EG — F
1 ) d du dv d dv du^
Aj U) = — ^=^^ ) ______ + -^ =r-
l/EG — FM^^* |/EG— F' <^iM/EG — F^
Ces fonctions seront des invariants.
La détermination des lignes géodésiques dépendra de l'intégration de l'équation
A ,y = consl. ;
celle des lignes isothermes, de l'équation
L'équation différentielle des surfaces applicables s'exprime au moyen de ces invariants. En appelant x la coordonnée rectangulaire d'un point de la surface, on trouvera pour x l'équation différentielle du second ordre
k désignant la courbure de la surface.
La méthode que nous avons indiquée dans le texte est susceptible d'applications nombreuses. Pour le moment, nous nous contenterons de montrer comment elle conduit à l'équation différentielle qui détermine le rayon vecteur mené à un point fixe d'un point quelconque de la surface.
Rapportons la surface à des coordonnées polaires ordinaires r , 0 , 9 . On devra avoir
dr' + r'{clfj' + sm'^Odf') = Edu'+'2Fdndv + Gdv' ,
et par suite
dB^ + sm'0df' = \{Edîi' + 2Fdudv + Gdv') — ^ ■
Le premier membre est le ds- d'une sphère de rayon égal à l'unité. Il suffira donc d'exprimer que la surface pour laquelle la formule
ds' = - CE du' + '^Fdudv + Gdv') -^
donne la distance de deux points infiniment voisins a une courbure constante et égale à l'unité, et l'on aura ainsi l'équation différentielle à laquelle satisfait r. Cette équation est du second ordre.
DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES. d83
IVote lî.
Sur une démonstration analytique des théorèmes de Poncelet, et sur un nouveau système de coordonnées dans le plan.
La démonstration des théorèmes de Poncelet donnée à Tarticle 38 m'a paru mériter d'être développée, parce qu'elle conduit, sans l'emploi des fonctions elliptiques et au moyen d'une transformation analytique des plus simples, à la proposition fondamentale de Poncelet : Quand un polygone est à la fois inscrit à une conique et circonscrit à une autre conique^ il existe une infinité de polygones jouissant des mêmes propriétés. Depuis, en examinant la méthode employée, j'ai reconnu qu'elle pouvait être présentée d'une manière plus simple et plus directe, et qu'elle conduisait à des théorèmes ayant la plus grande analogie avec ceux de Poncelet et devant être considérés comme des généralisations des propositions de l'illustre géomètre. Quelques-uns des théorèmes contenus dans cette Note ont été déjà énoncés dans un travail sur les systèmes linéaires de coniques et de surfaces du second ordre, inséré au tome l du Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques. M. Em. Weyr, dans un article inséré au Journal de Borchardt, avait aussi rencontré, en étudiant les involutions sur les coniques, des propositions générales relatives à des courbes de degré supérieur, qui sont, au fond, équivalentes à l'un des théorèmes métriques de notre troisième partie, et que nous démontrons d'une manière directe dans la Note actuelle.
Considérons une section conique (K) , tracée dans le plan, et supposons qu'on obtienne toutes les tangentes à cette conique, en faisant varier le paramètre m dans l'équation
(1) am^-t- /3m + 7 = 0 ,
OÙ a , § , y désignent des coordonnées trilinéaires ou, si l'on veut, des fonctions linéaires des coordonnées ordinaires du point. L'équation de la conique (K) sera en conséquence
Si la tangente à cette conique doit passer par un point (a' , §' , 7') , m sera déterminé par l'équation
c/.'r)t + jS'm + 7' — 0 .
Désignons par p , p, les racines de cette équation, on aura
p-^Px PPl
et nous pourrons regarder le point (a',P',y') comme déterminé par les deux quantités p , p, , qui seront alors des coordonnées, d'une nature spéciale, du point. Quand p , (\ seront connus, les formules (3) détermineront a', ^',7'. On voit que, dans le nouveau système de coordonnées, un point est défini par l'intersection de deux tangentes à la conique (K) , et quoique les formules (3) nous permettent de passer très simplement des coordonnées p , p» aux coordonnées ordinaires, nous allons voir que l'emploi des nouvelles coordonnées variables peut être utile dans un grand nombre de questions.
Dans le nouveau système, l'équation de la conique (K) de base prend la forme
son premier membre devient un carré parfait. Cette propriété permet de décomposer les équations de certaines courbes.
Par exemple, toute conique doublement tangente à la courbe de base (R) a une équation de la forme
Dans le nouveau système, cette équation deviendra
à''{p — p,Y=[app, + &(o + ,0,) + cY ,
DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES. !l85
a ,b ,c , d désignant quatre constantes; ou, en extrayant la racine carrée,
d{p—pi)==appi-+- bip + />,) + c ,
équation de la forme
kppi + Bp -\- CJp^-h'D = 0 .
Ainsi, une équation de cette forme représente une conique doublement tangente à la conique (K), et cette conique se réduit à une droite, si B = C .
Cela posé, soit une courbe déterminée par une équation algébrique en p , p, ,
(5) np,p.)=-Q,
et proposons-nous de déterminer le degré de cette courbe. Il y a deux cas à distinguer, suivant que Téquation est ou n'est pas symétrique par rapport à p et k p^.
Supposons d'abord qu'elle ne soit pas symétrique, et qu'elle soit du degré m en p et m^ en p^ . Pour trouver l'ordre du lieu qu'elle représente, nous allons chercher le nombre de points de ce lieu situés sur une tangente quelconque à la conique (K). Or, une telle tangente est défmie par l'une ou l'autre des équations
A l'hypothèse p = a correspondent m, valeurs de p^ , et par suite m^ points; à la valeur pi = a correspondent de même m points. On a donc en tout m -f- m, points de la courbe sur la tangente, et par suite la courbe est du degré m-{-m^.
Si, au contraire, l'équation de la courbe est symétrique, elle est nécessairement du même degré m en p et en p^ . Les deux hypothèses p=za ,p^=^a donnent les mêmes points; la courbe est seulement du degré m .
i86 SUR UNE CLASSE REMARQUABLE
J'omets un cas intermédiaire, où le premier membre de l'équation (5) serait décomposable en facteurs, les uns symétriques, les autres non symétriques en p , pj , et que nous n'aurons pas à considérer.
Réciproquement toute courbe de degré m est représentée par l'équation la plus générale, symétrique en p , p^, et du degré m par rapport à chacune des variables. C'est ce qui résulte des formules (3), et aussi d'un calcul relatif au nombre des coefïïcients arbitraires. Car on reconnaît que l'équation symétrique la plus générale du degré m en p contient
' â arbitraires.
Nous pouvons, à l'aide de ces seules remarques, démontrer plusieurs théorèmes généraux sur les polygones inscrits et circonscrits.
Soit d'abord une courbe d'ordre n, passant par l'intersection de deux faisceaux de n droites Â^ , A^ , . . . , A„ ; Bi , B., , . . . , B„ . Son équation générale sera de la forme
Supposons maintenant que les droites A^ , B,- soient toutes tangentes à la conique (K) ; on pourra poser
( Ai — atti^ + Bai-\- y = u {Ui — p) {at — Pi) ,
{Bi =:7.h^ + p bi + 7 = a (bi — p) {bi — p,) ,
et, en adoptant les notations suivantes,
/ f(p) = (p — a,) ip — a^)... (p — ttn) ,
^ \^(p) = [/k^p-b,)(p-b,)...ip-bn),
réquation de la courbe prendra la forme
OU
Dans cette équation, les variables sont séparées, et, en raisonnant comme à l'article 27, on reconnaîtra qu'on peut la mettre sous la forme
(10) Hpl^lipù
^ ^ ^(p) *iP,)
où l'on a
* (il) = mrp{ti) -h n^ (m) , w{u) = m-^{u) + wy (m) .
La nouvelle équation (10) contient une arbitraire nouvelle, à laquelle on peut donner toutes les valeurs possibles. On peut donc énoncer le théorème suivant :
Si une courbe d'ordre n passe par les n^ points d'intersection de deux faisceaux de n tangentes à la conique (K) ^ elle contient une infinité d'autres systèmes de n^ points formant les intersections de deux faisceaux de n tangentes à la conique (K) .
Par exemple, si une conique contient les quatre sommets d'un quadrilatère circonscrit à une autre conique, elle contient aussi les sommets d'une infinité d'autres quadrilatères circonscrits. Mais nous n'insistons pas sur ces cas particuliers, et nous allons démontrer un deuxième théorème général.
Considérons les courbes d'ordre n passant par tous les points d'intersection de w + 1 tangentes A , A, , . . . , A„ à la conique (K) . L'équation de ces courbes peut s'écrire
^ii; A^^ A, A. "'
où « , «j , . . . a„ désignent n constantes arbitraires.
Mais, les droites A, étant des tangentes à la conique (K), on aura
et l'équation (11) pourra s'écrire
ou, en multipliant par f) — p^,
équation qui est de la forme
f (p) étant un polygone de degré inférieur à celui de w (p) .
Réciproquement, toute équation de la forme précédente pourra être ramenée à la forme (12), et elle représentera une courbe d'ordre n , contenant tous les sommets du polygone circonscrit à la conique (K) , et dont les côtés sont définis par l'équation
Mais l'équation (l^) peut être écrite
f(p) ^ fjpd .
?{p) + Icf{p) f{p>) + kf{p,)'
et, cette nouvelle équation étant de même forme que la précédente, la courbe sera circonscrite au polygone dont l'équation est
f(p)-r-kf{p)---0.
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Quand une courbe d'ordre n contient tous les sommets d'un polygone de n + 1 côtés, tous tangents à une conique, elle est circonscrite de la même manière à une infinité d'autres polygones de n +- 1 côtés, formés avec d'autres tangentes à la même conique.
Par exemple, quand une courbe du ¥ ordre contient tous les sommets d'un pentagone, comme un pentagone est toujours circonscrit à une conique, elle contient aussi tous les sommets d'une infinité d'autres pentagones, tous circonscrits à une même conique. D'où il suit, comme l'a fait remarquer M. Lûroth {Mathematische Annalen, t. I), qu'étant donnée une courbe du 4® ordre, on ne peut en général lui inscrire un pentagone dont elle contienne tous les sommets.
La proposition précédente peut être complétée, et nous
allons démontrer qu'étant donnés deux polygones^ l'un de m,
l'un de n côtés {n = m ou < m) , circonscrits à une même conique,
m [m— 1) n [n — 1) on peut toujours par leurs — —^ + ^ — sommets faire
passer au moins une courbe de degré m — i , qui sera circonscrite de la même manière à une infinité d'autres polygones de m côtés circonscrits à la conique.
EIn effet, soient
les équations de degrés m , w , qui définissent les côtés de ces deux polygones, et soit -// [p) un polynôme quelconque de degré m — n. L'équation
(16) /•(/>) y fp.)^(i=.)-A^)?(p)^(p)=-0 ■
définira une courbe satisfaisant aux conditions indiquées, dont l'équation se ramènera à la forme (14), et contiendra m — n paramètres arbitraires. La proposition est donc démontrée.
Par exemple, étant donnés deux triangles quelconques circonscrits à une conique, on peut, par leurs 6 sommets, faire passer une conique qui contiendra les sommets d'une infinité d'autres triangles circonscrits à la même conique que les deux premiers.
Étant donnés un triangle et un quadrilatère circonscrits à une conique, on peut par leurs 9 sommets faire passer une infinité de courbes du 3^ ordre, circonscrites à une infinité d'autres quadrilatères circonscrits à la même conique, etc.
Les théorèmes de Poncelet sont, dans toute leur généralité, une conséquence directe des propositions précédentes. Car supposons qu'une conique (C) contienne les n--\-i sommets d'un polygone de n-i-i côtés, circonscrit à la conique (K), et formé des droites A , Ai , . . . , A„ . Alors on pourra disposer des constantes contenues dans l'équation
de telle manière que la courbe représentée par cette équation ait n points nouveaux sur la conique (G); et, comme elle contient aussi les n -\- 1 sommets du polygone situés sur la conique (C) , cette courbe du degré n aura en tout '2n -\-i points communs avec la conique (C), et par conséquent la contiendra tout entière. Ainsi, avec des valeurs convenables des constantes a,-, l'équation (17) représente une courbe formée de la conique (C) et d'une autre courbe (C) de degré n — 2 . Cette courbe composée (CC) contient d'ailleurs, d'après ce qui précède, les sommets d'une suite continue de polygones tous circonscrits à la conique (K) . Par conséquent, la conique (C) sera circonscrite à chacun de ces polygones; elle contiendra sur chaque côté deux sommets de ce polygone. Les théorèmes de Poncelet se trouvent ainsi démontrés.
Quant à la courbe (C) , on démontrera de la manière suivante qu'elle se compose de coniques (et d'une droite dans le cas des polygones d'un nombre pair de côtés).
L'équation particulière de la conique (C) étant de la forme
^if" + p') +■ Bpp. + Cpp, {p + p.) + D(p + p,)
une tangente p = a\a. coupera en deux points, déterminés par les valeurs p' ,p" de p . Ces deux valeurs sont les coordonnées d'un autre sommet du polygone, et comme il y a entre ces
deux racines une relation de même forme que l'équation (18), le nouveau sommet décrira aussi une conique.
En continuant ce raisonnement de proche en proche, on verra que tous les sommets décrivent des coniques, et que la 'courbe (C) se décompose en coniques. La théorie des équations déduirait, au reste, ce résultat très simplement du fait que l'équation (14), dans le cas qui nous occupe, admet un facteur de la forme (18).
Avant de continuer ces recherches, je reviens sur un point de l'article précédent, qui est susceptible d'être présenté avec une plus grande simphcité. On peut démontrer d'une manière directe et élémentaire le théorème suivant :
Étant donné un polygone formé den-{- 1 droites A , A, , . . . , A„ , et inscrit dans une section conique (C)^ pour tout point de la conique, il y aura entre les polynômes A , Aj , . . . , A„ ^ qui, égalés à zéro, représentent les côtés désignés par les mêmes lettres, une relation de la forme
/.ON a a, CL"" f^
-ix Jrij -fin
D'abord, le théorème est connu pour un triangle. On sait que l'équation de la conique (G) , circonscrite à ce triangle, est de la forme
A Aj A^
Considérons maintenant un quadrilatère A Ai A^ A3, et soit B une diagonale de ce quadrilatère. La conique (C) , étant circonscrite à la fois aux deux triangles A Aj B , B A^ A3 sera représentée par deux équations de la forme :
et, en ajoutant, on voit que Téquation a a. a. a,
— 4- ^ -I ^ -\ ? rr= 0
J\ i\.j Ag J\^
conviendra à tous les points de la conique (C) . •
En passant au pentagone, à l'hexagone, etc., et en raisonnant de la même manière, on établirait pour un polygone d'un nombre quelconque de côtés, w + 1 , l'équation citée plus haut ,
a an
A. An
C'est la proposition que nous avions établie d'une manière moins élémentaire dans l'article précédent.
On voit avec quelle simplicité le système de coordonnées employé met en évidence les théorèmes de Poncelet, et même des propositions plus étendues. Nous devons maintenant exposer d'autres remarques , qui nous conduiront à des théorèmes analogues, relatifs surtout aux courbes de degré supérieur.
Un des caractères distinctifs du système actuel de coordonnées consiste en ce que les deux variables au moyen desquelles nous déterminons la position d'un point ne sont pas, en quelque sorte, séparées l'une de l'autre. On ne peut pas les distinguer, comme dans d'autres systèmes de coordonnées ; elles sont plus que symétriques, liées, conjuguées l'une à l'autre. D'après cela, l'équation
où A désigne un paramètre variable, fera connaître pour chaque valeur de A un certain nombre n de valeurs de p . Ces n valeurs de p déterminent n tangentes à la conique (K) . La
courbe décrite par les points d'intersection de ces tangentes, quand on fait varier l , aura pour équation le résultat de l'élimination de 1 entre les deux équations
Mais on peut retenir l'équation (20) , qui détermine aussi bien les propriétés de la courbe. On voit qu'à chaque valeur de 1 correspondra un polygone de n côtés, qui se déplacera en demeurant circonscrit à la conique, ses sommets décrivant la courbe considérée. Cherchons l'ordre de cette courbe.
Supposons que l'équation (20) soit du degré w en ^ , et du degré n en p . k une valeur a de p correspondront m valeurs X, , X^ , . . . , A™ de yl ; à chacune de ces valeurs correspondront n — 1 nouvelles valeurs dep, c'est-à-dire que la droite p==a coupera la courbe en m {n — i) points. Ce dernier nombre est donc l'ordre de la courbe correspondante à l'équation (20).
Si m est égal à 1 , l'équation est de la forme
et, en éliminant X entre les deux équations (21), on trouve
f{p)?ip.)-npù?ip) = ^ ■
Ce sont les équations considérées en premier lieu. Nous allons examiner d'autres hypothèses.
Si w = 2, l'équation (20) est de la forme
(22) A.-^ + Bp+C = \] = 0 ,
où A , B , C sont des fonctions de À .
A chaque valeur de l correspondent deux valeurs de p , et un seul point par conséquent de la courbe (U) , par les formules
