COS 9 — CO391 1 — COS 9 COS

Alors les riOuvelles sphères (U,) enveloppent une surface (2,) , qui correspond point par point à (2) avec conservation des lignes de courbure. Quand 9 reste constant, il en est de même de 9, , et l'on retrouve le théorème donné dans le texte;

■^Sfî SUn UNK CLASSR RRMAROUABI.E

Mote HL.

Sur un nouveau système de coordonnées et son application à la théorie

des cyclides.

Dans la Quatrième Partie de ce travail, nous avons été conduit à un nouveau système de détermination des points de l'espace, dont l'étude paraît présenter de grands avantages dans la théorie des cyclides. Les cinq quantités S,- définies dans l'article 4-9, et qui sont les puissances d'un point par rapport à cinq sphères orthogonales, peuvent être considérées comme des coordonnées d'une nature particulière ; mais elles sont en nombre plus que suffisant; et l'on peut les étudier sous deux points de vue essentiellement distincts.

D'abord, les coordonnées S,-, étant au nombre de cinq, ne sont pas indépendantes les unes des autres, et il doit y avoir entre elles deux relations. On trouve, en effet, qu'elles satisfont aux équations

2(iy=«^ u

qui se déduisent immédiatement des formules de l'article 48. On voit donc, comme cela doit être, que trois seulement des coordonnées S,- peuvent être choisies arbitrairement; les deux autres seront alors déterminées par les équations précédentes.

Mais on peut aussi déterminer un point, non plus par les cinq coordonnées S,- , mais simplement par les rapports mutuels de ces cinq quantités. Soient A;, , it^ , , . . , Ar^ des nombres

DK COUrinBS et I»IÎ SUIïFACES ALGKniUQUES. 257

proportionnels à S, , S, , . . . , S. . On aura, pour déterminer le

point, les équations

ou

P étant une arbitraire inconnue. Les quantités /c,- devront satisfaire à l'unique relation

et, quand on connaîtra les nombres k^, o sera déterminé par l'équation

Nous adopterons cette seconde manière de déterminer les points, et nous aurons un système de cinq coordonnées homogènes, liées par une seule relation, du second degré par rapport aux coordonnées. Nous allons, du reste, pour donner à notre système de coordonnées toute la généralité qu'il comporte, rattacher le mode de détermination des points dans ce système à celui des sphères et des plans. Nous commençons en rappelant quelques propositions déjà établies.

Soient cinq sphères (S,) , deux à deux orthogonales, et définies par les équations

(î) S, --= x'+ y' + s^ — 2a,-.T - 2piy — 2yiZ + §,• = 0 .

Le rayon R,- de chacune d'elles est donné par la formule

et, en exprimant qu'elles sont orthogonales, nous obtenons les équations de condition

(3) Si + Si = 2 a, uj + 2 /S,- ^j + 2 yr/j .

Nous avons vu (art. 48) qu'on a entre les cinq quantités S, la relation identique

258 SUR UNE CLASSE remarquablf:

qui conduit aux équations données dans l'article cité,

lis

Cela posé, l'équation de toute sphère (S) peut évidemment se mettre sous la forme

car cette équation contient cinq paramètres variables, les quantités m,-; les rapports mutuels de ces cinq quantités peuvent donc servir à déterminer une sphère; ce sont, en quelque sorte, les coordonnées d'une sphère, et il importe de rechercher d'abord leur signification géométrique.

A cet effet, nous supposerons que l'on remplace dans l'équation (6) les quantités S,- par leurs expressions x ,y ,z. On aura une identité de la forme

L'équation de la sphère (S) en coordonnées ordinaires sera donc

K [x' + 1/°- + 2^) — 2 Aa? — 2Bî/ — 2C2 + D = 0 , et l'on aura

Grâce aux identités (5), on peut résoudre ces dernières équations par rapport à ?w, , et l'on trouve ainsi

(8) w, = — —[k («,'-+|3,'+7,^)-2A«,— 2BS,— 2C7,+D— KR,'1 •

Soient 0 le centre de (S) et R son rayon.

Dl- COURBES ET DE SURFACES ALCÉRRIQUES, 259

Appelons P; la puissance du centre C; (a,- , §,- , 7,) de (S,) parrapport à (S) ; réquation (8) pourra s'écrire

L'expression entre parenthèses est un invariant remarquable de (S) et de (S,) , le carré de la distance des centres moins la somme des carrés des rayons. Il s'annule quand les deux sphères sont orthogonales. Nous l'appellerons puissance commune des deux sphères.

Donc les cinq coordonnées m,- , qui déterminent dans notre système une sphère variable (S), sont proportionnelles aux puissances communes de (S) et de chacune des sphères (S,) , divisées par le rayon R,- de la sphère (S,) .

On voit que la coordonnée m,- ne s'annule que dans le cas où la sphère (.S) est orthogonale à la sphère (S,) ,

Par exemple, l'équation

représente toute sphère orthogonale à (SJ et à (Sg) .

Cherchons le rayon R de la sphère (S) en fonction des coordonnées m,. On a, d'après les identités (7) ,

(iO) A' + B' + C-^ — DK:r^yw,-.

Le premier membre de cette équation est égal à R^K"; on a donc

\Zr;j

Dans le cas où la sphère variable se réduit à un point M , les cinq quantités m,- deviennent les puissances divisées par R,- du point M par rapport aux cinq sphères orthogonales. En appelant S, ces puissances, on obtient

260 SUK CXK CLASSK nKMAROUAP.LR

et, comme R est nul dans ce cas, on a

ou

2(iy=«^

c'est-à-dire l'identité qui a été notre point de départ, ce qui sert de vérification à nos calculs.

D'autre part, la sphère se réduit à un plan (P) , si Ton a

Les plans de l'espace sont donc déterminés par cinq quantités m,- , et ces coordonnées satisfont à l'équation linéaire (13). Dans ce cas, la formule (8) devient

w, = ^r2iU,+ 2B/3, + 2C7, — D '

et, comme l'équation du plan (P) est

2Aa; + 2B?/ + 2Cz — D — 0,

on voit que les cinq coordonnées m, sont proportionnelles aux distances divisées par R, des centres des cinq sphères (S.) au plan (P) .

Il suit de là que le système actuel de coordonnées, quand il est employé à la détermination des plans, est un système de coordonnées tangentielles surabondantes. Si, au moyen de l'identité (13), on élimine une des quantités m, , m^ par exemple, d'une équation, il restera une relation homogène entre m^ , ^3 , Wi^ , m. , qui sera l'équation tangentielle de la surface enveloppe de tous les plans, rapportée au tétraèdre des centres des sphères (S^) , (S3) , (S,) , (SJ .

En résumé, notre système de coordonnées embrasse à la fois les points, les plans et les sphères. Les cinq quantités m, déterminent en général une sphère. Pour qu'elles conviennent à un plan, il faut qu'elles satisfassent à une équation linéaire (13);

l)K COURBES KT DE SURFACES ALGÉlilUQUIvS. 261

pour qu'elles déterminent un point, il faut qu'elles satisfassent à l'équation quadratique (12).

Si elles satisfont à la fois aux équations (42) et (13), elles déterminent un plan tangent au cercle de l'infini.

Enfin, toutes les fois que l'une des coordonnées nit est nulle, la sphère ou le plan deviennent orthogonaux à (S,), ou, si la sphère se réduit à un point, ce point se trouve sur (S,) .

Nous signalerons encore une propriété importante des quantités m,-. Si l'on place la masse m, au centre Ci de chacune des sphères (S,) , d'après les formules (7), le centre de gravité des cinq masses sera le centre de la sphère (S) . Cette propriété ne suffit pas évidemment à faire connaître les cinq quantités, mais elle constitue une relation importante, et dont nous aurons à faire usage.

Étant données deux sphères (S) et (S') par leurs équations

(14) S— y w,|^^K(a^^4-?/'+^0 — 2Ajj— 2B?/~2C;^-i-D = 0,

(15) S'rr.2»<'.~ — K'(a?^ + ?/^ + s')— 2A'a'— 2B'?/— 2G'^+D'=:0,

on peut combiner ces équations de manière à obtenir la suivante

et, en appliquant alors la formule (10), on aura

(A + ).A')^H- (B + >B')-^ + (C + )-C')' — (D + XD') (K + >K')

{mi + ïm'iy .

En égalant les coefficients de X dans les deux membres, on obtient la relation

(16) 2AA' +2BB' +2CC'— DK'— D'K = 2y

26i SUIS UNE CLASSE REMARQUABLE

Si nous désignons par x ,y , z ,x' ^y' , z' les coordonnées des centres de (S) et de (S'), et par R et R' leurs rayons, réquation (16) pourra s'écrire

((œ. — x'y + iy—yy + iz — z'Y—lV — W'

KK' Vm

nu Vm'i

Le premier membre de cette formule est la puissance commune de (S) et de (S') , qui se trouve ainsi exprimée en fonction des m,- , m\.

La condition pour que les deux sphères soient orthogonales est donc

(18) 7 num'i = 0 .

La formule (17) prend une forme élégante, si Ton suppose que les deux sphères (S) , (S') soient réduites à des points. Alors on a

Là Là

et l'on peut écrire cette formule

Li Ri Z e,

Telle est l'expression de la distance de deux points. S'ils deviennent infiniment voisins, on a

(20) dx"--b iltf-hdz'' =

\Là%)

Cherchons ce que peut représenter le second membre de la formule (19), quand on a, non des points, mais de véritables sphères (S) , (S') .

DE COUHBES ET DE SUKFACES ALGÉBRIQUES. 263

On a alors

ywi^ Jm\^

D'ailleurs, puisque les coordonnées sont homogènes, on peui toujours supposer que

et par suite on aura

2RR'z=:=^^ — ?^-7— ' Z/R.Z/R.-

et, en ajoutant cette équation membre à membre à (17),

Zr7Z"r7

On aurait de même

j (nif + m'iY

(22) {œ-x'y + [y-y'f + iz-z'y-{^ + ^'r= ^^^^fm', '

Zr;Z"r^

Mais ces deux formules supposent essentiellement que

y Wi^ = y m' Y '

La condition de contact de deux sphères peut donc s'écrire, dans notre système et avec l'hypothèse précédente.

(23) y{mi ± m'iY =

264 SUR UNE CLASSI' HK.^IAUOUABLK

Si les deux sphères devenaient infiniment voisines, on aurait

mais cette formule suppose essentiellementque, lorsque Wj varie, 2 m," demeure constante.

D'après Téquation (24), la condition de contact de deux sphères infiniment voisines sera donc

Les formules données ici peuvent être écrites d'une autre manière, qui met en évidence leur interprétation géométrique. Par exemple les équations (21) et (22), relatives à deux sphères et établies dans l'hypothèse que

deviennent, en appelant cp l'angle de ces sphères,

y {Wi — m'iY y {vii + 7ii'i)

(26) 4sin'-^=:— ^^ — ' 4cos^|

nii 7 nu

et par suite, en appelant V l'angle de deux sphères infiniment voisines, la formule (24) nous donne

ydnii^

en supposant que 2m/ demeure constante.

Les formules précédentes, ne contenant que des angles, s'appliquent au cas où les sphères se changent en des plans.

Une des propriétés les plus importantes du système pré-

cèdent de coordonnées, c'est qu'il est en quelque sorte indifférent à la transformation par rayons vecteurs réciproques ou inversion.

C'est-à-dire que, si l'on soumet le système entier à une inversion, les cinq sphères (S,) se changent en cinq nouvelles sphères (S'») , et toute sphère, point ou plan (U), se change en une sphère (U') , qui a, par rapport aux (S',) , les mêmes coordonnées que (U) par rapport aux (S,). En d'autres termes, on étudie, dans notre système de coordonnées et dans la même équation, en même temps qu'une figure, toutes ses transformées par la méthode des rayons vecteurs réciproques.

Pour démontrer cette importante proposition, il suffit de

remarquer que, grâce aux formules de l'inversion, les cinq

Si quantités rr se changent, à un facteur près, dans les quantités

S'analogues ~ , relatives aux sphères (S'i) inverses des (S,) .

fi I

On a

et par suite l'équation

de toute sphère (U) se

change dans l'équation

de la sphère (U') correspondante. Cette nouvelle sphère a donc, par rapport aux (S',) , les mêmes coordonnées que la première (U) par rapport aux S, . C'est ce qu'il fallait établir. Toutefois, il peut arriver que l'une des sphères (S.) soit

S,changée en un plan. Alors il faudra remplacer ~ par 2</,,

Al»

di désignant la distance à ce plan.

Ainsi, les véritables coordonnées d'un point sont propor-

266 SUR UXK CLASSE IlEMARQUAliLE

Stionnelles aux quantités ~ ou 2 di , si la sphère de base (S,)

devient un plan, et tout point sera déterminé par les cinq coordonnées homogènes

liées par l'équation

et invariables pour toute inversion plane ou sphérique.

Le système actuel de coordonnées présente une propriété tout à fait singuhère, et sur laquelle il importe que nous insistions.

D'abord, tous les points du plan de l'infini qui sont hors du cercle de l'infmi ont les mêmes coordonnées, savoir

En effet, d'après la formule (9), les coordonnées d'un point quelconque 0 sont égales à

Si le point 0 s'éloigne indéfiniment sans avoir pour limite un. point du cercle de l'infini, OG; devient infini, et l'on trouve

Au contraire, si le point 0 s'éloigne à l'infini en s'approchant d'un point du cercle de l'infini, 0G< est indéterminé, et l'on a, à la limite,

R.ir. — > + piRi2 ,

où le rapport - peut prendre toutes les valeurs possibles. Les

DE COUIIBKS ET DE SUHFACES ALGÉBItIQUES. 267

points du cercle de l'infini ont donc une infinité de systèmes de coordonnées.

Les remarques suivantes expliquent ces propriétés si singulières de notre système de coordonnées.

Si l'on soumet les points de l'espace à une inversion, tous les points à l'infini en dehors du cercle de l'infini viennent se confondre au pôle A de l'inversion. Ils ont donc tous, d'après une remarque déjà faite, les mêmes coordonnées que ce pôle, après l'inversion.

Au contraire, à un point M sur le cercle de l'infini correspondent, après l'inversion, tous les points M' situés sur la droite AM. Le point M doit donc être défini par tous les systèmes de coordonnées qui, après l'inversion, déterminent les diff'érents points M', en nombre infini sur la droite AM.

Faisons l'application des résultats précédents à quelques problèmes simples.

Soient deux sphères (S) , (S') , définies par les équations

2^ nuXi

0, J.'^n'iXi^O .

L'équation de toute sphère passant par leur intersection

sera

(28) y(mi + lm',)Xi = 0.

L'une de ces sphères se réduira à un plan, le plan radical des deux premières. Elle correspond à la valeur de X déterminée par l'équation

(29) ^ÏÏ!i±^-^0.

Deux des sphères se réduisent à des points. Les valeurs de A auxquelles elles correspondent sont déterminées par l'équation