SUR UNE CLASSE REMAHQUADLE

Soit (H) une surface quelconque, et supposons que, de ses différents points comme centres, on décrive des quadriques inscrites dans la sphère (S) et de même rayon 0 . Ces quadriques enveloppent une surface (Ej) , que l'on construira comme il suit. Soit M un point de cette surface ; il peut être considéré comme Fintersection de trois quadriques infiniment voisines, de centres infiniment voisins m, m', m". Ces trois centres étant à la même distance du point M , le plan mm'm" , tangent en m à (H) , à la limite sera normal à la droite Mm . On aura donc la construction suivante.

Sur chaque normale à (H) en un point P, on portera, dans les deux sens, une longueur constante égale à 0 , ce qui donnera les deux points Pj , P^ , qui seront des points de la surface parallèle (Hi) . Les deux plans tangents à cette surface en P, , P, seront normaux à la droite PPjP^; ils iront se couper, par conséquent, suivant la polaire de cette droite, ou seconde normale de (H) en P, située dans le plan tangent à (H) . De plus, ils feront des angles égaux et constants avec le plan tangent à (H) en P.

Ce sont exactement Jes propriétés des courbes parallèles sur la sphère. Dans la géométrie cayleyenne, comme dans la géométrie ordinaire, les normales d'une surface sont normales aux surfaces parallèles, et par conséquent les lignes de courbure se correspondent point par point sur les deux surfaces parallèles.

La polaire réciproque (H') de (ti) peut être considérée comme parallèle à (H) ; car un point est à une distance constante égale à un quadrant de tous les points de son plan polaire, et par conséquent la polaire réciproque d'une surface donnée sera la surface parallèle menée à la distance d'un quadrant.

On voit que la surface parallèle menée à la distance de r se

composera de deux nappes conjuguées, qui seront à une distance d'un quadrant l'une de l'autre, et par conséquent seront polaires réciproques l'une de l'autre. La droite qui

1)K COURBES F/r DR SURFACFS ALGÉBRIOl'FS. 253

joindra deux points correspondants sur les deux nappes sera normale commune aux deux nappes.

Plus généralement, deux surfaces parallèles se succédant à une distance d'un quadrant seront polaires réciproques Tune de l'autre.

Nous allons maintenant montrer comment les propositions précédentes conduisent, dans la géométrie ordinaire, à une méthode de transformation des surfaces avec conservation des lignes de courbure ordinaires, plus générale que celle qui a été développée dans la Note V.

Rappelons d'abord que, si l'on prend pour déférente une quadrique (V) inscrite dans la sphère, l'anallagmatique correspondante se compose (art. 59) de deux sphères passant par la ligne de contact de la quadrique (V) , et ayant pour centres les deux foyers de cette quadrique. Ces deux sphères coupent sous un même angle 9 la sphère directrice (S) , et si 0 est le rayon d'inscription de la quadrique, on trouve sans difficulté

Cl) CCS y = •