CINQUIÈME PARTIE

Étude géométrique des eyclides

sa.

Des focales singulières et des sections circulaires.

Nous nous proposons d'étudier ici, en tenant compte pour plus de rapidité de quelques résultats déjà établis, les propriétés géométriques des eyclides. Nous démontrerons les propositions dues à MM. Moutard, Laguerre, de la Gournerie, et nous ajouterons quelques propriétés qui nous paraissent nouvelles.

Nous avons vu que la cyclide peut être considérée comme l'enveloppe des sphères, ayant leur centre sur une quadrique (A) et coupant à angle droit une sphère (S) . Pour avoir les points de contact de l'une des sphères variables, de centre M, avec la cyclide, il faut (art. 42) abaisser du centre de (S) une perpendiculaire sur le plan tangent en M à (A). Cette droite coupe la sphère, de centre M, en deux points m ,m', qui sont les deux points de la cyclide correspondants au point M . Les droites m M , m' M sont donc les normales de la cyclide en m , m'.

Cette définition des eyclides donne immédiatement leurs focales ordinaires, mais elle fait connaître aussi, comme l'ont montré MM. Laguerre et de la Gournerie, les focales singulières de la cyclide.

Soit en effet m un point de la cyclide situé sur le cercle de l'infini, et soit M le point de la déférente (A) auquel il corres-

pond. Le plan tangent à (A) en M doit être perpendiculaire à Om ; il contiendra donc la tangente en m au cercle de Tinfini.

D'ailleurs, ce plan, tangent en M à la déférente, sera aussi tangent en m à la cyclide, puisqu'il est perpendiculaire à la droite Mm , qui doit être normale en m à la cyclide. On a donc le résultat suivant :

Les plans tangents à la cyclide en tous les points du cercle de l'infini sont aussi tangents à la déférente. En d'autres termes, les focales singulières de la cyclide sont les focales ordinaires de la déférente. Cela explique pourquoi, dans les cinq modes de génération, les cinq déférentes ont les mêmes focales. La proposition précédente s'étend d'ailleurs à toutes les anallagmatiques.

On peut rendre compte aussi d'une manière très simple, comme l'a fait M. Moutard, de l'existence des sections circulaires. En effet, toutes les sphères orthogonales à (S) et ayant leurs centres sur une même génératrice rectiligne de (A) contiendront toutes un même cercle, appartenant à la cyclide. Ce cercle est dans un plan mené par le pôle 0 perpendiculairement à la génératrice rectiligne, et, comme il y a une deuxième génératrice perpendiculaire à ce plan, il coupera la cyclide suivant deux cercles. L'enveloppe de tous les plans tangents doubles d'une même série est un cône supplémentaire du cône asymptote de la surface (A) .

Des relations entre les cinq modes de génération des cyclides.

Proposons-nous le problème suivant : Étant donné un des modes de génération, c'est-à-dire une surface (A) et la sphère (S) correspondante, déterminer les autres surfaces déférentes et les sphères directrices qui leur sont associées.

Nous remarquerons d'abord que, si l'on construit la développable (A)(S)| , la courbe de contact de cette développable

et de la sphère appartient évidemment à la cyclide, et celle-ci

coupe normalement la sphère en tous les points de cette courbe. La développable précédente a pour lignes de striction quatre coniques (K,) , (K^) , (K3) , (KJ , qui sont dans les faces du tétraèdre conjugué commun à (A) et à (S) .

Soit (K,) l'une de ces coniques, et a un de ses points. Deux génératrices de la développable viennent passer en a , savoir, ut, ai', tangentes en i et f à la sphère (S). La sphère de centre a et de rayon at = at' sera donc normale en ^ , /' à la sphère (S), et tangente à la cyclide en ces deux points.

Il suit de là que toutes les sphères décrites des différents points de (K,) comme centres et orthogonales à (S) seront des sphères doublement tangentes à la cyclide, et, comme elles forment une suite continue, elles feront partie d'une des séries inconnues de sphères doublement tangentes. Donc, il y aura quatre surfaces (A,) homofocales à (A) et contenant chacune une

des coniques de striction (K,) de la développable (A) (S) Ces quatre surfaces sont les déférentes cherchées.

Il reste à déterminer la sphère directrice correspondante à chaque surface. Or, les sphères, ayant leur centre sur la conique (K,) , et coupant (S) à angle droit, coupent aussi à angle droit la sphère (S,) , décrite du pôle de ce plan comme centre et orthogonale à (S) .

Cette sphère est la seule qui soit en même temps orthogonale à (S) et aux sphères ayant leur centre sur (K.) . C'est donc la sphère directrice. Ainsi

Les quatre sphères directrices (S,) ont pour centres les sommets du tétraèdre conjugué aux deux surfaces (A) , (S) . La sphère correspondanle à la conique (K,) a son centre au 'pôle du plan de (K,).

On peut encore déterminer les sphères de la manière suivante :

Soit (A,) la surface passant par (K,) , et (S,) la sphère correspondante. Le plan radical de (S) et de (S,) est le plan de la conique (K,) . On voit que ce plan coupe (A,) suivant une conique (K,), telle que les trois surfaces

soient inscrites dans une même développable. De même, eu égard à la symétrie des deux modes de génération, il coupera (A) suivant une conique (H) , telle que les trois surfaces

soient inscrites dans une même développable. Il suit de là qu'il y aura une sphère inscrite dans la déve-

loppable |(H)(A,) , et cette sphère sera (S,), qu'il s'agissait de déterminer.

Ces belles relations sont dues à M. Laguerre (^) , qui les a données sans démonstration.

Classification des cyclides.

La classification des cyclides s'effectue sans difficulté, d'après la nature des focales ordinaires et singulières.

1° Si la surface déférente est une sphère, on a la surface de révolution engendrée par les ovales de Descartes tournant autour de leur axe focal. Le cercle de l'infini est cercle de rebroussement.

2° Si la surface déférente est dépourvue de centre, une des focales singulières est rejetée à l'infini. Nous verrons que, dans ce cas, la cyclide est du 3^ degré.

3" Si la déférente est de révolution, la focale ordinaire est doublement tangente au cercle de l'infini. Nous l'avons appelée cartésienne; nous conserverons le même nom à la cyclide.

^^ Si la déférente est tangente à la sphère directrice, ou si cette sphère se réduit à un point (nous verrons que ces deux cas se confondent), la focale ordinaire a un point double, qui

(*) Sur quelques propriétés des surfaces anallagmatiques. Balhlin de la Société ^Philomathique, 1 868 .

est un point conique de la cyclique. Celle-ci est une podaire ou réciproque de cette quadrique.

5*' Si la déférente est doublement tangente à la sphère, la cyclide est, en général, la réciproque d'un cône et a deux points doubles.

6*^ Si le cône du second degré est de révolution, la cyclide réciproque a généralement quatre points doubles. C'est la cyclide à lignes de courbure circulaires de M. Dupin.

Telles sont les divisions principales. Les trois premières sont établies d'après la nature des focales singulières, les dernières d'après celle des focales ordinaires. Nous allons rapidement passer en revue ces différentes classes.

Quand la déférente (A) est une sphère, la cyclide est de révolution; elle est engendrée par les ovales de Descartes tournant autour de leur axe focal. Tout plan la coupe suivant des ovales de Descartes , toute sphère suivant une cartésienne.

Les sphères inscrites dans la surface couperont toute sphère sécante suivant des cercles doublement tangents à la section (^).

se.

De la cyclide du 3^ degré.

Si la surface du second degré est dépourvue de centre , les résultats que nous avons établis subissent quelques modifications, que nous allons étudier. D'abord, la cyclide est seulement du 3® degré.

En effet, prenons une des deux séries de plans parallèles coupant la déférente suivant une seule droite. A chacune de ces droites correspond un cercle situé dans un plan perpendi-

(^) On pourra consulter un article de l'auteur [Nouvelles Annales de Mathématiques, 1864), où se trouvent quelques théorèmes relatifs à cette surface.