COS

9 demeure donc constant pour toutes les quadriques inscrites de même rayon.

Cela posé, considérons une surface (B) et les surfaces parallèles par rapport à (S) , (B,), (B^) , Les lignes de courbure se correspondant sur ces différentes surfaces, si on les prend comme déférentes , les anallagmatiques (2) , (I^) , (S,) , ... , ainsi obtenues, se correspondront point par point avec conservation des lignes de courbure ordinaires. Voyons comment on peut définir cette correspondance.

La surface (B,) parallèle à (B) est l'enveloppe d'une suite de quadrijues (V,) inscrites, de rayon constant, ayant leur centre d'inscription sur (B) , et dont les plans d'inscription enveloppent par conséquent la polaire réciproque (B') de (B) .

La surface (S,) ayant (B.) pour déférente sera donc Tenveloppe des couples de sphères correspondantes aux quadriques (V,) de rayon constant. D'après la remarque précédente, ces sphères coupent la sphère directrice (S) sous un angle constant. Donc,

Étant donnée une surface quelconque (B'), on lui mène des plans tangents, et par leurs intersections avec une sphère fixe (S) on fait passer des sphères coupant (S) sous un angle arbitraire, mais constant a. Soit (S^) la surface enveloppe de ces sphères. Deux surfaces (S^),(Sg], obtenues en attribuant à l'angle constant les valeurs a , § , se correspondent point par point avec conservation des lignes de courbure.

Les points correspondants sur les différentes surfaces sont à l'intersection d'un cercle orthogonal à (S) , et les coupant toutes à angle droit.

Cette transformation comprend comme cas particulier celle

qui a été donnée dans la Note V. Si l'on prend, en effet, a = ^^ ,

on obtient l'anallagmatique ayant pour déférente la polaire réciproque (B) de (B') . Si l'on fait a = oo , on obtient les points sphères passant par l'intersection de (S) et des plans tangents à (B') , c'est-à-dire l'anallagmatique ayant (B') pour déférente. On a donc les deux anallagmatiques ayant pour déférentes deux surfaces (B) , (B') , polaires réciproques par rapport à (S) . C'est la transformation de la Note V.

f^n réunissant les résultats qui précèdent, on peut donc énoncer le théorème suivant :

Etant donnée une surface {1)^ on lui adjoint une sphère fixe (S) ^ et Von construit toutes les sphères tangentes à la surface et coupant (S) sous un angle constant a . Par l'intersection de chacune de ces sphères et de (S) , on fait passer de nouvelles sphères coupant (S) sous un angle § . Ces nouvelles sphères enveloppent une surface {!), correspondante point par point à {T) , avec conservation des lignes de courbure.

Les points correspondants sur les deux surfaces sont sur des

nE COURHKS F/r DK SI RFACRS ALGÉHUIOUKS. 255

cercles normaux à la fois aux deux surfaces et à la sphère (S) (^). Nous rencontrons ici des surfaces enveloppes de sphères variables, coupant une sphère fixe (S) sous un angle constant. On ramène leur étude à celle des anallagmatiques ordinaires par la remarque suivante. Soit 0 le centre de la sphère (S) , et G le centre d'une sphère variable (U) , coupant (S) sous un

/\ angle constant a . Cet angle a est égal à CMO , et Ton voit que

la sphère (U') de rayon CP coupe la sphère (S') de rayon OP

à angles droits. OrOP = OM sin a est évidemment constant ; la sphère (S') est donc invariable.

Quant à la sphère (U') , elle a même centre que (U); mais son rayon diffère de celui de (U) d'une quantité constante PM — OM cos a.

Les sphères (U) et {{]') envelopperont, par conséquent, des surfaces parallèles. Donc La surface enveloppe des sphères coupant sous un angle constant

une sphère (S) est parallèle à une surface enveloppe de sphères

concentriques aux premières, et coupant à angle droit une sphère

fixe (S') concentrique à (S)\

(*) Ce théorème peut être généralisé de la manière suivante. • Considérons une surface (2) enveloppe d'une série de sphères variables (U), coupant sous des angles quelconques la sphère (S) . A chacune des sphères (U) coupant (S) sous l'angle <p , on fait correspondre une sphère (U,), passant par l'intersection de (S) et de (U) , et coupant (S) sous un angle 9, déterminé par l'équation