V = PQ

devra couper la surface suivant 2w droites.

Si une infinité d'équations de la forme précédente conviennent à la surface, celle-ci sera donc réglée, et même, à ce

qu'il semble, admettra un double système de génératrices rectilignes. Ce fait ne peut se présenter que si le lieu se décompose en surfaces du second degré. Nous allons voir que cette hypothèse peut se réaliser.

Soit une quadrique (Q) , et une conique (C) située d'une manière quelconque. Supposons qu'il existe une série de polygones plans d'un nombre pair 2w de côtés, circonscrits à (G) et inscrits à (Q) , et considérons l'un quelconque de ces polygones.

Soient |3, ,p^ , ... ,Pn',p'i,p\, ••• ,p'n les deux groupes formés en prenant de deux en deux les côtés de ce polygone. L'équation de la section de (0) par le plan de (C) pourra être, comme on sait, représentée par une équation de la forme

(H) p,p, ...pn = k.p\p',...p'n ,

où Pi ,p'i désignent les distances aux côtés correspondants du polygone. L'équation précédente convient en même temps à d'autres coniques, qu'on peut définir de la manière suivante : Supposons que la section de (Q) contienne les sommets

PiP\,P\P2,P2P\: ■■•■

Les sommets

PiP, , P' iP\ , P,P, , •••

seront sur une autre conique, les sommets

sur une troisième conique, et ainsi de suite. La dernière de ces coniques se réduit à une droite, si n est impair.

Toutes ces coniques sont inscrites dans un même quadrilatère, circonscrit à (C) et à (Q) , et par chacune d'elles on peut faire passer une quadrique inscrite dans la développable

Soient (Q') , (Q") , ... les quadriques ainsi définies; la dernière sera un plan, si n est impair.

Cela posé, menons par chacun des côtés |),- , P'i des plans tangents à la quadrique (Q) , se coupant consécutivement suivant des génératrices rectilignes de (Q) passant aux points

Soient P,- , P', les plans ainsi obtenus. L'équation

représente une surface ayant avec la quadrique 2w droites communes, celles qui passent par les 2 w sommets. De plus, on peut disposer de Atj de telle manière que, si Ton coupe par le plan de (G) , l'équation (12) se réduise à l'équation (ii) , et par conséquent le lieu représenté par cette équation aura, avec la quadrique (Q) , 2w droites et une conique communes. Il devra donc contenir la quadrique (Q) . Pour la même raison, il contiendra les quadriques (Q') , (Q") , ... , inscrites dans la développable (G) (Q) | et déjà définies.

Nous avons donc le théorème suivant, équivalent à celui de l'article 38 :

Le lieu représenté par l'équation

peut se décomposer en quadriques, toutes inscrites dans une même développable , et alors l'ensemble de ces quadriques peut,, d'une infinité de manières, être représenté par une équation de la forme précédente. Tous les flans P,- , P', demeurent tangents à toutes les quadriques.

Si n est impair, l'une de ces quadriques se réduit à un plan.

Nous allons faire deux applications intéressantes de ce théorème.

1° Supposons que dans la développable (G) (Q) on puisse

inscrire une sphère; les plans P, , P', , dans toutes les équations de la forme précédente, demeureront tangents à la sphère. L'anallagmatique dérivée du lieu représenté par

DE COURBRS ET DE SUKFACES AL(;ÉBRIQUES.

l'équation (lo) aura doue, d'après les résultats de l'article 44, une infinité d'équations de la forme

R,R, ... Rn = A;.R',R% . . . R'. .

D'ailleurs, elle se décompose en cyclides homofocales, correspondantes aux différentes quadriques faisant partie du lieu représenté par l'équation (13). Nous avons donc la proposition suivante, déjà énoncée, pour le cas particulier de quatre pôles, par M. Moutard :

L'équation

(14) R,R, ... K = k.rj\...rn

peut convenir à tous les points d'une cyclide. Il suffit qu'on puisse inscrire dans la focale un polygone formé de 2 n génératrices de la déférente, et alors l'équation (14) représentera, en même temps que la cyclide, d'autres cyclides homofocales.

L'une de ces cyclides se réduit à l'une des sphères principales, si n est impair.

2° Supposons qu'on puisse circonscrire au cercle de l'infini un polygone de 4w côtés, inscrit dans (Q) . Alors l'équation de la quadrique (Q) pourra s'écrire

et P,- , P'i sont des plans tangents au cercle de l'infini. Cette équation exprime donc qu'il y a un rapport constant entre les produits des distances d'un point de la surface à deux séries de n droites,

"t 5 "2 î "3 •- "i j • • • ? Pan — 1 ; Pan 5

d'une part, et les droites

p' nf . p' P' . • P' P'

pour le second groupe. Donc,

Si une quadrique est circonscrite à un polygone de 4 n sommets circonscrit au cercle de l'infini, on peut choisir, et d'une infinité de manières, deux séries de n droites, telles que, pour tout point de la quadrique, il y ait un rapport constant entre les produits des