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formules dont la première seule n'avait pas été établie plus haut.

Si, pour un second point {oo^,y^,z^) les fonctions P , P' prennent les valeurs P, , P', , et ^) , o les valeurs r\ , (.,, , on a

et par suite,

c) — (^j est l'angle sous lequel se coupent les deux plans passant par la droite (P , P') et par les deux points considérés. L'équation précédente exprime un théorème connu.

Associons à la droite (P , P') une seconde droite (Q , Q'), définie de la même manière. On aura ici

et par suite

St(w4-M') PQ

Les droites (P , 0) , (?'> Q') forment un couple associé aux deux premières. Nous avons dans le second membre, à un facteur constant près , le rapport des carrés des distances du point {x ,y ,z) k ces droites.

Donc si l'on a deux droites d , §' , et un couple de droites associées è" , (J'", le rapport des distances d'un point quelconque de l'espace aux deux droites ù , §' est une fonction ke''-^'^^'^ de la quantité w -f w' . Ces angles o , w' sont ceux que font les plans passant par le point variable et les droites ô" , $'\ respectivement avec des plans fixes passant par ces deux droites.

Si^ et §' deviennent imaginaires conjuguées, un des couples associés sera formé de droites réelles, et l'on pourra remplacer le rapport des distances à deux droites imaginaires par une fonction imaginaire des éléments géométriques réels w , w'.

D'après cela, étant donnée une surface telle que le produit des distances d'un de ses points à n droites ôi , .. . ,dn soit

proportionnel au produit des distances du même point à n autres droites 5'j , . . . , cl'„, on pourra dire qu'analytiquement cette définition revient à la suivante :

On a 2w droites ^^ , s^ y . . . , Sf^n (associées aux couples rji , §\) , Pour chacune, on mesure Tangle que fait le. plan déterminé par elle et par un point quelconque M de la surface avec un plan fixe parallèle à la droite. La somme de ces angles, comptés dans un sens déterminé, est constante.

Mais, comme les droites servant à Tune au moins des deux définitions sont imaginaires, le lien établi n'a qu'une valeur purement analytique, et il peut simplement servir à faire reconnaître l'analogie de deux lieux géométriques dont les définitions pourraient paraître très diff'érentes au premier abord.

La remarque précédente aurait cependant une plus grande importance si la surface définie par l'équation

conservait la même définition avec une infinité d'autres système des 2w droites. Lorsque ces droites deviendraient imaginaires conjuguées, il faudrait leur substituer les droites associées réelles s^ , et adopter la seconde définition. Nous sommes donc conduits à nous proposer la question suivante, analogue à celle que nous avons résolue pour le plan (art. 27) :

Une surface peut-elle être représentée, et d'une infinité de manières, par une équation de la forme