SUR UNE CLASSK REMARQUABLE
rayon R , prenons l'inversion définie par îa sphère (S'„) de centre 0, mais de rayon RK — 1. Les inversions S„,S'„, opérées sur une même figure, donnent deux figures symétriques par rapport au centre 0 . Or, on déduit une de ces figures de sa symétrique par trois inversions planes, définies par trois plans rectangulaires Q , 0% Q"? se coupant en 0. On aura donc
(3) S„ = QQ'Q"S'n,
et comme on ajoute trois inversions planes à un nombre impair de ces inversions, le nombre total sera pair.
Or, deux inversions planes équivalent à une rotation, un nombre pair d'inversions équivaut à un déplacement. Donc
Un nombre quelconque d'inversions peut toujours être remplacé soit par un déplacement et une seule inversion, soit par une inversion suivie d'un déplacement.
Deux inversions ne sont pas, en général, échangeables; pour qu'elles possèdent cette propriété, il faut et il sufiit que leurs sphères soient orthogonales.
Soient deux sphères orthogonales (S) , (S') définissant les deux inversions. Leur plan radical (P) et la sphère (S,) , décrite sur leur cercle d'intersection comme grand cercle, se coupent à angle droit. (P) et (S,) définissent donc deux inversions pouvant remplacer les deux premières.
En particulier, si une figure est anallagmatique par rapport aux deux premières inversions, on voit que l'inversion définie par la sphère (S,) la changera en une surface qui sera la symétrique de la première par rapport au plan radical des sphères (S), (S').
Cette proposition entraîne évidemment les propriétés des pôles secondaires. J'ajoute que, si, au lieu de l'inversion définie par (Sj), on prend celle qui est définie par la sphère concentrique et orthogonale, elle donnera une surface symétrique de la première par rapport à la ligne des centres des deux sphères primitives (S) , (S') .
Une cyclide qui a cinq pôles principaux a évidemment des
nR COIIRBRS ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES. 241
pôles secondaires, qui sont les pieds des hauteurs des cinq tétraèdres qu'on peut former avec quatre des cinq points.
Les cinq inversions définies par cinq sphères deux à deux orthogonales se détruisent; leur effet est nul sur une figure quelconque.
Supposons, en efTet, que trois des cinq sphères se réduisent à des plans rectangulaires Qi , Q., , Q.. Les deux autres S, , S', auront pour centres le point de rencontre de ces plans, et les carrés de leurs rayons seront égaux et de signes contraires. Or, d'après la formule (3), on a
S,--=Q,Q.Q3S'., ou
On passera de ce cas particulier au cas général par une inversion quelconque effectuée sur l'ensemble de la figure (^).
(') On pourrait, en suivant les méthodes indiquées ici, étendre aux inversions les propositions relatives à la symétrie. Par exemple, si deux inversions effectuées sur une figure algébrique la laissent invariable, les sphères définissant ces deux inversions font un angle commensurable.
Î42 SUR UNE CLASSE REMARQl'ABI.R
Mote VII.
Sur les différentes transformations par lesquelles on peut déduire du tore la cyclide de M. Dupin.
Nous avons vu (art. 58) que la cyclide de M. Dupin a quatre points coniques disposés par couples aà' , bb' , et tels que les points de chaque couple soient à une distance nulle de ceux du second. Les points d'un même couple sont ceux par lesquels passent les sphères inscrites d'une même série. Ils sont réels, ou imaginaires conjugués. Il est clair que les deux couples aa\bb' ne peuvent être réels tous les deux.
Pour que la cyclide soit transformée en un tore par une inversion, il est nécessaire que les sphères d'une même série soient transformées en sphères ayant leurs centres en ligne droite, et il suffît, pour obtenir ce résultat, que l'inversion employée rejette à l'infini deux points doubles conjugués, par exemple a, a'. Le pôle de l'inversion doit donc être sur le cercle lieu des points à une distance nulle de a et de a' . Ainsi,
Le lieu des pôles des inversions transformant la cyclide en tore se compose de deux cercles, intersections des points sphères a, a' etb,b' .
L'un au moins des deux couples a a' , bb' étant formé de points imaginaires conjugués, l'un au moins des cercles sera réel. Les deux le seront, quand les quatre points doubles seront imaginaires. Ces deux cercles passent d'ailleurs l'un par aa\ l'autre par bb' . Ils sont dans les plans des deux coniques focales, lieux des centres des sphères inscrites, et tangents en bb' ,aa' respectivement à ces focales.
On peut obtenir les résultats précédents d'une manière plus
niv COllHBElS ET ni-. SURFACRS ALGÉBRIQUES. 243
élémentaire, en remarquant que la cycllde peut être considérée comme Tenveloppe d'une sphère tangente à trois sphères fixes. Si Ton peut transformer par une inversion ces trois sphères fixes soit en sphères ayant leurs centres en ligne droite, soit en sphères égales, la cyclide se changera en un tore. Nous allons retrouver ainsi les inversions indiquées par M. Mannheim dans son étude sur la cyclide, et nous examinerons dans quel cas elles sont réelles.
Étant données trois sphères (S) , (S') , (S"), les pôles des inversions qui les transforment en sphères ayant leurs centres en ligne droite sont sur le cercle orthogonal des trois sphères. Ce cercle sera imaginaire, si les trois sphères se coupent en deux points.
Cherchons maintenant les pôles des inversions qui transforment les sphères en trois sphères égales.
Considérons les deux premières que nous appellerons (S) et (S'). Si des centres de similitude comme centres on décrit des sphères passant par l'intersection des deux premières, ces sphères bissectent les angles formés par les deux sphères données. Il suffit de se rappeler, pour reconnaître ce fait, que toute droite passant par un centre de similitude de (S) et de (S') coupe ces deux sphères sous des angles égaux.
Les deux sphères bissectrices que nous venons de trouver conservent évidemment leur propriété quand on soumet la figure à une inversion, et Tune d'elles ne deviendra un plan que si les deux sphères (S) , (S') sont changées en sphères égales. Donc
Le lieu des^ pôles des inversions transformant deux sphères en sphères égales se compose de deux sphères passant par Vintersection des deux premières, hissectant leur angle, et ayant pour centres leurs centres de similitude.
En appelant S , S' les puissances d'un point par rapport aux sphères données, les deux sphères bissectrices ont pour
équations
244 SUR UNR CLASSK REMARQUAliLK
R et R' étant les deux rayons. Si ces rayons ont un signe, comme cela arrive dans les problèmes de contact, et en particulier dans celui qui nous occupe, le lieu se compose d'une seule de ces sphères.
Considérons maintenant trois sphères (S) , (S') , (S") . Ces sphères, prises deux à deux, donneront lieu à trois sphères bissectrices, ayant leurs centres sur l'axe de similitude des trois sphères données, et passant par les cercles d'intersection de ces sphères. Ces trois sphères bissectrices couperont donc à angles droits le cercle orthogonal des trois premières (S) , (S') , (S") , et elles se couperont suivant un cercle, intersection des deux sphères de rayon nul dont les centres sont situés à la fois sur le cercle orthogonal et sur l'axe de similitude.
Donc le lieu des pôles des inversions transformant trois sphères dont les rayons sont affectés de signes en trois sphères de rayons égaux et de mêmes signes est un cercle, intersection de deux pointssphères situés à la fois sur l'axe de similitude et sur le cercle orthogonal des trois proposées.
On voit que ce cercle sera réel, toutes les fois que le cercle orthogonal sera imaginaire ou ne coupera pas l'axe de similitude.
Nous avons par conséquent deux inversions transformant la cyclide en tore, celle qui remplace les sphères proposées par trois sphères ayant leurs centres en ligne droite, et celle qui les transforme en sphères égales. De ces deux inversions, une au moins sera toujours réelle ; car, si le cercle orthogonal devient imaginaire, la première ne pourra être employée, mais la seconde sera certainement réelle. La cyclide est donc, dans tous les cas, la transformée du tore par une inversion réelle.
Dans une étude plus complète que celle-ci sur la cyclide, il serait utile de remarquer une relation de réciprocité à laquelle elle donne lieu.
En général, la polaire réciproque d'une cyclide est une surface du quatrième ordre, ayant une conique double,
quatre points coniques; en un mot, c'est la transformée homographique d'une cyclide à quatre points doubles. Mais on peut choisir la quadrique de telle manière que la cyclide ait pour polaire réciproque une cyclide. En effet, considérons la sphère (S), passant par les quatre points coniques a ^ a' ,b , b' de la cyclide, et qui coupe la déférente (A.) correspondante suivant les quatre droites ab, ab' , a'b, a'b' . Les plans tangents doubles de la cyclide passeront par le centre de (S) , et envelopperont un cône (D) supplémentaire du cône asymptote de (A) , Or, il existe, comme on sait, quatre séries de quadriques homothétiques, ayant pour centre commun le sommet du cône (D) , et transformant ce cône dans le cercle de l'infini. La polaire réciproque de la cyclide par rapport à une de ces quadriques sera évidemment encore une cyclide.
Dans Cette transformation par polaires réciproques, aux quatre points coniques correspondent les quatre plans tangents singuliers; aux cercles d'une des surfaces, les cônes de révolution circonscrits suivant les cercles de la polaire réciproque, etc. Les quadriques qui servent de base à la transformation ne sont réelles que si la cyclide a deux points doubles réels. La propriété que nous venons de signaler nous paraît néanmoins présenter quelque intérêt, parce qu'elle met en évidence les relations do dualité auxquelles donne lieu la cyclide de M. Dupin.
note ^IIT.
De la transformation par rayons vecteurs réciproques des surfaces anallagmatiques.
Une surface anallagmatique (2) peut être définie comme Tenveloppe d'une suite de sphères qui demeurent orthogonales à une sphère fixe (S), que nous avons appelée sphère directrice.
Si l'on soumet la surface à une inversion, les sphères doublement tangentes à l'anallagmatique (2) se changent en de nouvelles sphères^ orthogonales à la sphère (S') inverse de (S). L'inverse de l'anallagmatique (2) sera donc une anallagmatique {!') , ayant pour sphère directrice la sphère (S') inverse de (S) . Il y a ici un problème à étudier : Quelle relation y .a-t-il entre les deux déférentes (B) , (B') des anallagmatiques (1) , (1')'^ Nous allons montrer que ces deux déférentes sont homologiques.
A cet effet, soit 0^ le pôle et (Sj) la sphère de l'inversion à laquelle on soumet (1) . Deux sphères de centres p , q , et angentes à (2) , se transformeront par l'inversion en deux sphères tangentes à (2'), de centres p' , q' . Les droites pp',qq' iront évidemment passer par le pôle Oi . Donc les deux déférentes (B) , (B') se correspondent point par point, de telle manière que les droites joignant les points correspondants pp',qq' aillent concourir au pôle Oj . Je dis maintenant que les droites pq ,p'q' se coupent en un point situé dans un plan fixe (P) , le plan radical commun de (S) , (S') et (S,) .
En effet, par l'intersection des deux sphères tangentes à (2) et de centres p , q , faisons passer une sphère orthogonale à (S,) . Cette sphère sera aussi orthogonale à (S) ; elle aura donc son centre dans le plan radical (P) de (S) , (S') et (Sj) .
Comme elle est orthogonale à (Sj) , l'inversion la transformera en elle-même, et elle contiendra par conséquent le cercle d'intersection des deux sphères de centres j?', g', tangentes à (E') . Son centre sera donc aussi sur la droite p'q', et sera l'intersection ôe pq eip'q'. Comme ce centre est dans le plan radical (P) de (S) et de (Sj), la proposition est démontrée.
Ainsi les deux déférentes se correspondent de manière que les droites pp' joignant deux points correspondants aillent passer par un point fixe Oj , et de telle manière que les droites pq d'une figure aillent couper les droites correspondantes p'q' de l'autre en des points situés dans un plan fixe (P) . Les déférentes sont donc homologiques; (P) et (0,) sont le plan et le centre d'homologie. Donc,
Si l'on soumet une anallagmatique (2) à une inversion définie par la sphère (Sj) de centre Oi , elle se change en une anallagmatique (1) . Les sphères directrices des deux anallagmatiques sont inverses l'une de l'autre par rapport ù (Sj) . Les déférentes sont homologiques^ 0^ étant le centre d'homologie^ et le plan d'homologie étant le plan radical commun à (Sj) et aux deux sphères directrices de (!) et (20 {').
Ce beau théorème est dû à M. de la Gournerie, qui l'a énoncé pour les anallagmatiques planes dans le Mémoire déjà cité. Il devient illusoire dans le cas suivant :
Si l'on soumet (2) à une inversion transformant sa sphère directrice en un plan (P) , l'anallagmatique se change en une surface (2'), symétrique par rapport au plan (P) . Les sphères doublement tangentes se changent en sphères ayant leur centre dans le plan (P) , mais dont le rayon n'est plus défini.
(1) On peut ajouter que les deux sphères directrices sont aussi homologiques avec le même centre et le même plan d'homologie. Il résulte de cette remarque, par exemple, que les polaires réciproques des déférentes par rapport aux sphères directrices sont aussi homologiques. De plus, puisque les deux sphères directrices sont correspondantes, on connaîtra, en même temps que le centre et le plan d'homologie, le rapport ou module d'homologie.
Nous allons donner des règles simples relatives à ce cas particulier.
Arrivons à l'examen du cas singulier dans lequel l'inversion change l'anallagmatique (2) en une surface (2') ayant un plan de symétrie. Les sphères tangentes à l'anallagmatique (2) se changent en sphères ayant leur centre dans le plan de symétrie, et dont le rayon ne peut plus être déterminé. Les remarques suivantes vont nous permettre de déterminer ces rayons.
Soit, pour plus de simplicité, une cyclide (K) ayant pour déférente la quadrique (B) , et pour directrice la sphère (S) . Soit (Bj) la polaire réciproque de (B) par rapport à (S) . La cyclide {K^) ayant (Bj) pour déférente correspondra point par point à (K) , et les lignes de courbure des deux surfaces seront correspondantes (Note V). Remarquons d'ailleurs que chacune d'elles aura pour focale la section de l'autre par la sphère directrice. Cette relation se conserve si l'on transforme par inversion; et, si les deux cycUdes sont changées en cyclides à plans de symétrie, la focale de chacune d'elles sera la section principale de l'autre.
Nous avons donc le théorème suivant :
Étant donnée une cyclide (K) à plan de symétrie^ les sphères doublement tangentes ayant leur centre dans le plan de symétrie peuvent être définies par la propriété suivante : Les sphères de rayon nul passant par leur intersection avec le plan de symétrie décrivent une cyclide (K j ^ ayant pour focale la section principale, et pour section principale la focale de la première. Les lignes de courbure des deux cyclides (K) ^ (Kj) sont des lignes correspondantes.
nE COURBES ET DE SURFACES ALCÉBRIQUES. 249
IVote IX.
Des surfaces qui demeurent invariables quand on les transforme par polaires réciproques, et des méthodes de transformation des surfaces avec conservation des lignes de courbure.
Une grande partie de ce travail a été consacrée à l'examen des propriétés des surfaces qui demeurent invariables par une inversion convenablement choisie.
La méthode que nous avons suivie peut servir de guide dans l'étude d'une question plus générale qu'on peut énoncer ainsi :
Trouver les surfaces qui demeurent invariables quand on les soumet à une transformation d'une nature déterminée.
A cet effet, on cherchera les surfaces les plus simples satisfaisant à la condition précédente, et contenant au moins trois paramètres; les surfaces les plus générales répondant à la question pourront être engendrées comme enveloppes des précédentes.
C'est ainsi que, si l'on veut trouver toutes les surfaces qu'une inversion laisse invariables, on remarque que les sphères orthogonales à la sphère d'inversion satisfont à cette condition, et les surfaces anallagmatiques générales sont les enveloppes d'une série simple ou double de ces sphères.
Nous allons ici traiter une question de ce genre, et -examiner comment on peut engendrer toutes les surfaces qui coïncident avec leur polaire réciproque par rapport à une quadrique (S) . Nous pouvons supposer, sans restreindre la généralité, que cette quadrique soit une sphère, et nous allons d'abord examiner s'il existe des quadriques qui soient leurs propres polaires réciproques.
Soient (Q) l'une de ces quadriques, et (Q') sa polaire réci'
250 SUR UNK CLASSK UlîMAHOUABLli;
proque. On sait que (Q') contient la courbe de contact avec (S)
de ia développable (Q) (S) . Cette courbe de contact doit donc appartenir aussi à (Q), et par suite (Q) doit être une surface de révolution inscrite dans la sphère.
Cette condition est nécessaire, mais elle n'est pas suffisante. Car soit
l'équation d'une surface de révolution inscrite dans (S). La surface polaire réciproque sera bien inscrite suivant la même courbe; elle aura pour équation
Ux'+tf' + z'—R') (x"+y"+z"—W)—li'{xx'-i-yîj'+zz'—K^)' ^ M = 0 ,
où
mais elle ne coïncidera pas avec la première. Il faut, pour qu'il en soit ainsi, que l'on ait
Si l'on se reporte à l'équation (i), on voit que {x' ,y\ z') est le pôle du plan de contact ou d'inscription; nous l'appellerons, avec M. Cayley, centre d'inscription. D'un autre côté la formule (2) de la Note V nous montre que, dans la géométrie de M. Cayley, la distance 0 d'un point quelconque {x ,y ,z) de la surface au centre {x',y',z') est constante, et donnée par la formule
(5) cos'0 = |.
Nous appellerons 0 le rayon d'inscription, et nous voyons que les surfaces inscrites précédentes jouent dans la géométrie de M. Cayley le même rôle que la sphère dans la géométrie ordinaire. On reconnaîtra sans difficulté que le plan tangent
DE COURHKS ET DE SURFACES ALGÉDUKJUES. 2S1
en tout point de la surface est normal au rayon qui passe au point de contact.
Les surfaces précédentes ont même des propriétés plus étendues que la sphère, qui les rapprochent des petits cercles dans la géométrie sphérique. Elles sont l'enveloppe du plan qui fait avec le plan d'inscription un angle constant 12 , défini par la formule
(6) ces* ^ = é''
On peut appeler cet angle, angle d'inscription; il est complémentaire de 0 .
Avec ces définitions , le résultat que nous avons trouvé peut s'énoncer ainsi :
Les seules qiiadriques coïncidant avec leur polaire réciproque sont celles qui sont inscrites, et dont le rayon ou l'angle d'inscrip-
tion est égal a r.
Cela posé, soit une surface (I) , qui coïncide avec sa polaire réciproque. A tout point m correspondra un plan polaire tangent en m' à la surface, et le plan polaire de m' sera tangent en m. D'après cela, si l'on construit une quadrique inscrite de la définition précédente, tangente à (2) en m , cette quadrique sera aussi tangente en m' à (S) . Donc
Toute surface identique à sa polaire réciproque est l'enveloppe d'une série de quadriques inscrites dans (S) avec un rayon égal
à Tj et dont le centre d'inscription décrit soit une ligne, soit une
surface.
Si, au lieu de supposer que le rayon d'inscription soit
TT
égal à T , nous admettons qu'il a une valeur constante, mais
quelconque, nous obtenons des surfaces remarquables, enveloppes de toutes ces quadriques inscrites de rayon constant. Elles sont tout à fait analogues aux surfaces parallèles dans la géométrie ordinaire, et donnent lieu aux propriétés suivantes.
