,

La formule (44) nous donnera, pour tous les points de la développable focale,

La forme de cl s" est bien celle qui a été indiquée dans la Première Partie (art. .5).

Cette développable coupe chaque cyclide du système suivant 16 droites et la touche suivant une ligne de courbure exceptionnelle. En effet, considérons la cyclide p, = a. Elle aura avec la développable enveloppe deux séries distinctes de points communs : 1° ceux qu'on obtiendra en faisant p=pi', 2° ceux qui correspondent à la valeur de p (ou de p,)

Ces derniers points sont évidemment sur la courbe limite, ligne de courbure singulière, intersection de la cyclide avec la surface infiniment voisine du système. Quant aux premiers points, je dis qu'ils sont sur 16 droites.

En effet faisons p^p^ ,p^ — (x dans les formules qui donnent II, ; on aura

H — ± {ai-p)\/ai -«

Les cinq quantités H, deviendront, par conséquent, des fonctions linéaires de p,\et, par suite, on obtiendra, pour les coordonnées ordinaires^^ ^y ■> ^, des valeurs de la forme

U/ ■ ; ~ — f UlC.

Lorsque p variera dans ces formules, elles donneront tous les points d'une ligne droite. Il y aura 16 droites correspon-

dantes aux différentes combinaisons des signes des radicaux H,. Ces 16 droites sont évidemment les enveloppes des lignes de courbure.

Cependant, si a était égale à une des quantités a,-, la cyclide se réduirait à la sphère (S,) ; un des radicaux H,- serait nul, et on ne trouverait plus que 8 droites. Ces 8 droites sont les enveloppes des courbes cycliques homofocales suivant lesquelles la sphère (S,) est coupée par les surfaces du système.

La développable focale coupe donc la sphère (S,) : 1° suivant le cercle de Tinfini, qui est une ligne octuple de la développable; 2° suivant 8 droites; 3" suivant la focale située sur (S,), qui est une des courbes doubles de la développable.

Enfin, l'arête de rebroussement de la développable focale est le lieu des points de l'espace pour lesquels les trois paramètres p, Pi , Pî prennent une même valeur p. On aura donc, pour tous les points de cette courbe,

et si entre les cinq équations que comprend cette formule, on élimine

on trouvera trois équations de la forme

et convenant à tous les points de l'arête de rebroussement. Nous voyons d'ailleurs, d'après la formule qui donne ds"^, que l'arc élémentaire de cette courbe est nul, ce qui est conforme aux résultats de la Première Partie (art. 5).

On pourrait déduire des calculs précédents les équations de la développée sphérique d'une cyclique. En effet, on a vu (art. 5) que le cône ayant pour sommet le centre d'une

sphère (S) et pour base la courbe de rebroussement (R) d'une développable focale (F) coupe la sphère (S) suivant la développée sphérique de Tintersection de (F) et de (S) . En appliquant ce résultat à chacune des sphères directrices, on aura les développées sphériques des cinq focales.

Bien que les calculs soient des plus simples, nous nous dispenserons de les développer.

Application des formules relatives aux cyclides à la surface générale du 3® ordre, et à la surface du 4^ ordre à conique double.

Les formules (42), où x ,y ,z représentent les coordonnées ordinaires d'un point, peuvent être rendues plus symétriques par l'introduction des coordonnées homogènes. Posons

elles deviendront

Si l'on donne à p^ une valeur quelconque, on obtient des formules du type suivant,

I X = 'yA,K(a.—/-.)(a.—p.),

T = 2 ^'- ^^(«'— /=)(«'— Pi) .

qui donnent les coordonnées homogènes d'un point de la cyclide en fonction de deux paramètres p , Pi . Les coefficients A,- , B,- , C,- , D,- ne sont pas quelconques, et sont liés par de nombreuses relations. Mais, si l'on effectue sur la cyclide la transformation homographique la plus générale, les formules précédentes conserveront leur forme, et il n'y aura plus aucune relation à établir entre les constantes qui y figurent. Donc

Les formules (-49) déterminent en fonciioti de deux paramètres les coordonnées homogènes d'un point quelconque d'une surface générale du, 3^ ordre ou d'une surface du 4^ ordre à conique double.

Bien que l'homographie introduise 16 constantes, et que les formules primitives en contiennent plus de 4, il peut paraître douteux que les formules (49) ne conviennent pas à une surface plus générale que la surface du A" ordre à conique double. La démonstration directe suivante lève toutes les difficultés.

Désignons par X,- le radical K(a,- — p) (a, — p,) . Les cinq radicaux ainsi obtenus satisfont évidemment à deux équations de la forme

148 SUR UNE CLASSE lîEMARQUABLE

Cela posé, introduisons une inconnue auxiliaire /. , de la forme

1 = 1 E.-Xi .

De cette dernière équation et des formules (49) on déduira, pour les quantités X; , des expressions de la forme

{M] Xi = P, + w.A,

où Pi désigne une fonction linéaire de X , Y , Z , T, et m,- une constante. En portant ces valeurs dans les identités (50), on obtiendra deux équations de la forme

où Mjj j ^2 î ^1 1 ^1 sont des fonctions homogènes du second et du premier degré en X , Y , Z , T . Il reste à éliminer 1 entre ces deux équations, ce qui conduit évidemment à l'équation d'une surface du 4® ordre à conique double (^).

Revenons aux formules {A9). A cause des doubles signes des radicaux, à chaque système de valeurs de p , p^ correspondent 16 points de la surface dans le cas de la cyclide. Ces 16 points forment un polyèdre anallagmatique par rapport aux cinq sphères directrices.

Pour faire disparaître l'ambiguité provenant de ces doubles signes, on peut adopter le moyen suivant.

Introduisons, au lieu de p , Pj , les variables définies par les équations

pdp Pi^p, dp dp,

+ ,/— — = rfw, , i/TT-T -^ l/Ti~'\^==- ^^

p et Pj seront des fonctions ultraelliptiques de u , it, , et l'on reconnaît dans chacun des radicaux qui figurent dans les formules (49) les fonctions M de M. Weierstrass. Ces fonc-

(') Un mode scmblahle de démonstration, appliqué au cas où les formules contiennent n radicaux au lieu de 5, montrerait que la surface correspondante est, en génc^ral, de l'ordre 2"—'.

tions sont uniformes et remplacent les sin am , cos am , ^am de la théorie des fonctions elliptiques. Nous allons d'abord montrer l'analogie des formules précédentes avec celles qui ont été trouvées pour les courbes du 3® ordre par M. Aronhold, et qui ont permis à M. Clebsch d'établir un lien entre la théorie des fonctions elliptiques et celle des courbes du 3® ordre.

En effet, il résulte de tout ce qui précède que, si dans les formules (49) on donne à pi une valeur annulant un des radicaux, rtg par exemple, les formules qu'on obtient conviennent à la transformée homographique d'une cyclique, c'est-à-dire soit à une courbe plane générale du A^ degré à deux points doubles ou du 3® degré, soit à l'intersection de deux quadriques. Or ces formules sont de la forme

z = V a Ka.—

On peut évidemment, par une substitution de la forme

rendre rationnels trois des radicaux, et ramener les formules (53) à la forme

X = A + B > 4- C ).- + D KÂ ,

Y = A' +B'). + C'r + D' |/Â , (Si) \ . /-

T rrr: A •" + B '" À + C '" X'" + D '" KÂ ,