BB, — AC, -CA

passe par les 2?i' points de contact des 2w tangentes multi-

pies avec la courbe (V) et avec la conique (K) . Par exemple, pour w — 2 , on a la conique qui contient les 8 points de contact des coniques (K) et (V) avec leur quadrilatère circonscrit commun.

Examinons d'une manière un peu plus détaillée les courbes du ¥ ordre à 1 point double (V^) , que nous venons de rencontrer pour w = 3, et qui ont fait Fobjet des recherches récentes de MM. Brioschi et Cremona.

Nous voyons qu'elles sont circonscrites à une suite continue de triangles, dont les côtés sont tangents à la conique (K) . Car, l'équation

étant ici du 3® ordre en p , à chaque valeur de / correspondent trois valeurs de o , et par conséquent trois tangentes à la conique (K) . Ces tangentes forment un triangle dont les sommets décrivent la courbe (V,j . Mais on doit se demander si ce mode de génération donne la courbe la plus générale du 4® ordre à 1 point double, et la réponse est affirmative.

Considérons d'abord une courbe générale du 4® ordre. On sait, depuis les belles recherches de Hesse, de Steiner, etc., que cette courbe peut être engendrée, et de plusieurs manières, comme enveloppe d'une suite de sections coniques, représentées par une équation de la forme

(30) H + Dm + Em^=0,

où m est un paramètre variable, et H , D , E des polynômes du second degré par rapport aux coordonnées ordinaires. Ces coniques sont telles qu'il en passe deux par un point quelconque du plan. Chacune est tangente à la courbe enveloppe du 4® ordre en 4 points a^ , a^ , aj , a^ , variables avec m .

Mais il est clair que toutes les coniques représentées par

l'équation (30) font partie du réseau déterminé par trois d'entre elles, et par conséquent que les cordes de ces coniques a.^tL^ , a^ag , ... enveloppent la courbe, en général du 6® ordre et de la 3® classe, qu'on appelle la cayleyenne du réseau. Ainsi toutes les tangentes à la cayleyenne coupent la courbe du ^^ ordre en quatre points, qui se déterminent par groupes de deux. Cette remarque établit une correspondance digne d'étude entre une courbe de 3^ classe, la cayleyenne, et la courbe du 4^ ordre.

Dans le cas où la courbe du 4^ ordre a un ou plusieurs points doubles, il y a toujours un système au moins de coniques inscrites dans la courbe et contenant toutes un seul des points doubles, que nous appellerons a . Ces coniques déterminent un réseau, et, comme elles passent par un point fixe, la cayleyenne se réduit à une conique (K) . Alors chaque conique est tangente à l'enveloppe en trois points seulement «j , a^ , «3 , et les droites qui joignent ces trois points enveloppent la conique (K) . C'est le mode de génération qu'il s'agissait de retrouver.

Nous pouvons d'ailleurs exprimer les coordonnées ordinaires d'un point de la courbe (V,) en fonction d'une arbitraire, de la manière suivante.

Donnons-nous une des racines o = u de l'équation (29). En résolvant cette équation par rapport à / , /. sera exprimé par une fonction de u, contenant la racine carrée d'un polynôme du 6^ degré en u. Mais, si l'on considère À comme connu, l'équation du 3® ordre en p aura trois racines i* , p , p,. Supprimant la racine u , ppj et c + ^^ seront donnés en fonc- -tion rationnelle de t* et de A , ou, si l'on veut, en fonction de u et d'un radical carré du 6^ degré en u. Or, une fois connus pp, , p -f p, , on a, par les formules (3), les coordonnées ordinaires d'un point de la courbe.

Le système de coordonnées examiné ici se prête d'une manière très simple à la résolution de toutes les questions concernant les polygones circonscrits aux coniques. En voici un nouvel exemple.

Supposons qu'on se propose, étant données deux courbes (W) , (Wj) , de trouver le lieu décrit par le troisième sommet d'un triangle circonscrit à la conique (K) , et dont deux sommets décrivent les courbes (W) , (W,) .

Soient

les équations des deux courbes, et considérons le triangle circonscrit ABC dans une de ses positions. Les coordonnées des trois sommets seront, par exemple,

pourA, ...f, ,p,;

pour B , . . . p , p, ;

pour G , ... 0 , Pj .

Alors, si le point A décrit la courbe (W), on devra avoir

A^,^2) = 0, ou /•(p.3,p,) = 0 .

De même, si B décrit (W,) ,

? (p 5 P2) = 0 , ou f (p, , r>) ^ 0 .

Pour avoir le lieu décrit par le troisième sommet, il faudra donc éliminer p^ entre les deux équations

ou entre les deux suivantes,

(31') • f(F.,pù = 0, f(p,,p) = 0.

Ce second système est identique au premier, si les équations sont symétriques. Dans tous les cas, la question est, on le voit, ramenée à une simple élimination.

Par exemple, supposons que (W) , (W,) soient des droites ou des coniques doublement tangentes à (K). On aura à éliminer pj^enire deux équations

ce qui conduit évidemment à une relation de même forme entre p et pi .

Nous obtenons, par suite, le théorème bien connu suivant : Si un triangle est circonscrit à une conique (K) , et que deux de ses sominiets décrivent des droites ou des coniques doublement tangentes à la proposée^, le troisième décrira aussi une conique doublement tangente à la proposée (K) .

Supposons maintenant que les deux courbes (W) , (W,) soient deux coniques, inscrites dans un même quadrilatère circonscrit à (K) . Nous avons trouvé Téquation de ces coniques (27). En intégrant cette équation, on voit qu ici le système (31) sera de la forme

P[PÙ-^ipù = -, -F{p,) + ¥[p) = ^.

En éliminant p^ , nous trouvons l'équation

qui représente une conique inscrite dans le même quadrilatère que les trois premières. C'est le théorème de Poncelet sous sa forme la plus complète, et la méthode suivie s'étend, on le voit, à d'autres questions.

Au moyen des remarques précédentes, nous pouvons aussi interpréter toute substitution faite sur l'une des variables. Soit

l'équation d'une courbe (V). Si l'on substitue à pi la variable p2 , liée à la première par l'équation

le résultat de la substitution définit une courbe nouvelle (V) ,

et il est clair que (V) est le lieu décrit par le troisième sommet d'un triangle circonscrit à (R) , et dont deux sommets décriraient les courbes (V) , (U) ; ou plutôt, c'est, d'après ce qui précède, une des deux courbes dont se compose le lieu complet.

On verra ainsi que toute courbe du 4® ordre à deux points doubles peut être considérée, et d'une infinité de manières, comme le lieu décrit par le troisième sommet d'un triangle circonscrit à une conique (K), dont un sommet décrit une conique quelconque, et l'autre une conique doublement tangente à (K). J'indique seulement ce mode de génération, dont la démonstration exige quelques développements, qui sont donnés à la fin de cette note.

Nous avons vu comment l'équation différentielle d'Euler

(32) -Tdrrr + -— = = 0 \^f{p) ^f(pù

admet pour intégrales générales les coniques inscrites dans le quadrilatère circonscrit à (R) et défini par l'équation

Si ce quadrilatère a pour deux de ses sommets opposés les points circulaires de l'infini, les coniques intégrales seront homofocales à (K) .

On doit à M. Chasles deux beaux théorèmes, qu'on n'a pas encore essayé de démontrer par la considération des fonctions elliptiques. L'un de ces théorèmes peut s'énoncer ainsi :

Étant données deux coniques homofocales (C) , (K) , si de deux points a , a' de l'une (C) on mène des tangentes à l'autre, on forme un quadrilatère, dont les autres couples de sommets opposés 6 , 6', c , c' sont aussi sur des coniques homofocales

aux proposées. Cette importante proposition se démontre sans difficulté de la manière suivante.

Soit la conique (K) et le quadrilatère défini par l'équation (33). Toutes les coniques inscrites dans ce quadrilatère seront représentées par l'équation

J yf{p) J \

en sorte que, pour deux points (p , p,) (p', p',), situés sur une conique, on aura

J \^np) J yfip.) J yfip') J yfip'ù

ce qu'on peut écrire

J y'fV) J ^W) J ~^7(h) J ynp\)

Cette dernière équation exprime le théorème qu'il s'agissait de démontrer. Elle signifie que la conique qui passe par le point (p , p') et qui est inscrite dans le même quadrilatère que les premières, passe aussi par le point (p^ , p/). Or ces deux points sont deux sommets opposés du quadrilatère formé par les quatre tangentes p , p' , Pi , p'; ; ce qui démontre la proposition indiquée.

On peut aussi faire intervenir le théorème d'Abel de la manière suivante.

En vertu de l'équation (35), on devra avoir l'identité

(36) {kx^ 4- Ba; + C)^ - f{x) = D (x—p) (x—p,) {x — p') {x — p\) ,

et la symétrie de cette identité prouve immédiatement le théorème. Mais nous allons déduire de l'identité (36) la démonstration d'un autre théorème de M. Chasles. Posons

f {x) = {x — a) (x — b){x-^a') (x— h') .. CT(a;) ■=J){x — p) {x — p'){x — p^) {x — p\) .

L'identité (36) pourra s'écrire

(37) {kx' + Bx + CY — ^ (x) = (x — a) (,x — b)(x — a') (x—b'),

et cette identité, toute semblable à la précédente, exprime que, dans le quadrilatère

on peut inscrire une conique passant par deux sommets opposés {a ,b) , {a\ h') par exemple, du quadrilatère primitif

d'où le théorème suivant :

Étant données deux coniques (C) , (K) , si de deux points de (C) on mène des tangentes à la conique (K) , elles forment un quadrilatère dans lequel on peut inscrire une conique passant par deux quelconques des sommets opposés du qua-

drilatère (C)(K)

En transformant par l'homographie, on a le théorème de M. Chasles :

Étant données deux coniques homofocales, si de deux points de l'une on mène des tangentes à l'autre, on forme un quadrilatère circonscriptible à un cercle.

On sait que cette proposition comprend comme cas particulier les propriétés métriques focales.

Les théorèmes de géométrie que nous venons de démontrer s'étendent aux courbes plus générales que nous avons examinées, et qui correspondent aux équations abéliennes. On pourra consulter à ce sujet l'article présenté à la Société Philomathique (séances du 25 mai et du 8 juin 1872).

xm.

Le système de coordonnées précédent trouve une application intéressante dans Tétude de quelques courbes, et, en particulier, de celles du quatrième ordre à deux points doubles.

Supposons qu'on ait à examiner une équation non symétrique en-p , Pi . Une telle équation pourra toujours se mettre sous la forme

(38) fip , pj + {p — p,)zn(p ,pd=0 ,

où f et u sont des fonctions symétriques. Elles s'expriment donc en fonction rationnelle des coordonnées ordinaires, tandis que 0 — Pj est la racine carrée du premier membre de l'équation de la conique (K) . En élevant au carré pour rendre l'équation rationnelle, nous aurons l'équation

(39) ^^(^^,)V^^0, ou

(40) P* — KQ-' = 0.

La courte qu'elle représente est tangente à la conique (K) en tous les points où elle la rencontre. Elle a des points doubles à l'intersection des courbes P et Q .

Par exemple, si l'équation (39) est du second degré en p et en Pi, mais non symétrique, elle représentera une courbe du ¥ ordre ayant deux points doubles à l'intersection de la conique P— 0 et de la droite Q = 0, et cette courbe du 4® ordre sera tangente en quatre points à la conique (K) .

Réciproquement, toute courbe du quatrième ordre à deux points doubles peut être représentée, et d'une infinité de manières, par une équation de la forme (38). Car il y a une série de coniques inscrites dans la courbe, et ne passant par aucun des points doubles; soit (K) l'une quelconque de ces coniques. L'équation de la courbe du 4^ ordre pourra se mettre sous la forme (40) et par suite sous la forme équivalente (38). Ainsi, il suffit de prendre pour conique de base de notre système une quelconque des coniques tangentes à la courbe en quatre points.

Nous rencontrons ici un fait intéressant dans la théorie des courbes du 4® ordre à deux points doubles, et ce fait

se rattache aux différents modes de génération qu'on a proposés pour les décrire. On sait (en supposant que les deux points doubles soient les points à l'infini sur le cercle) qu'elles sont anallagmatiques par rapport à quatre pôles différents. Par suite, pour toute droite passant par chacun de ces pâles, l'équation du 4^ ordre qui détermine les points d'intersection de la droite et de la courbe se résout par des extractions de racines carrées.

C'est là un fait analytique remarquable en lui-même. Les recherches précédentes lui donnent une réelle extension ; car elles démontrent que la même propriété appartient aussi aux droites tangentes à l'une quelconque des coniques inscrites dans la courbe du 4^ ordre.

Soit, en effet,

/■(p,pj = 0

l'équation de la courbe, du second degré, mais non symétrique en p , 0^ .

Une tangente quelconque à la conique (K) sera définie par l'une des équations

En prenant successivement p = a , p^ = a, on aura à résoudre deux équations du second degré, qui donneront chacune deux des quatre points d'intersection de la droite et de la courbe.

Ainsi, étant donnée une courbe du ¥ ordre à deux points doubles et une conique inscrite (K), toutes les tangentes à cette conique couperont la courbe en quatre points, se déterminant par des extractions de racines carrées. Quand la conique (K) se réduit à deux droites, ses tangentes viennent passer par le point de rencontre de ces droites, et l'on obtient le mode de génération dû à MM. Salmon et Moutard.

11 suit de là que, étant donnée une droite quelconque dans le plan de la courbe, l'équation du 3^ degré qui détermine les trois coniques (K) , inscrites dans la courbe et tangentes à la droite, est la résolvante de l'équation du ¥ degré, faisant

connaître les points d'intersection de la droite et de la courbe. (Voir l'article 41 pour des remarques analogues relatives aux cyclides.)

Enfin, on peut déduire des remarques qui précèdent un mode de génération des courbes étudiées ici.

Si l'on fait correspondre anharmoniquement les cercles passant par deux points a , a' aux tangentes d'une conique (K), les intersections des cercles avec les tangentes correspondantes décrivent en général une courbe du 5® ordre. Mais, si la droite aa' est tangente à la conique (K) , et, en outre, si la droite aa" , considérée comme tangente, correspond au cercle de rayon infini passant par a, a', la courbe du 5® ordre se décompose dans la droite aa' et en une cyclique circonscrite à la conique (K) .

En terminant ce qui se rapporte aux courbes du ¥ ordre, nous allons démontrer le mode de génération de ces courbes indiqué à l'article 12 de cette Note. Soit

l'équation de la courbe proposée. Cette équation n'est pas symétrique, mais on peut la déduire d'une équation symétrique

(42) F(p,p',)=,0, par une substitution d.e la forme

(43) Ap,p', + B/), 4-Cp', 4- D = 0 .

Cette substitution analytique, d'après les remarques faites plus haut, nous montre que la courbe est décrite par le sommet libre d'un triangle circonscrit à la conique (K) , dont l'un des sommets décrit une conique quelconque (42), et l'autre une conique (43), inscrite à (K) . Ainsi,

La courbe du 8® ordre décrite par le troisième sommet d'un triangle circonscrit à une conique (K) , dont l'un des sommets décrit une conique quelconque (C) , l'autre une conique (C) doublement tangente à (K), se compose de deux courbes du

DR COURBES ET DE SUflFACES ALGF.BRIQUES. 207

4® ordre à deux points doubles. Réciproquement, toute courbe du ¥ ordre à deux points doubles peut être engendrée comme nous venons de l'indiquer.

Notons encore une conséquence de l'équation (41). Si l'on donne à p une valeur quelconque, on trouve pour o^ deux valeurs, entre lesquelles il y a une relation symétrique du second degré. Donc,

Étant donnée une courbe du ¥ ordre à deux points doubles et une conique (K) , inscrite dans la courbe, si des points où une tangente à (K) coupe la courbe on mène de nouvelles tangentes à la conique, ces tangentes forment un quadrilatère dont deux sommets opposés décrivent des coniques.

Mote III.

&ur la démonstration directe des théorèmes de géométrie sphérique exposés dans la troisième partie.

Dans la Troisième Partie (art. 33 à 38), nous avons donné quelques propositions de géométrie sphérique, que nous avons déduites des théorèmes analogues déjà démontrés pour les courbes planes (art. 27 à 32), Il ne sera pas inutile de montrer comment l'emploi du système de coordonnées étudié dans la Note précédente peut conduire à une démonstration directe des propositions relatives à la géométrie de la sphère, données dans la Troisième Partie. Mais auparavant nous allons exposer quelques remarques relatives à la perspective plane des figures tracées sur la sphère.

Étant donnée une sphère (S) de centre 0, projetons ses différents points sur un plan P, par des droites contenant le centre 0 , Alors à tout point m de la sphère correspondra un seul point M du plan. Mais ce point M aura pour homologues sur la sphère les deux points diamétralement opposés m ,m', situés à l'intersection de la sphère (S) et du diamètre OM. On a donc un mode de représentation de la sphère sur un plan qui a été étudié surtout par M. Chasles, et, en dernier lieu, par M. Glebsch. Les points à l'infini de la sphère se projettent suivant ceux d'un cercle (R) , intersection du plan de perspective (P) et du cône asymptote de la sphère. Les grands cercles de la sphère se projettent suivant des droites, et les petits cercles suivant des coniques doublement tangentes au cercle (K) .

Les génératrices rectilignes de la sphère se projettent suivant les tangentes au cercle (K) , et chacune de ces tangentes est la perspective de deux génératrices rectilignes de la sphère (S) , qui sont diamétralement opposées et de systèmes différents.

D'après cela, si Ton emploie, pour déterminer les points à la surface de la sphère, le système de coordonnées formé des deux séries de génératrices rectilignes, de telle manière que la première des coordonnées demeure constante pour tous les points d'une génératrice rectiligne de l'un des systèmes, et la seconde pour tous les points d'une génératrice de l'autre système ; à ce système de détermination des figures sphériques correspondra, dans le plan qui est la perspective de la sphère, le système de coordonnées qui a été étudié dans la Note précédente, et dans lequel on détermine un point par l'intersection de deux tangentes à la conique (K). Nous allons tout d'abord examiner la liaison entre les deux systèmes de coordonnées.

Soit un point du plan (P) , ayant pour coordonnées p , p, , définies dans la Note précédente. La tangente T au cercle (K), déterminée par la coordonnée p , est la perspective de deux génératrices du premier et du second système de la sphère t,t'. De même la tangente T^ , correspondante à p,, est la projection de deux génératrices rectilignes t^ , t\. Donc le point M du plan intersection de T , T, est la projection de deux points m , m' de la sphère, m , intersection de f , f , ; m' , de f ' , Jj .

Ainsi, notre système de coordonnées symétriques p , Pi, qui détermine sans ambiguïté un point du plan, ne conserverait pas cette propriété sur la sphère. Pour faire disparaître cette difficulté, nous conviendrons qu'en déterminant le point M par les coordonnées p , Pi , la tangente définie par la première coordonnée p sera toujours la projection d'une génératrice rectiligne du premier système de la sphère; et au contraire, à

la tangente correspondante à p, on fera correspondre une génératrice rectiligne du second système. Alors à un système (p , p,), définissant un seul point M du plan, correspondra aussi un seul point m de la sphère. Mais au système (pi ,p), définissant le même point M du plan/ correspondra le point m' de la sphère, diamétralement opposé au point M.

Étant donnés deux points A , B de la sphère, définis par les coordonnées p , Pi ; p', p'i , les points associés A', B' auront pour coordonnées p , o\ ; p', p^, et les points diamétralement opposés à ces dernier , p'i , p ; pi , p'.

Examinons maintenant les propriétés métriques relatives à ces systèmes de coordonnées. Nous allons rappeler les définitions importantes déjà données d'après M. Cayley (art. 61).

Étant donnés deux points dans le plan et la conique (K), appelons distance des deux points M , M' la fonction ^ définie par l'équation

R étant le rapport anharmonique des points M , M' et de ceux où la droite MM' coupe la conique (K) .

De même, étant données deux droites, appelons angle ^e ces deux droites la fonction Y, définie par l'équation

R' désignant le rapport anharmonique formé avec les deux droites et les deux tangentes menées de leur point de rencontre à la conique (K) .

Ces définitions subsistent quand on soumet la figure entière à une transformation homographique; car on sait que l'homographie ne change pas les rapports anharmoniques. Si l'on soumet, au contraire, la figure à une transformation par

polaires réciproques, les angles se changent en distances, les distances en angles.

Ces définitions étant admises, on reconnaît sans peine que deux points m ,n de la sphère se projettent suivant deux points M , N du plan, tels que l'arc mn de la sphère soit égal à la distance MN , prise par rapport au cercle (K) et telle que nous venons de la définir. De même, deux grands cercles de la sphère se projettent suivant deux droites faisant le même angle que les deux grands cercles, pourvu qu'on mesure l'angle des droites par rapport au cercle (K) .

Ainsi la géométrie de la sphère est identique à cette géométrie plane, dans laquelle on prend le cercle (K) pour conique absolue^ suivant la définition de M. Cayley.

Il résulte de là que, dans la suite, nous pourrons considérer à volonté soit les figures planes, soit les figures sphériques comme rapportées à notre système de coordonnées, et nous obtiendrons en même temps les propriétés métriques des figures planes dans la géométrie de M. Cayley, et celles des figures sphériques avec les notions ordinaires d'angles et de distances.

Proposons-nous d'abord de déterminer la distance de deux points M , M' par rapport à une conique (K). Soit, comme dans la Note précédente,

(1) pî— 4a7 = 0

l'équation de la conique, et a , § , y , a', P', y' les coordonnées de M et de M'. Tout point de la droite MM' aura pour coordonnées a + Xa', P + XP', y + Xy', et, en exprimant que ce point satisfait à l'équation (1), on aura

(2) rO-S"^— 4a'7') + 2>(|3P'— 2c/.v'— 27a') + fi' — ^uy=zO .

Cette équation détermine les deux valeurs de 1 correspondantes aux deux points d'intersection de la droite MM' et de

la conique (K) , et, d'après les principes connus, le rapport anharmonique de M , M' et de ces deux points sera égal au rapport des racines de l'équation précédente. En appelant r ce rapport, on a

On déduira de là la valeur de r, puis la distance è des deux points, par la formule

ex 0

(4) e z=zr .

En raisonnant de la même manière, on trouvera que l'angle Y des deux droites définies par les équations

est donné par la formule

où

(1 + r')* 2ww' — mp' — pm'

r' {n^ — mp){n'^ — m'p')

Voyons maintenant ce que deviennent ces formules dans notre système de coordonnées. Il suffit évidemment, pour avoir la distance des deux points définis par les coordonnées p , Pi , a , aj , de substituer aux coordonnées ordinaires leurs expressions en fonction de p , Pi , a , «i , ce qui se fait sans difficulté. On trouve ainsi, presque sans calcul,

(7) sin=s__(p— OC^-^O.

(8) cos^

A la surface de la sphère, à sera l'arc joignant les deux

points; 2 sin;^ la corde, c'est-à-dire la distance rectiligne des

deux points. On voit que les seconds membres de ces formules et leurs inverses sont les six rapports anharmoniques qu'on peut former avec les quantités p , o, , a , «i .

Examinons maintenant un autre problème, et proposonsnous, étant données deux droites, se coupant en un point (p , p,) et passant l'une par le point (a , a,), l'autre par le point (p , §,), de trouver l'angle qu'elles forment entre elles. Appliquons les formules (5) et (6). Pour la première de ces droites, on a

W — a«, — fjpi ,

P = PPiC^' + ^i) — (p + pJ^^i »

et pour la seconde on a des valeurs semblables de m\n' ,p'. En substituant ces valeurs dans la formule (6), on trouve

^'"^ r' - MM.

OU

Kp — V (p — «i) (pi

-^)(Pi — «) (pi

et, par suite.

^ = 77" ou lïT ■

On a àonc

(11) -^'-^^Ti'^^W/

Le double signe correspond aux deux sens dans lesquels on peut considérer l'angle des droites, ou celui des grands cercles de la sphère se projetant suivant les droites.

Nous avons obtenu l'expression de la distance de deux points et de l'angle de deux droites dans notre système de coordonnées. Au moyen de ces expressions, convenant aussi aux figures sphériques, on démontrera sans difficulté les pro-

positions de la Troisième Partie. Nous nous contenterons d'éiablir l'équation fondamentale (69) de l'article 33.

Soit un triangle sphérique ABC, dont les sommets ont pour coordonnées a , a, ; ^ , pi ; y , 7, . D'après la formule (11), les angles A , B , G de ce triangle seront donnés par les formules

« — V) (a, — p) (a — 7,) (aj — /3j

d'où il suit, en multipliant membre à membre, et en appelant S l'aire du triangle ABC ,

2tS (« -

■yriy-^Yi'^—.y

Or, soient M , M' deux points de la sphère, de coordonnées /j , p pour M , et jSj , / pour M'; et soient â , d' les arcs AM , AM'. D'après les formules (7), on aura

sm"

et par suite

sm^—

sm

sin-

Les points B',G', associés à B,C, ont pour coordonnées Pi/iî/j^i; l6s points M , M' sont donc diamétralement opposés à B', G', et nous retrouvons la formule de l'article 33.

Il est à remarquer qu'en extrayant la racine quatrième des deux membres de l'équation (12), nous avons choisi une racine

particulière du second. Ce choix se justifie ; il suffit de supposer que le troisième sommet C du triangle vienne se placer sur l'arc AB . Les deux membres deviennent alors égaux à l'unité.

On peut encore appliquer les remarques précédentes à l'interprétation de certaines équations considérées soit dans le plan, soit sur la sphère.

Nous avons vu, dans la Note précédente, que l'équation

peut représenter, dans certains cas, des coniques inscrites dans un même quadrilatère circonscrit à la conique (K) . La même équation représentera alors sur la sphère des coniques homofocales.

Supposons que, dans l'équation (13), /"(p) et 9 (p) soient de degré 2î^. Alors les coniques planes seront circonscrites à un polygone formé de 2w tangentes à (K) , et se partageront tous les sommets de ce polygone. Les coniques sphériques seront circonscrites à un polygone formé de 2î^ génératrices rectilignes. Si l'on désigne, par exemple, ces génératrices par les nombres l,2,3,...,2ii,la première conique contiendra les sommets (1 2) , (2 3) , ... ; la seconde , (1 3) ,(24), (3 5) , ... ; la troisième, (1 4) , (2 5) , .... Or l'équation (13) peut s'écrire

{p-bi)(p-b\) • {p,-b,){p,-b'i)

et y si l'on tient compte de la formule (11), on voit que l'équation précédente exprime la propriété suivante.

Formons les n segments dont les extrémités sont les points (a,- , a\) et (6, , b',) . La somme des angles sous lesquels on

voit ces segments d'un point de la courbe est égale à un multiple de tï .

Nous avons donc le théorème suivant :

Soit une conique (C) , circonscrite à une série de polygones d'un nombre pair de sommets, circonscrits à une conique (K) . Soient Ai , . . . , A„ , w sommets, pris de deux en deux, de l'un de ces polygones; Bi , . . . , B„ , w sommets, choisis de la même manière, d'un autre de ces polygones. La somme des angles [par rapport à (K)] sous lesquels on voit d'un point de la courbe les segments AjEj . .. , A„B„, est égale à un multiple de %.

On peut généraliser ce théorème en prenant tous les sommets, et alors il s'applique aux polygones d'un nombre impair de côtés. Mais il est surtout utile sous la forme précédente.

Si nous nous proposons d'appliquer cette proposition aux coniques sphériques, nous voyons tout d'abord que, si une conique sphérique est circonscrite à un polygone formé de 2w génératrices rectilignes de la sphère, n sommets au plus de ce polygone peuvent être réels. En joignant ces sommets réels aux sommets correspondants de tout autre polygone inscrit, on formera des segments qui seront vus de tout point de la conique sphérique sous des angles dont la somme sera un multiple de u. Le lieu complet des points tels que la somme de ces angles soit un multiple de % se composera de cette conique et d'autres coniques homofocales.

Enfin, une application de ce même théorème peut être faite à la théorie de certaines surfaces du second degré, qu'on définit de la manière suivante.

Soit une quadrique (Q), coupant le cercle de l'infini suivant une conique (C), et supposons, ce qui n'a pas lieu en général, que la conique (C) soit circonscrite à une série de polygones d'un nombre pair 2w de côtés, circonscrits au cercle de l'infini, que nous appellerons ici (K) . Soient deux polygones inscrits à (C) et circonscrits à (K) , et formons avec leurs sommets les n segments A , B, , . . . , A„B„ , définis précédem-

ment. Les extrémités de ces segments sont sur la conique (C), et par chacune de ces extrémités A,-,B,onpeut faire passer une génératrice rectiligne de (Q), d'un système donné. Appelons ces génératrices a,- , p,-, etc. Alors la génératrice d'un système opposé, passant par un point M de (C) , rencontrera toutes les droites fixes a,- , p,- , et les plans passant par celte génératrice et par les droites a,-, p, auront pour traces sur le plan de Tinfmi les droites MA, jMB;. Donc l'angle des plans (M , «f) , (M , §,) est le même que celui des droites MA,- , MB^ , mesuré par rapport au cercle de l'infini. En appliquant donc le théorème déjà donné, nous avons la proposition suivante :

Quand une quadrique est circonscrite à un polygone de 'in sommets circonscrit au cercle de l'infini, on peut, et d'une infinité de manières, choisir sur cette quadrique deux groupes de n génératrices d'un même système, tels que les plans passant par un point de la surface et les génératrices du premier groupe forment avec les plans passant par le même point et les génératrices du second groupe des angles dont la somme soit égale à un multiple de % .

Par exemple, les hyperboloïdes étudiés par M. Chasles (Journal de Liouville, i'^ série, t. I, p. 324), lieux des points tels que le rapport de leurs distances à deux droites fixes soit constant, sont circonscrits à une série de quadrilatères circonscrits eux-mêmes au cercle de l'infini. Ils ont un axe de symétrie perpendiculaire aux deux droites fixes, et, si l'on prend deux de leurs génératrices quelconques d'un même système, l'angle sous lequel on verra ces droites d'un point variable de la surface est égal à celui sous lequel on voit leurs symétriques par rapport à l'axe de symétrie, qui est perpendiculaire aux deux droites fixes.

2i8 SUR UNE CLASSE REMARQUABLE

Mote IV.

Sur quelques surfaces remarquables du second degré et sur les cyclides correspondantes.

Les résultats obtenus dans la Troisième Partie sont fondés sur une propriété importante de la fonction qui exprime le carré de la distance de deux points, en géométrie plane. Cette fonction, quand les deux points sont dans un plan, se décompose en un produit de deux facteurs linéaires. Une telle décomposition ne peut plus se faire quand les deux points que l'on considère sont situés d'une manière quelconque dans l'espace. Mais nous allons voir qu'elle subsiste quand on considère les distances des points de l'espace à des droites.

Soient, en effet,

^'^ {?' = yx + B'îj + C'z + D' = 0

les équations d'une ligne droite. En appliquant les méthodes de la géométrie analytique, on trouvera la formule suivante, qui donne la distance § d'un point (x , y , z) a la droite,

, (AT — APO^ + (B'P — BP^)-^ + (C'P — CP')^ "" (A^ + B^ + G") (A' ^ 4- B'' + Cr) — (AA' + BB' + GC f

(A^+B'+G^)P'^+(A^-^+B'^+G"^)P'— 2(AA'+BB'+GG0PP' ~ (A'-rB'4-C')(A'^+B'' + G'2) — (AA'+BB' + GG')"

Cela posé, supposons qu'on ait choisi, pour déterminer la droite, les deux plans qu'on peut mener par la droite tangentiellement au cercle de l'infini. Ces plans sont distincts, tant

DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES. 2i9

que la droite ne rencontre pas le cercle de l'infini. Supposons que ce soient les plans (P) , (P') . On aura alors

et la formule (2) deviendra