SUR UKE CLASSE REMARQUABLE

La courbe (U) est donc unicursale; mais la forme précédente d'équation offre l'avantage de conduire presque sans effort à un théorème signalé rapidement par Jacobi dans une lettre à M. Herraite, et qui se rapporte à l'introduction des fonctions ultra-elliptiques dans cette théorie.

C'est un théorème bien connu d'analyse, que, si dans l'équation (22), contenant une des deux variables p au second degré, et l'autre À au degré m, on donne à o une valeur quelconque, à cette valeur de p correspondent m valeurs, /•«i , Xj , ... , Am de X , telles que la somme des intégrales

[où A,- , B,- , G,- désignent ce que deviennent A , B , G , quand on substitue X,- à la place de A, et où cj (/) est un polynôme d'un degré inférieur à [m — 1 ] , étendue à toutes les racines, soit constante, quelle que soit la valeur donnée à la variable p .

En appliquant ce théorème à la question de géométrie que nous avons à étudier, nous voyons que,

Si l'on coupe la courbe unicursale (U) d'ordre n par les tangentes à une conique quelconque (K), la somme des intégrales ultraelliptiques (24)j correspondantes aux n points d'intersection de la tangente et de la courbe (U) , demeure constante quand la tangente se déplace.

Si les fonctions A , B , G sont du second degré, la courbe (U) sera une conique. La somme des deux intégrales elliptiques, correspondantes aux points où elle est rencontrée par une tangente à la conique (K) , demeurera constante. G'est le point de départ de Jacobi dans son Mémoire sur les cercles. Nous ne poursuivrons pas ce mode de démonstration.

Supposons maintenant que l'équation (20) soit du second

degré en À , et d'un degré quelconque n en p , On pourra l'écrire sous la forme

(25) V = ArH-2B). + C = 0,

où A , B , C désignent des polynômes du degré n en p . Cette équation convient, d'après les remarques faites plus haut, à une courbe (Y) de degré 2 (?i — 1) , et Ton reconnaîtra que,

dans le cas général, cette courbe a —^ points doubles à l'intersection des trois courbes, d'ordre n — 1 ,