PP

AA' + BB' + ce

On voit que le carré de la distance d'un point à une droite fixe se décompose en deux facteurs linéaires par rapport aux coordonnées du point. Ces facteurs sont évidemment imaginaires.

Réciproquement , étant donnés deux plans quelconques (P) , (P') , tangents au cercle de l'infini, le produit PP' des premiers membres de leurs équations représente, d'après la formule (4), une quantité proportionnelle au carré de la distance à leur droite d'intersection.

Soient § , d' deux droites définies, l'une par les plans P , P', l'autre par les plans Q , Q', ces quatre plans étant tangents au cercle de Finfini. Les plans P,Q;P',Q' déterminent deux droites §",§'", qui forment un couple associé au premier. De même, les combinaisons P , Q' ; Q , P', déterminent deux nouvelles droites §'" , è^, formant un nouveau couple. Ces six droites forment les trois couples d'arêtes opposées d'un tétraèdre circonscrit au cercle de f infini, et ces droites associées donnent lieu à plusieurs propriétés.

Par exemple, on a, en désignant par èi la distance d'un point de l'espace à la droite correspondante,

S^â'-'— ^PP'QQ' , 5"25"=A;,PP'QQ' ,

k , k^ étant des constantes que la formule (4) apprend à déterminer.

Donc

(5) 5"S"'=i:/iSS' ,

et nous sommes conduits au théorème suivant :

Etant données deux droites quelconques de l'espace, si par

ces droites on mène les plans tangents au cercle de l'infini, on forme un tétraèdre tel que les produits des distances d'un' point aux trois couples d'arêtes opposés conservent des rapports constants quand le point se déplace dans l'espace.

Étudions ces plans tangents au cercle de l'infini. . Voici comment on peut former leur équation la plus générale. Soient (P) , (P') deux plans rectangulaires quelconques, et désignons par j) ,p' les distances d'un point de l'espace à ces plans. On aura des équations de la forme

p r=a?C0SaH-yC0S|5 + 2COS7 — h ,

où

ces' Cf. + cos'p + ces' 7 = 1; et de même,

p' =:XCOScf.' +yC0S^' -\- ZGOSy' — li' .

D'ailleurs

ces a ces a' -f- COS|3COS/3' -4- COS7 COS7' = 0 .

Cela posé, l'équation d'un plan (P) tangent au cercle de l'infini est

(6) ? = l{p + ip'),

où >, est une. constante réelle. Celle du plan conjugué P' est

(7) V =zl{p — ip') .

Appelons maintenant $ la distance du point {x ,y , z) à la droite (p ,p') ou (P , P') , et w l'angle que fait avec le plan (p) le plan passant par ce point et par la droite. On a

p=zSC0Scù, p'=.Bsmeo, et par suite

(8) P = ).Se'", P'— Ue"''"' d'où