SUR UNE CLASSK REMARQUABLE

culaire à la droite, et les plans de tous ces cercles se coupent suivant une droite d , perpendiculaire à la série de plans parallèles coupant la déférente suivant une seule génératrice. La droite ô , contenant une infinité de points de la cyclide, fera partie de la surface. La cyclide passe donc par le pôle, et contient deux droites ô ,d' , perpendiculaires aux plans directeurs de la déférente. Le plan de ces deux droites coupe la cyclide suivant une troisième droite rejetée à Finfini, et tous les plans passant par l'une ou Fautre des droites è , d' coupent la surface suivant un cercle. La cyclide est donc du 3® degré, et nous pouvons énoncer, sans insister davantage, les propositions suivantes :

Quand la cyclide esl du 3^ degré, elle contienl une droite dans le 'plan de l'infini, on mène les cinq plans tangents triples qui passent par celte droite; les points de contact de ces plans tangents sont les cinq pôles de la surface. En chacun de ces pôles se croisent deux droites de la surface, en tout iO droites, par lesquelles passent tous les plans coupant la cyclide suivant des cercles.

La cyclide contiendra en outre une série de sections coniques situées dans des plans parallèles, qui contiennent la droite à l'infini sur la surface.

On sait que toute surface du 3® degré a 27 droites. Nous trouvons les 16 qui nous manquent, et qui appartiennent à toute cyclide, même du 4® ordre.

Des podaires ou réciproques de quadripes.

Considérons maintenant le cas où la déférente (A) est tangente à la sphère (S) . Le tétraèdre conjugué commun a deux sommets réunis au point de contact des deux surfaces. Les deux sphères directrices correspondantes se réduisent à un point; leur centre commun est le point de contact de (A) et de (S) . Ainsi, une des sphères directrices se réduit à un point 0 .

Soit (Al) la déférente associée à ce point-sphère. La cyclide sera l'enveloppe des sphères ayant leur centre sur (Aj) et passant par le point 0 . Elle sera donc le lieu des symétriques du pomt 0 par rapport aux plans tangents de (A,). Le lieu ainsi formé est évidemment homothétique à la podaire de (A,) par rapport au point 0 . Donc

La cyclide est une podaire de quadrique.

On sait d'ailleurs que les podaires de quadriques sont aussi les transformées par rayons vecteurs réciproques d'autres quadriques.

Appliquons notre règle générale pour obtenir les différents modes de génération.

Les quatre lignes doubles de la développable (Aj) (S) deviennent ici : 1^ la courbe de contact du cône circonscrit à (AJ et de sommet 0 ; 2" les trois couples de focales de ce cône. Les cinq modes de génération seront formés :

1°, 2° Avec (A,) et le point-sphère 0, ce mode comptant pour 2 ;

3", 4°, 5° Avec chacune des trois surfaces homofocales à (A,) passant par 0 ; les sphères directrices seront tangentes en 0 à la déférente qui leur est associée, et auront leur centre dans le plan polaire de 0 par rapport à (A,) .

Analytiquement le cas actuel correspond à une racine double de l'équation en l de l'article 43.

Si la quadrique (A) se réduit à une conique infiniment aplatie, située dans un plan (P) , alors les sphères ayant leurs centres sur cette conique passeront par deux points fixes symétriques par rapport au plan de la conique, et seront tangentes à la cyclide en tous les points d'un cercle. L'hypothèse que nous examinons est évidemment la seule dans laquelle les sphères soient inscrites à la cychde suivant un cercle. Car le lieu des centres d'une telle suite de sphères doit être une courbe, et par conséquent une conique. Et d'ailleurs, si elles coupent à angle droit une sphère quelconque (S), elles coupent aussi à angle droit toutes les sphères passant par l'intersection