SUR UNE CLASSE UEMARQUABLE

distances aux deux séries de droites. Le lieu complet des points jouissant de cette propriété se compose de plusieurs quadriques homo focales.

C'est la généralisation des théorèmes de M. Chasles sur rhyperboloïde, lieu des points dont les distances à deux droites ont un rapport constant. Cet hyperboloïde est la plus simple des surfaces considérées ici, et les théorèmes généraux de cette Note et de la précédente conduiraient à plusieurs propriétés nouvelles de cette surface. Mais nous terminerons ici, sans insister davantage, notre étude des diverses formes et des applications des théorèmes relatifs aux polygones inscrits et circonscrits.

Wote V.

Sur les lignes géodésiques et les lignes de courbure dans la géométrie de M. Cayley.

Dans les articles 6i et 62 du texte et dans la Note ÏIÏ, nous avons essayé de donner une idée des rapports que M. Cayley a établis entre la géométrie des relations métriques et celle du rapport anharnionique. Les théories de l'illustre géomètre anglais ont été résumées dans l'ouvrage de M. Fiedler sur les formes binaires. Dans ces derniers temps, elles ont été développées dans un Mémoire important de M. Klein {Mathematische Annalen,i. IV).

Une fois définies les notions d'angles et de distances, les autres définitions de la géométrie métrique ordinaire subsistent, et peuvent être introduites sans aucune difficulté. C'est ainsi que, dans l'article 62, nous avons généralisé les notions de focales et de lignes de courbure. Nous allons nous occuper maintenant des lignes géodésiques.

Étant donnée une figure dans l'espace, prenons pour surface absolue la sphère représentée par l'équation

(1) x'^ + if+z'—V^=^Q.

Alors la distance de deux points déterminés par les coordonnées {x , y ,z) , {x' ,y\ z') sera donnée par la formule

(2) cos'8=- (»«■ + «' H- ^^'-RV

SUR IJNK CLASSl' REMARQUABLE

tout à fait analogue à la formule (3) de la Note lïl. On aura aussi

Pour deux points intérieurs à la sphère, le second membre de cette équation est négatif; la distance d de deux points sera donc une quantité imaginaire de la forme A i .

Si le point {x\ y' , z') est voisin du point {x ,y , z), on fera

x'=x + dx, y' z=zy-ir(ly , z'-=Z-\-(lz,

et la formule (3), en y remplaçant sin'c^ par è^ ou é^o--, donnera

, __ (a?' + «/^+2^ — R^) {dx-+ihf+clz^) — {xdx-i-ydy+zdz)- ^ ^ ^^' ~ {x^+f+z^—Wy '

Telle est l'expression de la distance d-r de deux points infiniment voisins.

Nous allons maintenant chercher les lignes géodésiques d'une surface définie par l'équation

(5) fix,y,z)=0.

Je dis que ces lignes géodésiques sont caractérisées par cette propriété, que leur plan osculateur est normal au plan tangent (c'est-à-dire passe par le pôle de ce plan). On voit que cette proposition est la généralisation de la propriété fondamentale des lignes géodésiques ordinaires.

A cet effet, prenons, pour plus de symétrie, une variable indépendante quelconque t , et soient x' ,y\ z' les dérivées de X ,y , z par rapport à t.

Nous avons

(6) d^=--y'F.dt,

^ x" + y''^-hz'- /xx' + yy'-\-zz" ^ x' + y' + z"- — R'- \x' + y^ ^- z"—\\:\

et l'intégrale à rendre minimum est

(8) jVF.^/r,

DE COURBES ET DE SUUKACES ALGÉIJIUQUES. 229

les variables x , y , z étant liées par l'équation de la surface. D'après les principes du calcul des variations, les équations différentielles de la ligne géodésique sont

(It dx' dx dx

et les deux équations analogues en y ei z .

Il reste à vérifier que le plan osculateur de la ligne définie par ces équations est conjugué du plan tangent par rapport à la sphère. Or, pour que deux plans ayant pour équations

mx-¥ ny -\~ p.

m'x -h n'y-T- p'z + q =iO

soient conjugués ou normaux (par rapport à la sphère), il faut que l'on ait

R'(mm' + un' +pp') — qq' =■ 0 .

Appliquons cette relation au plan osculateur et au plan tangent; il faudra qu'en appelant x\ y" , z" les dérivées secondes de X ,y , z , on ait

Or les formules (9), développées, nous donnent des expressions de la forme

àf dx

df df df df df dy dz dx dy dz

dx

dy

£^ = Az+ \iz' + C.

dz

Ax + Bx' -I- Cx" , Ay + B|/' -i- C?/" ,

et l'équation à vérifier prend alors la forme

àf àf df .^^,

dx dy dz

OU, en substituant les valeurs de -r— ' -r- • "T~ ' ' ax âtj âz

j Aicc^' + îf + z^ — R^) + B{xx/ + yy' + zz') ^ ' \ +C{xx' + yy " + ;^2 " ) = 0 ;

et l'on reconnaîtra, en substituant les valeurs de A , B , G , que cette dernière équation se vérifie identiquement.

Notre théorème est donc démontré : Les lignes géodésiques ont leur plan osculateur normal au plan tangent.

Il résulte de ce théorème que la ligne la plus courte entre deux points de l'espace est, dans la géométrie de M. Cayley, la ligne droite qui joint ces deux points. Car la ligne la plus courte réunissant deux points de l'espace sera géodésique sur toutes les surfaces qui la contiendront, et par conséquent devra avoir son plan osculateur indéterminé. Ainsi,

Dans la géométrie de M. Cayley ^ les lignes droites sont les lignes les plus courtes entre deux points.

On suppose toutefois qu'en allant d'un point à l'autre on ne rencontre pas la sphère; car alors il y aurait discontinuité, la distance devenant infinie. Ainsi, les deux points doivent être à l'intérieur ou à l'extérieur de la sphère.

Il suit du théorème précédent qu'on saura déterminer les lignes géodésiques sur toute surface du second degré (Q) . Car soit (S) la sphère absolue; la surface développable ayant son arête de rebroussement sur (Q) et tangente à une qua-

drique quelconque (Q') inscrite dans la développable (S) (Q) | aura précisément pour arête de rebroussement une ligne géodésique de (Q) . Il y a, entre ces lignes et les lignes ordinaires, une relation qui est bien exprimée par le théorème suivant :

Une ligne géodésique ordinaire d'une quadrique (Q) est aussi ligne géodésique en prenant pour absolu toute quadrique homofocale à (Q) .

De nouvelles conséquences peuvent être déduites, si l'on emploie la méthode de transformation définie à l'article 44 du texte. Nous avons vu que cette transformation conserve les

angles, les focales, les lignes de courbure (art. 62). Si l'on se sert des formules 14 de l'article 44, et que l'on appelle X , Y , Z les coordonnées du point correspondant au point {x , y , z) , on trouvera

— 4R^(dX^ + f/Y-^ + f/Z-^)

Ainsi, l'arc da défini précédemment se ramène, dans la figure anallagmatique correspondante, en négligeant un facteur constant, et en posant

dS = ydX' + dY^+dZ' , à

Donc, du théorème relatif aux lignes les plus courtes indiqué plus haut, et des notions acquises (art. M et 62) sur la transformation considérée, nous concluons les propositions suivantes :

Les lignes rendant minimum entre deux points de l'espace l'intégrale

rydX:' + dY'+d7J ^ ■ J X^+Y^-i-Z^ — R^^

sont des cercles orthogonaux à la sphère définie par f équation

Les lignes tracées sur une surface et rendant minimum la même intégrale sont celles pour lesquelles il y a une sphère passant par trois points consécutifs, normale à la surface et à la sphère fixe (15).

On peut déterminer ces lignes pour les cyclides. Elles correspondent aux lignes géodésiques de la surface du second degré homologue de la cyclide. Leur propriété géométrique est la suivante : La sphère passant par trois points consécutifs et normale à la surface est tangente à une cyclide homofocale à la proposée.

Les lignes de courbure dans la géométrie de M. Cayley peuvent être définies (art. 62) de la manière suivante. Ce sont les courbes telles que les normales à la surface en tous leurs points forment une surface développable. On sait que les normales sont les droites joignant le point de contact du plan tangent au pôle de ce plan. Mais ici le principe de dualité exige que nous introduisions une autre droite, que nous appellerons seconde normale, et qui sera l'intersection du plan tangent avec le plan polaire du point de contact. La première et la seconde normale sont des droites polaires l'une de l'autre. Quand on prend la polaire réciproque de la surface par rapport à la sphère, la première normale se transforme en la seconde, et réciproquement.

Puisque l'on a introduit une seconde normale, on peut se demander quel sera le lieu des points de la surface pour lesquels les secondes normales forment une surface développable. On aurait ainsi des lignes de seconde courbure, mais ces lignes coïncident avec les lignes déjà définies; car, si les premières normales forment une surface développable, il en est de même des secondes normales, qui sont leurs droites polaires, et réciproquement.

Ainsi, sur toute surface, il y a un double système de lignes dont les tangentes sont conjuguées dans l'indicatrice et dans la sphère, et qui sont telles que, pour chacune de ces lignes, soit les premières, soit les secondes normales forment une surface développable.

Il suit de cette réciprocité entre les deux séries de normales, et de la remarque, faite plus haut, que ces normales se changent l'une dans l'autre, que, si l'on remplace une surface (F) par sa polaire réciproque (Fj) , prise par rapport à la sphère absolue, les lignes de courbure se correspondent. Ainsi,

Une transformation par la méthode des polaires réciproques

(la surface directrice étant la sphère absolue) conserve les lignes de courbure.

Si maintenant on prend les deux surfaces (F) , (F,) pour déférentes de deux anallagmatiques (2) , (2,) , nous voyons qu'il y aura correspondance entre ces deux surfaces, de telle manière qu'à une ligae de courbure (ordinaire) de l'une corresponde une ligne de courbure (ordinaire) de l'autre. Nous avons donc une transformation de surfaces avec conservation des lignes de courbure. Voici comment on peut définir cette transformation.

Si d'un point m de (F) , comme centre, on décrit une sphère orthogonale à la sphère directrice (S) , et la coupant suivant un cercle situé dans le plan (P) , ce plan (P) sera le plan polaire de m et touchera en m^ la polaire réciproque (F,) de (F). D'ailleurs, en considérant (F,) comme déférente, au plan (P) correspondent deux points de Tanallagmatique (2,) , qui seront les sphères de rayon nul passant par l'intersection de (S) et de (P) . En réunissant tous ces résultats, nous avons, la proposition suivante :

Étant donnée une surface (1)^ on lui mène des sphères tangentes, orthogonales à une sphère fixe (S) . Le lieu des sphères de rayon nul, passant par V intersection de ces sphères tangentes et de (S) , est une surface (2.) , dont les lignes de courbure sont les transformées des lignes de courbure de (I) . La relation entre {!) et (2,) est réciproque. Elles admettent pour surfaces déférentes deux surf aces polaires réciproques l'une de l'autre par rapport à (S).

Il est à remarquer que {!) n'est pas nécessairement anallagmatique par rapport à (S) .

La transformation précédente équivaut, quand la sphère (S) est réelle et qu'on la change par une inversion en un plan, à une transformation déjà donnée par M. 0. Bonnet ('), et qu'on peut définir ainsi :

(') 0. Bonnet : Note sur U7i genre particulier Je surfaces réciproques. Comptes ^endu^:, t. XLII, p. 485-487.

On mène à une surface les sphères tangentes ayant leurs centres dans un plan donné (P) . Le lieu des sphères de rayon nul passant par Tintersection de ces sphères et du plan (P) est la surface correspondante à la première.

Cette dernière transformation fait correspondre à un point réel de l'une des surfaces un point imaginaire de l'autre. La transformation sphérique n'a pas nécessairement cet inconvénient ; il suffit que le rayon R de la sphère soit de la forme K 1/ — \ pour qu'à un point réel de l'une des surfaces corresponde un point réel de l'autre. Dans la Note IX nous généraliserons d'ailleurs ce mode de transformation.

Nous indiquons ici l'ensemble des théorèmes sur les lignes de courbure que nous avons démontrés ou qui résultent immédiatement des remarques précédentes.

Les lignes de courbure forment deux systèmes de lignes orthogonales, et conjuguées par rapport à l'indicatrice de chaque point.

Les normales en tous les points d'une ligne de courbure forment une déveioppable, dont l'arête de rebroussement est ligne géodésique de la surface des centres de courbure.

Si l'on a un système triple orthogonal, deux surfaces de système différent se coupent suivant une ligne de courbure commune.

Si deux surfaces se coupent sous un angle constant, leur ligne d'intersection ne peut être ligne de courbure d'une surface sans l'être en même temps de l'autre.

Dans une étude plus complète de la géométrie cayleyenne, il faudrait considérer, en même temps que les lignes géodésiques, leurs polaires réciproques, qu'on peut définir ainsi :

Étant donnés deux plans tangents à une surface, en suivant l'une de ces lignes, qui va d'un point de contact à l'autre, le plan tangent effectue la moindre rotation possible. Dans la géométrie ordinaire, ces lignes, qu'on pourrait appeler de moindre rotation^ sont celles pour lesquelles la normale à la surface demeure parallèle à un plan fixe. Dans la géométrie

cayleyenne, leur détermination exige l'intégration d'une équation du second ordre. Je me contenterai de donner le théorème suivant :

Étant données deux quadriques (Q) , (Q') , toute ligne tracée sur (Q) et dont les tangentes sont aussi tangentes à (Q') , est géodésique par rapport à toute quadrique inscrite dans la développable i (Q) (0') | , et ligne de moindre rotation par rapport à toute quadrique passant par l'intersection de (0) et de (Q') .

Nous avons vu que, étant donnée une cyclide, on sait en trouver les lignes de courbure, qui sont algébriques, et les lignes de longueur nulle , qui sont transcendantes. Plus généralement, étant donnée une surface du 4^ ordre à conique double (B) , on saura résoudre les deux mêmes problèmes, trouver les lignes de courbure et les lignes de longueur nulle, en prenant pour absolu une quelconque des quadriques (S) qui lui sont inscrites. Car supposons que (S) soit une sphère, ce qu'on peut toujours réaliser par une transformation homographique, et considérons (B) comme déférente, (S) comme sphère directrice. L'anallagmatique correspondante se composera de deux cyclides , et les lignes de courbure et de longueur nulle de (B) par rapport à (S) correspondront point par point aux lignes de même définition de l'une des deux cyclides. Ces deux cyclides sont transformées par rayojis vecteurs réciproques Tune de l'autre.

236 SUR UNE CLASSE lŒMARQlJABLE

Wotc "VI.

Sur la transformation par rayons vecteurs réciproques et la théorie des pôles secondaires des cyclides.

Dans ses études sur la théorie des cyclides, M'. Moutard a considéré, en même temps que les points nommés par lui pôles principaux et qui sont les centres des cinq sphères directrices, d'autres points qu'il a appelés pôles secondaires, et qui possèdent la propriété suivante. Si l'on transforme la cyclide par rayons vecteurs réciproques, le pôle de transformation étant en un de ces points, et le module étant convenablement choisi, on obtient une surface symétrique de la première par rapport à un plan.

Si nous n'avons pas donné place à cette théorie des pôles secondaires dans notre travail, c'est qu'elle nous paraît exprimer des propriétés, non des cyclides, mais delà méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques. C'est ce que nous allons montrer.

Les auteurs qui ont écrit sur la transformation par rayons vecteurs réciproques ont dû sentir le besoin d'un nom plus court pour désigner cette transformation. Nous l'appellerons, à l'exemple des géomètres anglais, inversion.

Une inversion est définie par la sphère, lieu des points qui se correspondent, à eux-mêmes. Le centre de cette sphère sera le pôle; le l'ayon, le module de l'inversion. Voici comment on peut définir, étant donnée la sphère d'inversion (S) , les couples de points correspondants A , A' .

Si l'on considère l'un de ces points, A par exemple, comme le centre d'une sphère de rayon nul (A) , par l'intersection de (A) et de (S) passera une deuxième sphère de rayon nul (A') , dont le centre sera le point A'.

i)K COlllUiF.S KT DE SURKACKS AI.r.ÉlUllOUKS. 237

Ainsi, deux points correspondants sont les centres des deux sphères de rayon nul passant par un même cercle de la sphère d'inversion. Ce cercle est imaginaire quand les points sont réels.

Quand le point A décrit une surface {1\, le point A' décrit une surface {!') . Le système (1 , 1') est anallagmatique par rapport à la sphère d'inversion, et la déférente est l'enveloppe des plans perpendiculaires sur le milieu de A A'.

Si la sphère d'inversion se réduit à un plan (P) , alors à un point A correspond le point symétrique A' par rapport à (P). Les points A , A' sont, comme dans le cas général, les centres de deux sphères de rayon nul passant par un même cercle du plan d'inversion.

Nous avons donc deux espèces principales d'inversions : Vinversion plane, qui transforme une figure en sa symétrique par rapport au plan d'inversion, et Vinversion sphérique.

Il suit, de la définition que nous venons de donner, que, si deux figures (F) , (F') sont les inverses Tune de l'autre par rapport à la sphère d'inversion (S) , on peut soumettre le système à une inversion. Les figures (F) , (F') se transformeront en (Fj) , (F',) , la sphère (S) en (Sj) , et les deux figures (Fj) , (F',) seront inverses ou réciproques par rapport à (S,). Si la sphère (S) se transformait en un plan, les deux figures (F,) , (F',) seraient symétriques par rapport à ce plan.

Nous allons nous servir de ces remarques pour résoudre la question suivante :

Une figure étant soumise successivement à deux inversions I , r j trouver tous les couples d'inversion produisant le même effet que les deux précédentes.

Nous commencerons par supposer que les deux inversions I,r soient planes, et définies par les plans P , P'. Alors, si une figure (F) est soumise à ces transformations, il faudra prendre sa symétrique par rapport au plan P , puis la symétrique de la figure obtenue par rapport au plan P'. Ces deux opérations équivalent à une rotation autour de la droite P P', rotation d'un angle double de celui des plans P , P' .

Ainsi, une rotation est l'équivalent de deux inversions planes, et par conséquent tout déplacement d'une figure dans l'espace équivaut à quatre inversions planes.

Nous voyons que l'effet de nos deux inversions I , ï' ne sera pas changé si aux deux plans P , P' on substitue deux autres plans Q , Q' , se coupant suivant la même droite que les premiers, et faisant le même angle dans le même sens.

Si les deux inversions I , I' sont sphériques, en les soumettant à une même inversion convenablement choisie, on peut les transformer en inversions planes, et, en leur appliquant la proposition précédente, on est conduit au théorème suivant :

Étant données deux inversions définies par les sphères (S) , (S' ) ^ on peut toujours les remplacer par deux nouvelles inversiotis. Les deux sphères (Sj),(S'i)j qui définissent ces inversions, passent par l'intersection des deux premières, et font le même angle, compté dans le même sens, que les deux premières.

Les nouvelles inversions ainsi définies sont évidemment les seules qui puissent remplacer les premières.

Parmi ces couples d'inversions, définies par les sphères (Si),(S'i), il en est deux qui sont particulièrement remarquables :

1° La sphère (Sj) peut se réduire au plan radical de (S) , (S') . Alors la première des deux inversions sera plane. Donc

Deux inversions quelconques opérées sur une figure (F) équivalent à une inversion sur la figure symétrique de (F) par rapport à un plan convenablement choisi.

2<^ La sphère (S',) peut se réduire au plan radical de (S) et (S'). Alors la seconde des inversions sera plane. Donc

Deux inversions quelconques, transformant une figure (F) en (F,) , peuvent toujours être remplacées par une inversion sphérique qui transforme (F) en la figure (F'i) symétrique de (Fj) par rapport à un plan, et par l'inversion plane qui transforme (F',) en (F,) .

Ce dernier résultat a été indiqué par M. Mannheim {Journal de Liouville, t. XY, 2® série).

DE COUIUtKS ET 1>E SURFACES ALGÉBRIQUES. 239

Revenons aux couples d'inversions sphériques qui peuvent remplacer les deux premières (S) , (S'). Leurs pôles décrivent une droite fixe, la ligne des centres de (S) et de (S'); ils y déterminent deux divisions homographiques, dont les points doubles sont les points limites, centres des sphères de rayon nul passant par l'intersection de (S) et de (S'), et dont deux points correspondants sont les centres de (S) et de (S'). 11 n'y aura donc aucune difficulté dans la construction de tous ces couples d'inversion.

Examinons maintenant ce que devient une figure après un nombre quelconque d'inversions I, , I^ , . . . , I„ .

Appelons P les inversions planes et S les inversions sphériques. Les inversions I, , I.^ peuvent se remplacer par une inversion plane P, , suivie d'une inversion sphérique S, , ce qu'on peut exprimer par la formule