SUR UNE CLASSE UEMARQUABLE

de (S) et du plan des centres, c'est-à-dire qu'elles contiennent toujours deux points réels ou* imaginaires. Ces deux points sont des points coniques de la cyclide. En transformant la cyclide par rayons vecteurs réciproques et mettant le pôle en un de ces deux points, on aura une quadrique à point double, c'est-à-dire un cône général du second degré. Donc

Les cyclides à deux points doubles sont les réciproques des cônes du second degré.

Remarquons toutefois que la transformation par laquelle on déduit le cône de la cyclide n'est pas nécessairement réelle.

Soit (A) la conique déférente, 0 le point commun à toutes les sphères, et Oj le symétrique de 0 par rapport au plan de (A) . Les trois nouvelles déférentes seront les surfaces ayant (A) pour focale, et passant en 0 , Oj . Les sphères directrices seront tangentes en 0 , Oi à la <léférente qui leur est associée, et auront leur centre dans le plan de (A) ; elles couperont par conséquent leur déférente suivant deux cercles. Ainsi les focales de la cyclide seront les six cercles ayant leurs centres dans le plan de (A) et appartenant aux trois surfaces homofocales qui passent en 0 , 0, . Ce fait donne lieu à la remarque suivante.

La cyclide étant la réciproque d'un cône, les focales de la cyclide sont les transformées des 6 droites focales du cône. Ce sont par conséquent des cercles; mais, comme les focales du cône sont situées trois à trois dans quatre plans tangents au cercle de l'infini, nous voyons que les six cercles focaux de la cyclide sont trois à trois sur quatre sphères de rayon nul. En rapprochant ce résultat du précédent, nous obtenons la proposition qui suit :

Les six cercles de trois quadriques homofocales qui passent par un point commun et qui ont leurs centres dans le même plan principal sont situés trois à trois sur quatre sphères de rayon nul. Ces quatre sphères sont des points de la focale située dans le plan principal considéré.

Il est à remarquer que les tangentes à la cyclide en un des points coniques 0 , Oj forment un cône supplémentaire du cône de même sommet, ayant la conique déférente (A) pour base. Ce dernier cône est donc supplémentaire du cône réciproque de la cyclide à deux points doubles (^).

De la cyclide de M. Dupin, ou cyclide à quatre points coniques.

Parmi les réciproques de cônes du second degré se trouvent le tore et la cyclide de M. Dupin, qui sont les réciproques des cônes de révolution du second degré. Ceci nous conduit à préciser les conditions dans lesquelles on obtiendra la cyclide de M. Dupin.

Supposons qu'on prenne une conique déférente quelconque (A) , mais que la sphère directrice (S) soit tangente en

(*) Dans la classe que nous étudions, et qui est caractérisée par cette propriété, que la déférente et la sphère directrice soient doublement tangentes, il existe une espèce remarquable de cyclides que, dans cette étude générale, nous laissons de côté. Ce sont les cyclides de révolution qui peuvent être considérées comme ayant pour déférente une surface de révolution, et pour sphère directrice une quelconque des sphères coupant suivant deux cercles parallèles cette surface de révolution. La directrice et la déférente sont bien doublement tangentes, mais en deux points sur le cercle de l'infini. Quand les cyclides à deux points doubles considérées dans le texte ont ces deux points doubles imaginaires, le cercle lieu des points à distance nulle des deux points doubles est réel, et en mettant le pôle de transformation en un point quelconque de ce cercle, la cyclide se transforme en une cyclide de révolution.

Toutes les cyclides réciproques de cônes ou de cyclides de révolution sont définies par une équation de la forme

entre les tangentes menées à trois quelconques des sphères inscrites. Quatre de ces sphères se réduisent à des points réels ou imaginaires, qui sont sur le cercle déjà considéré, lieu des points à distance nulle des deux points doubles.

160 «tn UNE CLASSE REMAROUAfiLE

deux points a , a' à la conique (A) . Les deux points-sphères 0 , Oi de l'article précédent étant doublement tangents en a , a' à (A) , seront des points de la focale (A,) de (A) ; le cône de sommet 0 et de base (A) sera de révolution, et par suite, d'après les résultats de l'article précédent, la cyclide sera une réciproque de cône de révolution.

Donc, la cyclide de M. Dvpin est Foiveloppe des sphères dont les centres décrivent une conique quelconque (A) et qui passent par un point de la focale (Aj) de celle conique, ou, plus généralement, qui sont orthogoncdes à une sphère quelconque doublement tangente à (A).

Cette cyclide a évidemment quatre points doubles 0 , Oi , a , a' , dont deux au moins sont imaginaires, mais qui peuvent l'être tous •.0,0, et a , a' sont alors deux à deux imaginaires conjugués. Le cône de sommet 0 et de base (A) étant de révolution, la cyclide sera la réciproque d'un cône de révolution; mais la transformation ne pourra pas toujours se faire d'une manière réelle. Voyons ce que deviennent ici les cinq modes de génération de toute cyclide. On a

1% 2° Conique déférente (A) , sphère directrice réduite à un point 0 ou Oi , ou toute sphère tangente en a , a' à (A) . Ce mode compte pour deux;

3°, 4° (A,) Conique focale de (A) déférente, sphère directrice réduite à un point a ou a', ou toute sphère tangente en 0 , Oj à (A,) . Ce mode compte aussi pour deux;

5° Déférente, la quadrique ayant (A) et (A,) pour focale, et passant en 0 , Oj , a , a' , qui sont des ombilics de cette surface; sphère directrice, la sphère tangente en 0 , 0, , a , a' à cette qnadrique et la coupant suivant les 4 droites 0 a , 0 a' , O^a , O^a' .

Ainsi, la cyclide de M. Dupin, ou cyclide à quatre points doubles, admet deux séries de sphères inscrites dont les centres décrivent deux coniques focales l'une de l'autre; elle a quatre points doubles, situés par couples sur ces deux focales 0 , 0 et a , a' et contient les quatre droites de longueur nulle qui joignent 0 , Oj à a , a'.

De plus, elle admet une série de sphères doublement tangentes, dont les centres décrivent une quadrique quelconque, et qui sont orthogonales à une sphère fixe. Cette sphère est tangente à la quadrique en deux de ses ombilics, et par conséquent la coupe suivant quatre droites qui forment un quadrilatère dont les sommets sont les quatre points doubles de la cyclide.

Nous avons vu que la cyclide est la réciproque d'un cône, et cette propriété rend, pour ainsi dire, évidentes toutes les propositions relatives à cette surface. Mais on peut aussi, comme l'a fait M. Mannheim (^), considérer la cyclide comme la transformée d'un tore. Nous savons qu'un au moins des couples 0 , Oi et a , a' de points coniques de la cychde est imaginaire. Si a et a' par exemple sont imaginaires, le cercle lieu des points à distance nulle de a , a' sera réel. En prenant le pôle en un point de ce cercle, la transformée de la cyclide sera un tore, car les cercles qui passaient en a , a' auront après la transformation leurs plans parallèles. Donc,

Pour transformer la cyclide en un tore, il faut placer le pôle de transformation sur un des deux cercles lieux des points à distance nulle soit de 0 et de 0^ , soit de a et de a' . Ces deux cercles peuvent être réels tous les deux (quand les quatre points doubles sont imaginaires). Il y en aura toujours au moins un qui sera réel.

Ainsi, on peut toujours déduire la cyclide du tore par une transformation réelle.

Nous n'étudierons pas la cyclide d'une manière plus détaillée, et nous indiquerons seulement la proposition suivante : Il y a une cyclide à trois 'plans de symétrie. Étant donné un cône de révolution, transformons-le par rayons vecteurs réciproques, et prenons le pôle 0 de transformation dans le plan principal perpendiculaire à l'axe. La

(') Mannheim : Application de la Lransformation par rayons vecteurs réciproques à l'étude de la surface enveloppe d'une sphère tangente à trois surfaces données. [Nouvelles Annales de Mathémaliques, 1860, p. 67.)

162 SUR uniî: classe iiemauquaulf;

cyclide réciproque aura trois plans de symétrie : 1° le plan principal contenant le pôle 0; 2° le plan passant par ce pôle et par l'axe de révolution; 3° le plan réciproque de la sphère concentrique au cône et passant en 0 .

L'équation de cette cyclide serait de la forme

Nous venons d'énumérer dans cet article et dans le précédent les surfaces dans lesquelles on peut inscrire des sphères. On peut être surpris de ne pas voir figurer parmi ces surfaces les réciproques des surfaces de révolution. Cela tient à un fait général :

Toule surface réciproque d'une surface de révolution est aussi une réciproque de cône.

En effet, toutes les sphères inscrites dans une surface de révolution ont leurs centres en ligne droite, et coupent à angles droits tous les plans passant par l'axe. On voit donc que les sphères réciproques couperont à angles droits toutes les sphères passant par un cercle; en particulier, elles contiendront les deux sphères de rayon nul passant par ce cercle. Ainsi, la surface réciproque sera l'enveloppe d'une suite de sphères passant par deux points fixes (imaginaires), et, en plaçant le pôle de transformation en un de ces points fixes, elle se transformera en un cône (^).

Des cyclides ayant pour déférentes les surfaces inscrites dans la sphère.

Enfin, si la déférente était un cône, la cyclide se réduirait à la sphère ayant pour centre le sommet du cône, et orthogonale à la sphère directrice; ou plutôt, elle se réduirait à une portion de cette sphère.

(^) Les réciproques de surfaces de révolution du second degré présentent une propriété remarquable; elles ont trois points doubles dont deux sont imaginaires.

DE COUUBES KT DE SURPACKS ALGÉBIUQUES. i63

Si la déférente est une surface de révolution inscrite dans la sphère, la ligne de contact de cette quadrique est une ligne double de la cyclide, qui se décompose par conséquent en deux sphères se coupant suivant cette ligne double, réciproques l'une de l'autre par rapport à la sphère directrice. Ces sphères auront pour centres les deux foyers de la surface de révolution.

L'étude de ce cas simple nous sera très utile dans la suite; mais nous pouvons dès à présent reconnaître que les remarques précédentes sont d'une grande importance dans la théorie des surfaces inscrites à une même quadrique, théorie qui a été l'objet de beaux travaux de plusieurs géomètres, et notamment de MM. Cayley et Casey.

On voit, en efTet, qu'à une série de surfaces inscrites à une quadrique (qu'on peut supposer être la sphère (S)) correspondent des anallagma tiques formées de deux sphères réciproques l'une de l'autre par rapport à la sphère (S) .

La théorie des surfaces inscrites dans une quadrique est ainsi ramenée à celle d'un système de sphères^ c'est-à-dire de quadriques contenant une courbe fixe.

Nous allons donner quelques exemples.

Supposons que l'on propose de construire une surface inscrite à (S) et tangente à quatre plans. Les deux sphères correspondantes à cette surface devront passer chacune par 4 des 8 points correspondants aux 4 plans, ce qui donnera 8 solutions. Chaque groupe de deux sphères étant connu, on en déduira la déférente qui aura pour foyers les centres des deux sphères, et qui contiendra leur cercle d'intersection. Elle sera ainsi complètement déterminée.

Étant données quatre sphères, on sait que, si par les intersections de ces sphères prises deux à deux, on fait passer d'autres sphères, orthogonales à une sphère fixe (S) , ces six sphères se coupent en deux points. Donc,

Étant données quatre surfaces inscrites à une quadrique, les 12 sommets des cônes circonscrits à deux de ces surfaces

164 SUR UNE CI.ASSR RIvMARQUARLK

sont 6 à 6 dans 8 plans. C'est la généralisation d'un théorème connu pour les sections coniques.

Enfin, le problème suivant :

(( Construire une quadrique inscrite à (S) et tangente à quatre autres quadriques inscrites à (S) , »

se ramène à celui-ci :

Construire une sphère tangente à quatre sphères données.

On pourrait multiplier les exemples; mais nous préférons faire remarquer que le mode de transformation indiqué ici supplée à une lacune que présente la géométrie de l'espace par rapport à la géométrie plane.

En effet, dans le plan, on peut raisonner de la manière suivante :

Soient les sections planes d'une sphère ; si on les projette d'un point de la sphère sur le plan, elles deviennent des cercles; si on les projette d'un point extérieur à la sphère, elles se transforment en des coniques doublement tangentes à un cercle. On voit donc, dans le plan, que la théorie des courbes inscrites à une conique et celle des courbes passant par deux points sont identiques l'une à l'autre, et constituent, s'il est permis de le dire, une seule théorie vue sous deux aspects différents, celle des sections planes d'une quadrique.

Comme on n'a pas d'espace à quatre dimensions, les méthodes de projection ne s'étendent pas à la géométrie de l'espace; mais les remarques et les méthodes qui précèdent ont l'avantage de suppléer, d'une manière claire, à celles qui nous font ici défaut.

Des sections planes et sphériques des cyclides.

Cherchons d'abord les droites qui sont placées sur la cyclide, et qui rencontrent le cercle de l'infini. Soit $ l'une de ces droites. Elle sera nécessairement tangente à chacun des cinq cônes doublement tangents à la cyclide, et Ton pourra

par conséquent mener un plan tangent à ce cône par la droite § .

Ce plan tangent, qui doit couper la surface suivant deux cercles, devra contenir une droite §' qui, associée à ^, puisse former un cercle de rayon nul. Nous aurons donc toutes les droites de la cyclide, en examinant, dans une quelconque des cinq séries doubles de cercles, quels sont ceux de ces cercles qui se décomposent en deux droites.

Les centres de ces cercles doivent évidemment appartenir à la fois à la cyclide et à sa focale. Chaque cyclide est coupée en 8 points par une de ses focales, et par ces 8 points passent 16 droites qui appartiennent à la cyclide.

Ces 16 droites forment 8 cercles de rayon nul, dérivés des génératrices de la déférente qui sont tangentes à la sphère directrice.

Dans un Mémoire déjà cité, M. Clebsch a étudié les dispositions relatives de ces 16 droites; mais nous voyons ici que cette étude se ramène à celle d'un problème connu. Si, en effet, on transforme la cyclide par rayons vecteurs réciproques, en mettant le pôle de transformation sur la surface, elle se transforme en une cyclide du 3® degré. Les droites qui rencontrent le cercle de l'infini se transforment en de nouvelles droites rencontrant le même cercle. Donc

La disposition des 46 droites dime cyclide est la même que celles des droites d'une surface du 3^ degré qui rencontrent une conique de celte surface (^).

Quant aux 11 autres droites de la cyclide cubique, transformée de la cyclide générale, nous les avons déjà étudiées. L'une est à l'infini dans le plan tangent à la première cyclide au pôle. Les 10 autres sont les réciproques des 10 cercles qui passent au pôle.

(*) Depuis la présentation de ce Mémoire à l'Académie en 1869, M. Geiser, de Zurich, naturellement sans connaître notre travail, a développé la même méthode dans un Mémoire inséré au Journal de Borchardt, t. LXX, p. 249.

Considérons maintenant les sections par des plans et des sphères quelconques. Une remarque générale nous servira de guide dans l'étude de cette question.

Supposons que, étant donnée une sphère directrice, on prenne pour surface déférente une développable quelconque. Aux plans tangents de cette développable correspondent les points d'une courbe anallagmatique (r) . A toute ligne tracée sur la développable correspondra une surface enveloppe de sphères contenant cette courbe, et chacune des sphères sera, en général, tangente à la courbe en deux points a , a' , réciproques l'un de l'autre par rapport à la sphère directrice, A toute ligne double de la développable correspondra au contraire une surface enveloppe de sphères contenant la courbe (r,), et telle que chaque sphère soit tangente à la courbe en quatre points a , a' ,b , b' , réciproques par couples par rapport à la sphère directrice.

Cela posé, soient (2) , (2') deux anallagmatiques par rapport à la même sphère directrice, et soient (B) , (B') leurs déférentes. Il est clair que, à tout point commun à (I) , (2') , correspondra un plan tangent commun à (B) , (B'), et par conséquent les points de la courbe d'intersection des deux anallagmatiques seront dérivés des plans tangents de la développable circonscrite à (B) et à (B').On pourra appliquer à cette développable toutes les remarques que nous venons de faire.

Si l'une des deux surfaces n'est pas anallagmatique, on pourra lui adjoindre sa réciproque par rapport à (S), et ces deux surfaces constitueront ainsi un système anallagmatique (I).

Soit, par exemple, une cyclide définie par la déférente (A) , et cherchons son intersection avec une sphère (S') , orthogonale à (S) , de centre C . La sphère (S') est l'anallagmatique dérivée du point C ; car tous les plans passant par C donnent des points de (S') . La développable circonscrite aux deux déférentes est donc le cône de sommet C circonscrit à la quadrique (A) . Donc

Aux coniques de la déférente correspondent sur la cyclide les sections par des sphères orthogonales à (S)^ et ayant leur centre au pôle du plan des coniques par rapport à la déférente.

Etudions maintenant l'intersection de deux cyclides ayant même sphère directrice (S) , et ayant pour déférentes deux quadriques quelconques (A) , (A') .

Les points communs aux deux cyclides seront dérivés des plans de la développable I (A) (A') , et aux coniques doubles de cette développable correspondront quatre cyclides à deux points doubles, contenant l'intersection des cyclides données. Nous allons étudier des cas particuliers importants.

Supposons qu'on demande de déterminer l'intersection d'une cyclide et d'une sphère (U) , de centre C quelconque. Adjoignons à cette sphère la réciproque (U') par rapport à (S) et de centre C, et les deux sphères constitueront un système anallagmalique, qui admettra pour déférente une surface de révolution (B) , ayant pour foyers les centres C , C des deux sphères, et inscrite à la sphère directrice (art. 59) en tous les points où celle-ci est rencontrée par (U). ou par (U') .

Si (A) est la déférente de la cyclide, la développable

(A) (B) , considérée comme surface déférente, nous donnera

les points d'intersection de (U) et de la cyclide. Les quatre coniques doubles de cette développable donneront quatre cycHdes enveloppes de sphères, contenant la courbe; et les sphères inscrites dans ces quatre cyclides couperont la sphère sécante suivant quatre séries de cercles doublement tangents à la section cherchée.

On aura donc les éléments nécessaires pour déterminer cette cyclide, et l'on voit que les quatre cônes ayant pour sommet le point C et pour bases les quatre lignes doubles sont les lieux des centres des sphères de chaque série doublement tangentes à la courbe de section. Ces cônes sont homofocaux. Quant aux sphères contenant les focales de la section, elles coupent la sphère (S) suivant les mêmes cercles que les plans des lignes doubles correspondantes de la développable

(A) (B) . Comme elles sont aussi orthogonales à (U) , elles peuvent être considérées comme déterminées.

Comme application de ces constructions, cherchons la condition pour que la sphère sécante coupe suivant une courbe située sur un cylindre. Il faudra que Fune des focales soit plane, c'est-à-dire que le plan de l'une des lignes doubles de

la développable (A) (B) passe au point C . Car, dans ce cas, le cône qui avait pour base la ligne double contenue dans ce plan, et qui contenait les centres des sphères tangentes doubles d'une série, se réduira à un plan. Ainsi il passera par le point C, 4, 2, 3 des faces du tétraèdre conjugué à (A) et à (B) , suivant que la courbe sera sur i, 2 ou 3 cylindres. Cherchons d'abord la condition pour qu'un seul cylindre contienne la courbe.

Soit (P) le plan passant par C et ayant môme pôle par rapp.ort à (B) et à (A) . Comme C est le foyer de (B) , ce pôle devra être sur une perpendiculaire. élevée à (P) en C. Or, il n'y a que trois plans passant par le point C et ayant leurs pôles par rapport à (A) sur une droite perpendiculaire. Ce sont les trois plans de symétrie du cône de sommet C , circonscrit à (A) . Ces plans une fois connus, le reste de la construction ne présente aucune difficulté.

Une application plus intéressante consiste dans la détermination des coniques sphériques qui se trouvent sur la cyclide. Alors le point C , foyer de la surface (B) et centre de la sphère sécante, devra avoir même plan polaire par rapport à (B) et à (A) . Son plan polaire par rapport à (A) devra donc être perpendiculaire à l'axe focal OC de la surface de révolution (B) (0 est le centre de la sphère directrice). Ainsi,

Le lieu des centres des sphères coupant la cyclide suivant une conique sphérique est une courbe telle que le plan polaire d'un de ses points C par rapport à (A) soit perpendiculaire à la droite OC.

Cette courbe se rencontre dans la théorie des normales à une quadrique. C'est une cubique gauche passant par le point 0 , par le centre de (A) , ayant pour directions asympto-

tiques les axes de (A) , passant par les pieds des normales menées de 0 à (A) , etc.

Nous obtenons donc le théorème suivant ;

Si des centres des cinq sphères directrices on abaisse des normales sur les déférentes correspondantes , on obtient 30 points qui avec les 5 centres des sphères directrices sont sur une cubique gauche ayant pour directions asymptotiques les axes de symétrie des déférentes, et passant par leur centre. Cette cubique gauche est le lieu des centres des sphères coupant la surface suivant des coniques sphériques.

A chaque point C de la cubique correspond une seule sphère (U) , qu'on déterminera ainsi. Soit (P) le plan polaire de G, perpendiculaire à OC. La surface de révolution inscrite à (S) , ayant C pour foyer, (P) pour plan directeur correspondant, sera la déférente de (U); (U) passera donc par le cercle de contact de cette surface, et, comme elle a son centre en C , elle est déterminée.

Parmi les sphères coupant suivant des coniques sphériques, il y en a plusieurs qui sont remarquables.

1° Les cinq sphères concentriques aux sphères directrices, mais ayant pour rayons ceux de ces sphères multipliées par y^^ï .

2° Celles qui ont leurs centres aux pieds des normales abaissées des centres des sphères directrices sur les déférentes correspondantes. Ces sphères coupent la cyclide suivanl deux de leurs grands cercles. La droite d'intersection des plans de ces cercles est donc une normale double de la cyclide.

Il y a donc cinq groupes de six normales doubles de la cyclide.

Il est utile de savoir déterminer les points à l'infini de toute section sphérique de la cyclide. On peut construire ces points de la manière suivante :

Soit (U) une sphère sécante de centre C.

Les points à l'infini de la section sont ceux du cercle de l'infini pour lesquels la sphère et la cyclide seront tangentes.

Les plans tangents en ces points devront passer par le centre de la sphère et être tangents à la développable circonscrite à la cyclide sur le cercle de Tinfini, c'est-à-dire à la développable focale (art. 53) circonscrite aux cinq déférentes.

Donc les points à rinfini de la section sphérique sont les points de contact avec le cercle de l'infini des quatre plans déterminant par leurs intersections les focales du cône de sommet G circonscrit à (A) . Ces points de contact sont évidemment sur les plans perpendiculaires aux focales de ce cône.

On voit que les points à Finfmi de la cyclique ne dépendent que du centre, et non du rayon de la sphère sécante.

Pour qu'ils viennent se réunir par groupes de deux, c'est-àdire pour que la cyclique devienne une cartésienne, il faut et il siifjit que la sphère sécante ait son centre sur une des focales des déférentes.

Si le centre de la sphère s'éloigne à l'infini sur la focale, elle se transforme en un plan perpendiculaire à l'asymptote de la focale, et ce plan coupe suivant des ovales de Descartes.

Il tj a donc six séries de sections parallèles donnant des ovales de Descartes. Deux de ces séries seulement sont réelles.

On peut encore établir ce résultat de la manière suivante :

Les deux nappes de la cyclide qui se croisent au cercle de l'infini sont tangentes l'une à l'autre en quatre points, qui sont les points de contact avec le cercle de l'infini des quatre génératrices suivant lesquelles la développable circonscrite aux déférentes (A,) est coupée par le plan de l'infini. Donc tous les plans passant par deux de ces quatre points couperont la cyclide suivant une courbe ayant deux rebroussements à l'infini; ce sera donc une cartésienne plane.

Les directions de ces sections cartésiennes sont aussi celles des sections circulaires des quadriques (V) de l'article 41 inscrites dans la cyclide.

Dans le cas où la cyclide aurait pour déférente une surface de révolution, c'est-à-dire serait une cartésienne (art. 55), les

deux séries d'ovales de Descartes réelles viendraient se confondre en une seule. Les cyclides cartésiennes correspondent donc aux surfaces de révolution de la théorie de» cfuadriques.

Toute cyclide peut d'ailleurs être transformée en cartésienne par la méthode des rayons vecteurs réciproques. Il suffira (art. 24) de placer le pôle en un point quelconque de l'une des cinq focales.

En terminant, nous nous proposerons une question en quelque sorte réciproque des précédentes : Étant donnée une cyclique, peut-on la placer sur une cyclide d'une espèce donnée, par exemple sur un tore?

Soit (D) le cône de sommet a coupant la sphère (S) de centre 0 suivant la cyclique donnée. Les sphères doublement tangentes d'une même série seront toutes orthogonales à une sphère (S') de centre a , orthogonale à (S) , et elles auront leurs centres sur un cône (E) de sommet 0 , supplémentaire du cône (D) (art. 19). Pour que la cyclique soit sur un tore, il faudra que les sphères doublement tangentes de même rayon aient leurs centres sur un ou plusieurs cercles. Or toutes celles de ces sphères qui ont le même rayon auront leurs centres à l'intersection du cône (E) et d'une sphère (S") concentrique à (S') , c'est-à-dire sur une cyclique. Ces sphères enveloppent en général une surface du 8® ordre; mais cette surface se décompose en deux tores, si la cyclique des centres se décompose en deux cercles. Il faudra donc qu'une sphère (S"), concentrique à (S'), coupe le cône (E) suivant deux cercles, et, pour cela, la première condition est que le centre a de (S") soit dans un plan principal de (E), ou, comme (E) et (D) sont supplémentaires, qu'un plan de symétrie de (D) passe au centre 0 de (S) . Il faut donc que la cyclique, intersection de (S) et de (D) , ait un plan de symétrie. Cette condition, qui était évidente a priori, est d'ailleurs suffisante.

Soient, en effet, Oa , Oa' les génératrices du cône (E) situées dans le plan principal ; et soit Of le diamètre conjugué

à l'une des deux séries de sections circulaires de ce cône, qui sont perpendiculaires au plan [irincipal. Si du point a on

ab,iisse la perpendiculaire ay sur la direction de la section circulaire, elle rencontre le diamètre 0^ en un point y, et il est clair que la section circulaire de diamètre aa', dont le plan passe en 7, sera sur une sphère de centre a , coupant le cône suivant deux cercles aa', §à' . A ces deux cercles correspondent deux tores, qui contiennent la cyclique, et dont les axes sont les droites ay ^cii , focales du cône (D) . Aux deux autres cônes passant par la courbe correspondent quatre nouveaux tores. Donc,

Quand une cyclique a un 'plan de symétrie, elle peut être placée sur six tores, dont les axes sont les focales situées dans le plan de symétrie des trois cônes passant par la courbe.

On voit par ta construction précédente que, si la cyclique est une cartésienne, il n'y a pas de tore contenant la courbe. Les droites ay ,0y sont parallèles, et les tores se réduisent aux trois cônes contenant la cyclique. Cette remarque sépare les cartésiennes des autres cycliques à plans de symétrie.

La question précédente a été traitée pour les cycliques planes par M. de la Gournerie dans son Mémoire, déjà cité, sur les lignes spiriques.

La détermination des cyclides à quatre points doubles contenant une cyclique ne présenterait aucune difficulté. Les points doubles de ces cyclides décrivent les focales; les coniques déférentes sont sur un des cônes contenant les focales, et leurs plans enveloppent un autre cône contenant la même focale, etc.

Du système orthogonal formé par les cyclides homofocales, et des propriétés d'une méthode de transformation déjà définie.

Nous avons vu (art. 44) comment le mode de génération des surfaces anallagmatiques, proposé par M. Moutard, revient à un procédé de transformation des figures, dans lequel à un point fx de la première figure correspondent, dans la deuxième figure, deux points m ,m' , par la construction suivante.

Soit (P) le plan polaire de [j. par rapport à la sphère (S) . Les points m , m' sont les centres des sphères de rayon nul passant par Tintersection de (P) et de (S) .

Quand le point u. décrit une surface (A) , le plan (P) enveloppe une surface (A') , et les deux points m , m' décrivent une surface anallagmatique ayant (A') pour déférente, (S) pour sphère directrice.

Le plan P est tangent en un point M à (A') , et comme Mm , Mm' sont les normales en m , m' à Tanallagmatique, nous concluons que

Les plans tangents en m , m' à Panallaymatique et le plan tangent en y- à (A) vont se couper suivant une même droite située dans le plan (P) , et qui est la polaire du point M par rapport au cercle, intersection de (S) et de (P) .

De cette importante proposition, qui donne la construction des plans tangents et qui s'applique évidemment aux tangentes à deux courbes correspondantes, nous allons déduire un principe énéral, tout à fait analogue à celui de la conservation

174 SUK UNE OLASSK HEMARQUABLE

des angles dans la transformation par rayons vecteurs réciproques. A cet effet, nous rappellerons quelques définitions.

Plusieurs géomètres, et en premier lieu M. Cayley, en vue de généraliser les déterminations métriques de la géométrie, ont substitué au cercle de l'infini, dans la définition des angles, une quadrique quelconque (Q) . Étant donnés deux plans (P) , (P') , si par leur intersection on mène deux plans tangents (T) , (T') à la quadrique (0) , on peut appeler angle des deux plans la fonction Y définie par Féquation

e^^^ = ^, V = -i.logR,

R désignant le rapport anharmonique des quatre plans (P) , (P' ) , (T) , (T') . Si les deux plans (P) , (P') sont conjugués dans la quadrique, l'angle V est droit, le rapport anharmonique R étant égal à — i .

De même, on appelle angle de deux droites une fonction V définie par l'équation

e^i^' = W, V'=-^logR',

R' étant le rapport anharmonique des deux droites et des tangentes menées dans leur plan et de leur point de rencontre à la quadrique (Q) . 11 est clair que, si les deux droites sont conjuguées dans la quadrique, leur angle ainsi défini est droit.

Les définitions précédentes concordent avec les définitions habituelles, quand la quadrique (Q) devient le cercle de l'infini. Pour distinguer les angles tels que nous venons de les définir, nous les appellerons angles par rapport à la quadrique (Q) .

Cela posé, la transformation que nous étudions possède une propriété fondamentale : elle conserve les angles, c'est-à-dire que les angles de la première figure, mesurés par rapport à la sphère (S) , sont égaux aux angles ordinaires de la seconde.

Soient, en effet, ut , y-t' les tangentes à deux courbes pas-

sant en u et allant rencontrer en deux points t ,t' le plan polaire (P) de p- Les tangentes en m aux deux courbes anallagmatiques correspondantes iront rencontrer les premières tangentes aux deux points ^ , f. D'ailleurs la droite tl' coupe la sphère en deux points a , a' , et il est clair que les deux faisceaux de quatre droites

mt . mt' , ma , ma' ,

ont le même rapport anharmonique R .

Mais les deux droites [j-a , [j-a' sont des tangentes à la sphère,, puisque ij- est le pôle du plan (P) contenant a ,a' . L'angle V [dans la sphère (S)] des droites [J-t , y-l' est donc égal à

De même, puisque m est le centre d'une sphère de rayon nul passant par l'intersection de (S) et de (P) et, par conséquent, par a , a' ; ma , ma' sont des droites allant rencontrer le cercle de l'infini, et par suite l'angle ordinaire des droites mt , mt' est aussi égal à

La proposition est donc démontrée pour l'angle de deux courbes; elle subsiste d'ailleurs pour l'angle de deux surfaces, ou pour l'angle d'une surface et d'une courbe.

Les conséquences les plus importantes de ce principe de la conservation des angles se rapportent au cas où les angles sont droits, et, en nous souvenant que les directions à angle droit dans la sphère sont celles qui sont conjuguées dans cette surface, nous pouvons énoncer les propositions suivantes :

Si les tangentes à deux courbes de la première figure en leurs points communs sont conjuguées dans la sphère, les courbes anallagmatiques correspondantes se coupent à angle droit.

Si deux surfaces de la première figure se coupent en des

points pour lesquels les plans tangents sont conjugués dans la sphère (S) , les surfaces anallagmatiques correspondantes se coupent à angle droit.

Si Ton a, dans la première figure, un système triple formé de surfaces telles que, en tous les points communs à deux surfaces, les plans tangents soient conjugués dans la sphère, le système triple d'anallagmatiques correspondant sera formé de surfaces orthogonales.

Plus généralement,

Toutes les fois qu'on aura un système triple de surfaces telles que, en tous les points communs à deux d'entre elles, les plans tangents soient conjugués dans une quadrique fixe (Q) , on pourra déduire de ce système un système triple orthogonal.

Il suffira, en effet, de transformer par l'homographie le système entier de manière que (Q) devienne une sphère, et d'appliquer alors la proposition précédente. On peut encore, en tenant compte des définitions qui précèdent, énoncer ainsi le théorème :

De tout système triple orthogonal par rapport à une quadrique, on peut déduire un système triple orthogonal ordinaire, et réciproquement.

L'existence du système triple orthogonal formé par les cyclides homofocales est une conséquence directe des propositions précédentes.

Soient, en effet, une suite de quadriques inscrites dans une même développable circonscrite à la sphère (S) . Nous avons vu (art. 47) que les cyclides correspondantes sont homofocales; et d'ailleurs, comme il passe trois quadriques réelles du système par tout point intérieur à la sphère (S) , il passera trois cyclides homofocales, toujours réelles, par tout point réel de l'espace. Comme les plans tangents à deux quadriques en un point commun à ces deux surfaces sont conjugués dans la sphère, les cyclides correspondantes se couperont à angle droit.

Généralisation des notions de normales, de focales et de lignes de courbure.

Étant donnée une surface quelconque, joignons chacun de ses points au pôle du plan tangent à la surface, par rapport à une quadrique fixe que nous pouvons supposer être la sphère (S) . On aura ainsi, pour chaque point de la surface considérée, une droite que nous appellerons la normale [par rapport à (S) ] de la surface.

Une ligne de courbure sera le lieu des points pour lesquels les normales ainsi définies forment une surface développable.

De même, on appellera focale [par rapport à (S)] de la surface les lignes doubles de la développable circonscrite à (S) et à la focale.

En adoptant ces définitions, qui constituent une extension naturelle de celles qui sont en usage, nous allons voir que notre méthode de transformation, qui conserve les angles, conserve aussi les lignes de courbure et les focales, c'est-àdire qu'elle transforme les lignes de courbure et les focales, telles que nous venons de les définir, en lignes de courbure et en focales ordinaires de Fanallagmatique. Commençons par les focales.

Nous avons vu (art. 43) que, si l'on circonscrit à une surface (B) et à la sphère une développable (A), à (A) correspond dans la deuxième figure une développable (A')? circonscrite à Fanallagmatique (2) correspondante de (B) , et au cercle de l'infini. Les lignes doubles de ces développables sont aussi correspondantes^ et comme elles sont, par définition et respectivement, les focales de (B) [par rapport à (S) ] et les focales ordinaires de l'anallagmatique, on voit que les focales se conservent dans notre transformation. 11 importe cependant de faire une exception : la courbe de contact de (A) et de (S),

qui n'est pas courbe double de (A), est courbe double de ( A') , et par conséquent focale de (2) ,

Considérons maintenant les lignes de courbure de (B) [par rapport à (S) ] . En tous les points d'une telle ligne (r) , les normales forment une développable (R) . A cette courbe (r) correspond sur (2) une ligne (r') , et la développable (R) a pour homologue une surface enveloppe de sphères (R') , dont tous les cercles sont normaux à (2) en tous les points de (r') , d'après le principe de la conservation des angles. Puisque (r') coupe à angle droit tous les cercles de (R'), cette surface admettra (F') comme ligne de courbure, et puisque (2) et (R') se coupent à angle droit, (F') sera aussi ligne de courbure de (2) , ce qu'il fallait démontrer.

Puisque les lignes de courbure se correspondent et que les angles se conservent dans notre transformation, on pourra étendre l'important théorème de M. Dupin sur les systèmes orthogonaux aux lignes de courbure générahsées, et donner la proposition suivante :

Un système triple orthogonal par rapport à une quadrique est formé de surfaces se coupant suivant leurs lignes de courbure (par rapport à cette quadrique).

Ce théorème suffit à la détermination des lignes de courbure d'une quadrique (A) par rapport à une quadrique (Q). Ce seront les lignes suivant lesquelles (A) sera coupée par les

quadriques inscrites dans la développable | (A) (Q) . Mais on

en déduit surtout cette nouvelle définition des lignes de courbure généralisées :

Les lignes de courbure de toute surface par rapport à (Q) sont les lignes passant en un point de la surface, et dont les deux tangentes sont conjuguées à la fois dans l'indicatrice de la surface et dans la quadrique (Q).

On pourrait ajouter à ces exemples l'extension du théorème de Joachimsthal , d'après lequel, si deux surfaces ont une ligne de courbure commune, elles se coupent sous un angle constant. Nous réservons pour le moment toutes ces consé-

quences, ainsi que l'extension très intéressante de la notion de ligne géodésique, et nous allons terminer par quelques applications à la théorie des cyclides.

On sait, par exemple, que, étant données deux quadriques (Q) 5 (Q') 5 homofocales par rapport à (S) [c'est-à-dire inscrites dans une développable circonscrite à (S)] , les droites tangentes à ces deux quadriques se groupent de deux manières différentes, en surfaces développables se coupant à angle droit dans (S) [c'est-à-dire telles que les plans tangents aux deux développables contenant une même droite soient conjugués dans (S)].

Les droites se transformant en cercles orthogonaux à (S) , nous pouvons énoncer le théorème suivant ;

Tous les cercles tangents à deux cyclides homofocales et orthogonaux à une des sphères directrices des cyclides peuvent se grouper de deux manières différentes sur deux séries de surfaces enveloppes de sphères. Ces surfaces se coupent à angle droit et par conséquent tous les cercles sont normaux à un troisième système de surfaces.

Les surfaces enveloppes de sphères sont tangentes à l'une des cyclides et ont leur arête de rebroussement sur l'autre, en sorte que les sphères enveloppées sont normales à l'une des cyclides et tangentes à l'autre.

Nous donnerons encore l'exemple suivant : Tous les cônes de même sommet circonscrits à des surfaces homofocales [par rapport à (S)] sont homofocaux. Donc

Deux points quelconques réciproques par rapport à (S) peuvent être pris pour sommets d'une série de cyclides à deux points doubles (réciproques de cône), circonscrites à toutes les cyclides homofocales.

Ces cyclides sont homofocales et orthogonales. Leurs focales sont les six cercles orthogonaux à (S) et appartenant aux trois cyclides du système orthogonal passant aux sommets considérés, ces six cercles sont trois à trois sur quatre sphères de rayon nul.

Si les deux sommets sont pris sur une des focales [non située sur (S)], ces cyclides deviennent des cyclides à quatre points doubles.

C'est la généralisation du théorème important sur les cônes de révolution circonscrits aux quadriques homofocales.